Transcript Experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstante

Experimentelle Bestimmung
der Gravitationskonstante
Facharbeit im Leistungskurs Physik
Bearbeitender Schüler: Felix Burkhard
B e t r e u e n d e r L e h r e r : H e r r D r. T h e y s o h n
0 9 . 0 3 . 2 0 11
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© Felix Burkhard 2011
Experimentelle Bestimmung
der Gravitationskonstante
Gliederung:
1. Einleitung
2. Versuchsaufbau
3. Versuchsdurchführung
4. Herleitung der benötigten Formel für G
5. Filmsequenz
6. Berechnung von G
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1. Einleitung
Die folgende Powerpoint-Präsentation beschäftigt sich mit der Bestimmung der
Gravitationskonstante mithilfe der Gravitationsdrehwaage, die vom englischen
Physiker Henry Cavendish (1731-1810) eigens für diese Problematik entwickelt
wurde. Er war es auch, der 1798 erstmals das Experiment durchführte und somit die
Gravitationskonstante zum ersten Mal auch durch ein terrestrisches Experiment
bestimmen konnte.
Bei dem Cavendish-Versuch wird die Strecke, mit der sich eine kleine Bleikugel
infolge der Massenanziehung auf eine große Bleikugel zubewegt, durch die Projektion
eines von einem Spiegel auf eine Wand reflektierten Laserstrahls dargestellt. Mit
diesen Messwerten kann dann eine Formel hergeleitet werden, mit der man die
Gravitationskonstante bestimmen kann.
Das Ziel dieser Präsentation soll also sein, die Gravitationskonstante mithilfe der
Gravitationsdrehwaage experimentell zu bestimmen.
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2. Versuchsaufbau
Zwei große Bleikugeln mit der Masse 𝑚1 sind drehbar um ein
Kunststoffgehäuse gelagert. Darin befinden sich 2 kleine Bleikugeln
im Abstand 2𝑑 und mit der Masse 𝑚2 . Diese sind an einem
Querbalken, der mit einem Torsionsdraht verbunden ist, befestigt. An
diesem Torsionsdraht ist ein Spiegel drehbar angebracht.
Der Abstand der großen Kugel zur kleinen Kugel sei 𝑏.
Außerdem befindet sich vor der Gravitationsdrehwaage ein Laser,
dessen Strahl auf den Spiegel gerichtet ist. Von dort aus wird der
Strahl auf eine Wand projiziert.
An der Wand befindet sich ein Maßband, um die Position des Strahls
ablesen zu können.
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2. Versuchsaufbau
Große Bleikugel in Stellung I
Spiegel an vertikal
aufgespanntem
Torsionsdraht
befestigt
Kleine Bleikugel an
T-Träger befestigt
in Gehäuse in
Stellung I
Lichtquelle (hier:
Laserstrahl)
T-Träger mit zwei kleinen
Bleikugeln auf beiden
Seiten;
an Torsionsdraht
befestigt
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Lichtquelle (hier: Laser)
Gravitationsdrehwaage
Überblick über den
Versuchsaufbau
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Wand
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Projektion auf die Wand
Laserstrahl bzw.
–punkt auf dem
Maßband an der
Wand gegenüber
der
Gravitationsdrehwaage
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Schematischer Aufbau
Stellung II
Endlage 1
Endlage 2
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3. Versuchsdurchführung
Am Anfang befinden sich die beiden großen Kugeln in Stellung I, was bedeutet, dass
der Laserstrahl minimal um die Endlage I schwingt.
Dreht man nun die großen Bleikugeln vorsichtig von Stellung I in die Stellung II, so
ziehen sich die große Kugel und die kleine Kugel aufgrund der Gravitationskraft an.
Diese Anziehung findet auf beiden Seiten statt.
Wenn sich nun die kleine Kugel wegen der Massenanziehung auf die große zubewegt,
verdrillt sich der Torsionsdraht und mit ihm der Spiegel.
Dies hat zur Folge, dass sich der durch den Spiegel reflektierte Laserstrahl entlang des
Messbandes bewegt. Die Bewegung des Laserstrahls lässt sich beschreiben als eine
gedämpfte Drehschwingung.
In der neuen Stellung II schwingt der Laserpunkt also um die neue Endlage II.
Trägt man nun alle 30 Sekunden die Position des Laserstrahls auf dem Maßband ab,
kann man auch den dazugehörigen Graphen zeichnen, der die Position des
Laserstrahls in Abhängigkeit von der Zeit angibt.
Man kann also nun mithilfe der Projektion des Laserstrahls auf die Wand durch eine
geeignete Formel die Gravitationskonstante G bestimmen.
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Kugeln in Stellung I
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Drehen der Kugeln von Stellung I in Stellung II
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Kugeln in Stellung II
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4. Herleitung der benötigten
Formel für G
Beobachtet wird die Situation ab dem Drehen der beiden großen Bleikugeln von Stellung I in
Stellung II.
Zunächst muss der Winkel zwischen den beiden Endlagen I und II bezeichnet werden. Aus dem
Ausschlag des Laserstrahls kann der Winkel, der α sei, mithilfe der Angaben in der folgenden
Abbildung 1 über die Abmessung der Messanordnung bestimmt werden.
Das auf das Messsystem in einer Endlage infolge der Massenanziehung wirkende Drehmoment 𝑀
ist
𝑀 = 2𝐹𝑑,
da der Effekt auch bei den anderen beiden Kugeln wirksam wird.
F ist hierbei die Anziehungskraft zwischen je 1 Paar Kugeln und d ist der Achsenabstand von der
kleinen Kugel zum Torsionsband.
Diesem Drehmoment wird durch das Drehmoment des verdrillten Torsionsdrahtes um den Winkel
α/2 das Gleichgewicht gehalten.
Also ist
𝑀=𝐷 ∙
𝛼
2
,
wenn man D als die Winkelrichtgröße des Torsionsdrahtes bezeichnet.
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Abbildung 1: Größenverhältnisse im
Versuchsaufbau
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Außerdem gilt wegen der Winkelverdopplung bei der Reflexion
𝑠
𝑆
=
= tan 𝛼 ≈ 𝛼
𝑑
2𝐿
Diese Näherung kann man deshalb treffen, da α sehr klein ist.
Den Wert für die Winkelrichtgröße D des Torsionsdrahtes erhält man aus der Schwingungsdauer der Drehschwingung
𝑇 2 = 4𝜋²
𝐷=
𝛩
𝐷
4𝜋²𝛩
𝑇²
,
wobei 𝛩 das Trägheitsmoment der beiden kleinen Kugeln
𝛩 = 2𝑚2 𝑑² ist,
da das Gestänge und der Spiegel zum Trägheitsmoment praktisch nichts beitragen.
Also ist die Winkelrichtgröße
𝐷=
8𝜋²𝑚 2 𝑑²
𝑇²
.
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Setzt man diese Formel für die Winkelrichtgröße in die Drehmomentsgleichung
𝑀=𝐷 ∙
ein und ersetzt M durch 2𝐹𝑑
= 2𝐺
𝑚1𝑚2
𝑏²
𝛼
2
𝑆
sowie α durch
, so folgt mit 2𝑀 = 𝐷𝛼
2𝐿
𝑚1 𝑚2 8𝜋²𝑑𝑚2 𝑆
4𝐺
=
∙
2𝐿
𝑏²
𝑇²
𝜋²𝑏²𝑑𝑆
𝐺=
𝑚1 𝑇²𝐿
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In dieser Formel steht T für die Schwingungsdauer der Drehschwingung und b für den Abstand der kleinen und
der großen Kugel und ist definiert als
𝑏 = 𝑟𝑔𝑟𝑜 ß𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 +
1
2
𝐺𝑒ℎä𝑢𝑠𝑒𝑏𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒 −
𝑆𝑑
4𝐿
,
wobei S die Differenz der beiden Endlagen ist und L der Abstand vom Spiegel zur Wand ist. Der Quotient
𝑆𝑑
4𝐿
,
der subtrahiert wird, bedeutet nichts anderes als die Strecke s, die die kleine Kugel zurücklegt, doppelt
genommen, da auch die andere kleine Kugel die Strecke s zurücklegt.
Also:
𝑆𝑑
2𝑠 =
2𝐿
𝑠=
𝑆𝑑
4𝐿
Somit enthält der Term für G nur messbare Größen!
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Für die Berechnung von G mit der Formel
𝐺=
𝜋 2 𝑏 2 𝑑𝑆
𝑚1
,
2
𝑇 𝐿
wobei b der Abstand der großen und der kleinen Kugel, d der Abstand von der kleinen
Kugel zum Torsionsdraht, S die Differenz der beiden Endlagen, 𝑚1 die Masse der
großen Kugel, T die Schwingungsdauer der Drehschwingung und L der Abstand des
Spiegels und der Wand ist,
braucht man zunächst die Abmessungen der Größen 𝑚1 , 𝐿 und 𝑑 , die man an Ort
und Stelle messen kann. Die Messung dieser 3 Größen wurde von der Universität
schon im Voraus vorgenommen, da dieser Versuch dauerhaft aufgebaut ist.
Die Abmessungen für die 3 Werte sind in der folgenden Abbildung 2 abzulesen und
können notiert werden.
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Abbildung 2: Maße und Gewichte
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Um die erste Endlage in der Stellung 1 zu ermitteln, wurden zu verschiedenen Zeitpunkten die Positionen des
Laserstrahls auf der Wand aufgeschrieben und danach gemittelt.
So erhält man für die Position des Laserstrahls für die 1. Endlage den Wert
𝑃1 = 0,396 𝑚 .
Um den Wert für die Endlage II zu bestimmen, muss man sich den Graphen der Drehschwingung auf der
nächsten Folie betrachten. In diesem Graphen ist die Position des Laserstrahls zu verschiedenen Zeitpunkten
dargestellt. Um nun die Endlage II zu bestimmen, um die der Laserstrahl schwingt, sind die Punkte der Maxima
und der Minima von einem Programm an eine passende Funktion angenähert worden. Die Maxima ergeben
eine Funktion mit exponentieller Abnahme 1. Ordnung, die Minima ergeben eine Asymptotenfunktion. Die
meisten Parameter in der Gleichung, die auf der nächsten Folie (Abb. 3) zu erkennen sind und die das
Programm errechnet hat, sind für die Problematik nicht weiter relevant, bis auf die der Grenzwerte, denen sich
die Funktionen im Unendlichen nähern – hier: die 2. Endlage. Das sind in diesem Fall die Werte y0 und a.
Mittelt man nun diese Werte von y0 und a, erhält man für die Endlage II den Wert
𝑃2 = 0,503 𝑚 .
Die Differenz von 𝑃1 𝑢𝑛𝑑 𝑃2 ist dann
𝑆 ≈ 0,107 m.
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Abbildung
3: Zeit-Positions-Diagramm
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Den Wert für b erhält man über die Formel
𝑏 = 𝑟𝑔𝑟𝑜 ß𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 +
1
2
𝐺𝑒ℎä𝑢𝑠𝑒𝑏𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒 −
𝑆𝑑
4𝐿
,
wobei sich beim Einsetzen der Werte
𝑟𝑔𝑟𝑜 ß𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 = 3,2 𝑐𝑚 ± 0,025 𝑐𝑚,
𝐺𝑒ℎä𝑢𝑠𝑒𝑏𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒 = 2,9 𝑐𝑚 ±0,05 𝑐𝑚,
𝑆 ≈ 0,11 𝑚 und
𝐿 = 3,77 𝑚
für b der Wert
𝑏 ≈ 0,05 m ergibt.
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5. Filmsequenz
In der nun folgenden Filmsequenz ist ein Ausschnitt der
Schwingung des Laserstrahlpunktes um die 2., neue, Endlage
bildlich dokumentiert.
Die Aufgabe ist es nun, alle 30 Sekunden Werte für die Position
des Mittelpunkts des Laserstrahls abzulesen, die Werte dann in
einem Zeit-Positions-Diagramm auf Millimeterpapier darzustellen
und daraus (anhand der zeitlichen Differenz der Minima) die
Schwingungsdauer T zu bestimmen!
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5. Filmsequenz
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Wenn man nun die Positionen des Laserstrahls in einem Diagramm abhängig von der Zeit dargestellt hat, und
die zeitliche Differenz zwischen den beiden Minima genommen hat, müsste man auf
𝑇 ≈ 570𝑠
kommen.
Der genaue Wert für T, der sich durch das Mitteln der zeitlichen Differenzen aller Minima und Maxima
ergibt, ist
𝑇=
7350
13
𝑠.
Beim Einsetzen in G ergibt sich dann demzufolge die Gleichung:
𝐺≈
𝜋 2 ∙ 0,046 𝑚
2
∙ 0,0495 𝑚 ∙ 0,107 𝑚
7350
1,5002 𝑘𝑔 ∙ 13 𝑠
𝐺 ≈ 6,16 ∙ 10−11
2
∙ 3,77 𝑚
𝑚³
𝑠²𝑘𝑔
Die Abweichung vom Literaturwert beträgt aufgrund von Messungenauigkeiten ≈ 7,62 %.
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Bei dieser Messung muss man jedoch berücksichtigen, dass ihr ein systematischer Fehler zugrunde liegt.
Wie in der folgenden Abbildung 4 gezeigt wird, wird die kleine Kugel nicht nur von der großen Kugel, die b von
der kleinen Kugel entfernt liegt, angezogen. Auch von der weiter entfernten großen Kugel geht nämlich eine
′
Anziehungskraft 𝐹0 aus.
Also muss man seinen errechneten Wert für G mit dem Faktor (1+β) multiplizieren, wenn
𝛽=
𝑏³
𝑏² + 4𝑑² ∙ 𝑏² + 4𝑑²
𝛽 ≈ 0,074
der Wert ist, um den die Kraft 𝐹0 zu klein beobachtet wurde.
Man erhält also dann:
𝐺𝑘𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 =
𝜋²𝑏²𝑑𝑆
𝑏³
∙ 1+
𝑚1 𝑇²𝐿
𝑏² + 4𝑑² ∙ 𝑏² + 4𝑑²
𝐺𝑘𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 ≈ 6,63 ∙ 10−11
𝑚³
𝑠²𝑘𝑔
Die Abweichung von 𝐺𝑘𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 vom Literaturwert beträgt ≈ 0,66 %.
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Abbildung 4:
Kräfteverhältnisse
Burkhard 2011
in der© Felix
Drehwaage
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