Transcript Problem_Cozme1

Problem Çözme
- Temel kavramlar
- Problem çözme stratejileri
Yrd.Doç.Dr.Hatice Akkoç
[email protected]
http://mimoza.marmara.edu.tr/~hakkoc
• Problem çözme bütün okul kademelerinde
olduğu gibi ilköğretimde de matematik
dersinin amaçları arasındadır.
• Problem çözme becerisinin geliştirilmesinin
ilköğretim için önemi şu sebeplere
dayandırılabilir:
1.Problem çözme becerisi matematik becerileri
arasında önemli bir yer tutar.
2.İlköğretim çağı, çocukların zihin gelişiminin
hızlı olduğu bir dönemdir. Problem çözme
becerilerinin bu yıllarda uygun yaklaşımlarla
geliştirilmesi önem arz eder.
3. İlköğretimin bir amacı öğrencileri bir üst öğrenime
hazırlamaktır. Problem çözme becerisi ilköğretimi
izleyen öğretim kademelerinde ve bilimsel çalışmalarda
vazgeçilmez bir beceridir. İlköğretimden sonraki
öğretim kademelerinde ve bütün alanlarda
matematiğin kendisi, matematiksel mantık ve akıl
yürütme yanında problem çözme becerisini gerektirir.
4. İlköğretimin bir diğer amacı da öğrencileri hayata
hazırlamaktır. Problem çözme becerisi günlük hayatta
da önemli bir beceridir. İlköğretim mezunlarının bir
kısmının üst öğrenime devam etmeyeceği düşünülürse
öğrencileri günlük hayatlarında karşılaşacakları
problemlere karşı hazırlamak önem taşır.
Problem nedir?
• Problem deyince ne anlıyorsunuz?
Problem nedir?
• John Dewey: İnsan zihnini karıştıran, ona meydan
okuyan ve inancı belirsizleştiren her şeydir. Bu
durumda problemin çözümü belirsizliklerin
ortadan kaldırılması ile olur
• Charles ve Lester:
– a) karşılaşan bireyin çözme ihtiyacı duyduğu veya
çözmek istediği,
– b) çözümü için birey tarafından hazır bir yolu
bilinmeyen,
– c) bireyin çözmeye kalkıştığı bir iştir.
Problem nedir?
• Her iki tanımda da bir durumun problem olması
için insan zihnini karıştırması gerekir. Bu ise,
karşılaşılan durumun yeni olmasını, bireyin bu
durumla daha önce karşılaşmamış olmasını
gerektirir.
• Her gün evinden işine aynı yoldan giden bir kişi
problemi çözmüştür. Sonraki gidişlerinde bir
problem çözmüş olmaz.
• Ancak başka bir gün işe gittiği yolun kapalı olması
kişi için yeni bir durumdur ve kişiyi rahatsız eder.
Problem nedir?
• O halde, bir durumun problem olabilmesi için,
öğrenciye yeni gelen, ilk defa karşılaştığı bir
durumun olması gerekir.
• Dolayısıyla, bir birey için problem olan durum
başka bir birey için problem olmayabilir.
• Diğer taraftan bir durumun bir birey için
problem olması için bireye rahatsızılık vermesi
ve bireyin bu durumu çözmek istemesi gerekir.
Problem nedir?
• Matematik derslerinde, bir konunun öğretimi
sırasında çözülmüş bir problemi öğrencilerinin
aynen çözmesini isteyen bir öğretmenin
problem çözdürdüğü söylenemez; çünkü
problem çözme diye verilen durumun
öğrenciler için yeni bir tarafı yoktur.
• Yeni bir problem, problemin verilenleri veya
istenenleri değiştirilerek, verilenlerle
istenenler yer değiştirilerek oluşturulabilir.
Problem nedir?
• İlköğretimdeki matematik derslerinde karşılaşılan
ve problem diye verilen durumlar üç grupta
toplanabilir:
1. Hiçbir anlamı olmayan durumlar. Öğrencinin
seviyesinin çok üstünde, tamamen yabancı
kavramlara dayalı problemler.
Örnek: İlköğretim birinci sınıfa yeni başlamış bir
öğrenci için, “Bir musluktan akan su bir havuzu
kendi başına 5 saatte, diğer bir musluktan akan su
da 4 saatte dolduruyor. Bu iki musluk aynı havuzu
kaç saatte doldurur?”.
2. Dört işlemle ilgili alıştırmalar genellikle öğrencilerin,
hemen cevap verebilecekleri türden sorulardır. Hatta
bu sorulara cevabın mekanik olarak verilebilmesi bile
mümkündür. Dolayısıyla, alıştırmalar genel olarak
problem durumu değildir.
Örnek: iki basamaklı doğal sayıları iki basamaklı doğal
sayılarla toplama işlemi konusundaki bilgi ve becerileri
kazanmış bir ikinci sınıf öğrencisi için 29+15=? İşleminin
yapılması bir problem değil alıştırmadır. Fakat aynı
durum, toplama kavramını kazanmış henüz iki
basamaklı sayılarla toplamayı tam olarak öğrenmemiş
bir öğrenci için problem olabilir.
Problem nedir?
3. Öğrencilerin mekanik olarak cevap
veremeyecekleri fakat kazanmış oldukları mevcut
davranışlarla cevaplayabilecekleri durumlar
(sorular) problemdir.
Örnek: 20, 15 sayıları üzerine kurulmuş ve sadece
bir toplama işlemi gerektiren “Ahmet’in 20
koyunu var. Ali’nin koyunları Ahmet’inkinden 15
tane fazladır. Ali’nin kaç koyunu vardır?” sorusu
bir ilköğretim okulu ikinci sınıf öğrencisi için
önceden karşılaşılmamış olması şartıyla problem
olabilir.
Problem nedir?
• Grup çalışması:
Siz de grup halinde çalışarak hangi matematik
sorularının hangi durumlarda problem teşkil
edeceğine dair örnekler bulunuz.
Bulduğunuz örnekleri tüm sınıfla paylaşınız.
Problem çözme
• Geleneksel problem çözme anlayışı:
– Problem türleri öğretilir. Örnek: Havuz problemi
– Her türle ilgili çözüm yolları öğretilir.
– Öğrenciler kendilerine bir problem verildiğinde
önce bunun ne tip bir problem olduğuna karar
verir.
– Bu tipin çözüm yolunu uygular.
SORU: Şimdiye kadar gördüklerimiz ışığında
yukarıdaki yaklaşımı değerlendiriniz.
• Günümüzde ise bazı öğretmenler önce bir işlemin
nasıl yapıldığını öğretmekte, daha sonra da bu
işlemin uygulamasını günlük hayattan veya ders
kitaplarından seçtikleri bir problem üzerinde
uygulama yoluna gitmektedirler.
• Böyle bir yaklaşımda öğrencinin öğreneceği strateji
anahtar kelimeleri öğrenmek olacaktır. Örneğin
problemde “eksilen”, “fark” veya “kalan” kelimeleri
varsa bunun bir çıkarma işlemi gerektirmesi gibi.
• Ancak sadece bu stratejiye bağlı kalmak problem
çözmede yetersiz kalacaktır.
Problem çözme becerileri
• Farklı ülkelerde şu problem çözme becerilerinin geliştirilmesi
hedeflenmektedir:
– Öğrencilerin kendi stratejilerini geliştirebilmeleri
– Çözümlerin ve stratejilerin yeni problemlere genellenebilmesi
– Problemlerden modeller oluşturabilme, bu modellerin sözel veya
matematiksel olarak ifade edilmesi
– Çözümü açıklayabilme ve kontrol edebilme
– Yeni problemler düzenleyebilme
– Matematiğin kavramları arasında ilişki kurabilme
– Problem çözme yaklaşımlarını matematiğin esasını ve konularını
anlamada kullanabilme
– Matematiksel dilin doğru kullanılması
Problem Çözme Stratejileri
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Matematik cümlesi yazma
Tahmin ve kontrol etme
Şekil ve şema çizme
Rol yapma
Model kullanma
Tablo yapma
Yapılardan yararlanma
Organize liste yapma
Geriye doğru çalışma
Mantıksal akıl yürütme
Basitleştirme
Bilinenleri eleştirici biçimde inceleme
Matematik cümlesi yazma
• Örnek (İlköğretim 1.sınıf): Okulun bahçesinde
6 arkadaş top oynuyorduk. Sonradan bize 4
arkadaş daha katıldı. Oyun oynayan kaç kişi
olduk? 6+4=?
• Örnek (İlköğretim 3.sınıf): Bir kişi, tanesi 45 TL
olan kazaktan 2 tane ve fiyatı 123 TL olan bir
pantolon aldı. Kasaya 300 TL verdiğine göre
geriye kaç TL kalır?
• 300 – (2 x 45 + 123)=?
Tahmin ve kontrol etme
• Deneme-yanılma stratejisi olarak da bilinir.
• Problem çözümünde bazen sistematik şekilde ve akıl
yürüterek denemeler yapmak faydalı olur.
• Kör atış yapar gibi akıl yürütmeden denemeler istenmeyen bir
durumdur.
• Örnek: Her birinin rakamları toplamı 11 olan iki basamaklı iki
doğal sayının farkı 63’tür. Bu sayıları bulunuz.
• Çözüm: 92, 29; 83, 38; 74, 47; 65, 56 denemelerinden şartları
sağlayan bulunur. Soyut işlem yapabilen öğrenci için deneme
yanılma yapmadan cebirsel olarak hesaplanabilir.
Şekil veya Şema Çizme
• Örnek: Sınıfımızda Çevre ve Kızılay kollarına
öğrenci seçimi yapılmıştır. Sadece Çevre
koluna 10, her iki kola birden 8 öğrenci
seçilmiştir. Sınıfta 34 öğrenci vardır. Herkes en
az bir kola seçildiğine ve başka eğitsel kola
seçilen öğrenci olmadığına göre Kızılay koluna
kaç kişi seçilmiştir?
• Küme kesişimleri ile rahatlıkla bulunabilir.
Rol yapma
• Örnek: 5, 10, 25 kuruş paralarla kaç değişik
şekilde 25 kuruş elde edilebilir?
• Masaya 5, 10 ve 25 kuruş paralar konur. Her
defasında farklı bir öğrenciden, önceki
öğrenciden farklı bir kombinasyon oluşturması
istenir.
• Kombinasyonlar tabloya özetlenebilir.
Rol yapma
Öğrenci
Can
Canan
Evren
Nilsu
5 kr
10 kr
25 kr
1
1
3
5
2
1
Sonuçta 4 farklı kombinasyon bulunur.
Model kullanma
• Örnek: 19 Mayıs Gençlik ve Spor bayramında
öğrenciler 3 katlı bir kule yapmışlardır. Kuleyi
yaparken üstteki öğrenci her ayağını
alttakilerin birer omzuna koymuştur.
– 3 katlı kulede kaç öğrenci vardır?
– 4 katlı kule yapsalardı en altta kaç öğrenci
bulunurdu?
Tablo yapma
• Örnek: Bir firma satıcılarından 6-10 ürün
satanlara 5 TL, 10’dan fazla satanlara sattıkları
her ürün için 2 TL fazladan prim veriyor ve 5 ve
5’ten az satanlara da hiç prim vermiyor. Bir
günün sonunda 11 TL prim alan bir satıcı o gün
kaç ürün satmıştır?
• Ürün sayısı ve prim miktarının bir tablosu
hazırlanır.
Tablo yapma
Ürün sayısı
1-2-3-4-5
6-7-8-9-10
11
12
13
Prim miktarı
Prim yok
5 TL
7 TL
9 TL
11 TL
Yapılardan yararlanma
• Örnek: Her iki şehir arasında ayrı ayrı birer
telefon hattı çekileceğine göre 10 şehir
arasında kaç telefon hattı çekilir?
Yapılardan yararlanma
Şekil çizilerek şehirlerin arasındaki hat sayıları
belirlenir ve aşağıdaki tablo hazırlanır.
Şehir sayısı 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hat sayısı
1
3
6
10
15
21
28
36
45
0
Organize liste yapma
• Örnek: Ankara’dan çıkıp Samsun üzerinden
Trabzon’a gitmek isteyen bir kişi hava, deniz ve
kara yollarını tercih ederek bu yolu kaç değişik
şekilde gidebilir?
Geriye doğru çalışma
• Örnek: Bir sayının yarısının 4 fazlasının 2 katı
alınmış ve 10 bulunmuştur. Bu sayı kaçtır?
Mantıksal akıl yürütme
• “Böyle ise şöyle olur”.
• “Bu durumdan bu sonuç çıkar”.
• Akıl yürütmeye başvurmada yardımcı olarak şekil, şema, grafik veya
tablodan faydalanılabilir.
• Örnek: Evren’in elmaları, portakalları, armutları ve muzları vardır. Hepsi 12
tanedir. Elmaların sayısı portakalların sayısına eşit ve armutların sayısı
muzların sayısının iki katı olduğuna göre her bir meyveden kaç tane vardır?
• Çözüm: Armutların sayısı muzların sayısının iki katı olduğuna göre, ikisinin
katları toplamı 3 eder. O halde, elmalarla portakallar çıkarıldığında kalan
meyvelerin sayısı 3 ile bölünebilmelidir. Elma ve portakalların sayısı eşit ise
bu sayı 1 veya 2 olamaz. Çünkü geriye 10 veya 8 kalır ki bu da 3 ile
bölünemez. O halde elma ve portakal sayısı 3 olmalıdır. Geriye 6 kalır ve bu
3 ile bölünebilir. 3 elma, 3 portakal, 2 muz ve 4 armut.
• Burada mantıksal akıl yürütme ile denemenin birlikte kullanıldığına dikkat
ediniz.
Basitleştirme
• Örnek: Her sayfasının kalınlığı 1/55 cm olan 200 sayfalık
bir kitabın kalınlığı kaç cm’dir?
• Bu problem, sayılar küçültülerek aşağıdaki şekilde ifade
edilebilir. Her birinin kalınlığı ½ cm olan üst üste konulan
4 tahtanın toplam kalınlığını bulunuz.
• Problemin bu şekilde ifade edilmesi, yukarıdaki
problemin daha kolay anlaşılmasını sağlar.
• 4x ½ =? Matematik cümlesinin yazılmasını sağlar.
• Buradan asıl problemde istenen 200 x 1/55=?
Matematiksel cümlesinin yazılmasına geçilebilir.
Bilinenleri eleştirici biçimde inceleme
• Problemler hayatta düzenli şekilde karşımıza
çıkmaz, çoğu zaman var olan bilgilerden gerekli
olanları biz seçeriz. Karşılaştığımız problemlerde
gereksiz bilgiler bulunabileceği gibi eksik bilgiler
de olabilir. Bu nedenle bilinenler eleştirici
biçimde incelenmelidir.
• Örnek: Dikdörtgensel bölge şeklindeki bir
bahçenin uzun kenarı 15 m ve kısa kenarı 7
m’dir. Çevresi 44 m olan bu bahçe üç sıra dikenli
tel ile çevrilecektir. Kaç m dikenli tel gerekir?
• Bu örnekte fazladan bilgi verilmiştir. Öğrencinin
bu tartışmayı yapması önemlidir.
Farklı problemler
1.Problem:Suyu Bölmek
• Bir testideki 8 litre
su biri 5 litrelik biri de 3
litrelik iki şişe kullanılarak
4’er litrelik iki eşit
bölüme nasıl ayrılabilir?
1.Cevap:Suyu Bölmek
• Aşağıdaki çizelge çözüm için izlenebilecek
yollardan birini göstermektedir.
Yani bu çizelgeyi sözel ifadelere dökersek:
 İlk olarak 3lt.lik şişemizi doldururuz.
 Sonra 3lt.lik şişemizi 5lt.lik şişemize boşaltırız.
 Üçüncü olarak 3lt.lik şişemizi tekrar testiden
doldururuz. Bu arada testimizde 2lt kaldığını
unutmayalım.
 Dördüncü olarak 3lt.lik şişemizle 5lt.lik şişemiz
dolduralım. 3lt.lik şişemizde 1 litre su kalır.
 Beşinci olarak 5 litrelik şişemizi testiye boşaltırız. Son
durumda 3lt.lik şişemizde 1lt testimizde 7 litre su
vardır, 5lt.lik şişemiz ise boş…
 Son olarak 3lt.lik şişemizdeki suyu 5lt.liğe boşaltırız
ardından şişemizi tekrar doldurup 5 lt.lik şişemize
tekrar boşaltırız.
 İşlem tamamlanmıştır.
2.Problem:Avcının Derdi
 Tüfeği ile trene binmek isteyen bir avcının tüfeğini
yanına almasına izin verilmeyince, o da tüfeğini trenin
bagaj vagonuna bırakmaya karar verir. Ancak bu kez
de tüfeğin boyu bir sorun yaratır. Çünkü bagaja kabul
edilecek eşyanın en büyük boyutunun en çok 1 m
olması gerekmektedir; oysa tüfeğin boyu 1,7 m’dir.
Sonunda avcı bu sorunu halleder. Nasıl bir çözüm
bulur avcı? (Hayır, rüşvet vermez.)
2.Cevap:Avcını Derdi
Avcı bir ayrıtı 1 m olan bir küp yaptırır ve
tüfeğini büyük köşegen boyunca küpün içine
yerleştirir (bir ayrıtı 1 m olan küpün büyük
köşegeni 3 = 1,73 m’dir).
1m
1m
3.Problem:Mektupla Satranç
 Birbirinden uzakta oturan kişiler hamlelerini birbirine
mektupla yollayarak satranç oynayabilirler.Bu oldukça sık
başvurulan bir karşılaşma şeklidir. Hatta bu şekilde
satranççılar aralarında turnuva bile düzenleyebilirler.
 Turnuvada bir karşılaşmada rakibinizi yenerseniz 1 puan,
berabere kalırsanız 1/2 puan kazanırsınız.
 İşte böyle turnuvalardan birine katılan uluslararası usta Zeki
Hin’in iki maçı daha kalmıştır. Eğer bu iki maç sonunda en az
1 puan elde ederse turnuvanın birincisi olacaktır. Ancak Zeki
Hin bu son iki maçında iki büyük usta ile karşılaşmak
durumundadır. Bu nedenle ihtiyacı olan bu 1 puanı elde
edebilmesi oldukça zor görünmektedir.
 “İsmiyle müsemma” olan ustamız karşılaşmalardan birinde
beyaz diğerinde ise siyah taşlarla oynayacağını bilmektedir.
Zeki Bey sonunda kendisine bu iki maçtan mutlaka 1 puan
kazandıracak yöntemi bulur.
 Zeki Hin nasıl oynar bu zor iki maçı???
3.Cevap:Mektupla Satranç
 Zeki Hin beyaz taşlarla oynayan rakibinin
hamlelerini siyah taşlarla oynayan rakibine, bu
ikincinin hamlelerini de geriye beyaz taşlarla
oynayan rakibine postalar.
 Dolayısıyla gerçekte iki rakibinin birbiriyle
karşılaşmasına aracılık eder.
 Sonunda rakiplerden biri ötekini yener ya da
berabere kalırlar.
 Ancak her iki durumda da Zeki Hin
komisyonculuk ücreti 1 puanı alır.
4.Problem:Erler
200 er her birinde 20 kişi olan 10 sıra halinde dizilsin;
yani 10 sırası ve 20 kolu olan bir “tertip” oluştursun.
 Şimdi her sıranın en uzun boylu erini
seçelim ve bu (uzun) 10 er arasından da en
kısa boylu olanını ayıralım. Bu kişiye
“uzunların kısası” diyelim.
 Şimdi erler tertipteki yerlerine dönsün. Biz
bu kez her kolun en kısa boylu erini seçelim
ve bu (kısa) 20 er arasından da en uzun
boylu olanı ayıralım. Bu kişiye de “kısaların
uzunu” diyelim.
 Hangisi daha uzundur? “Uzunların kısası”
mı yoksa “kısaların uzunu” mu?
4.Cevap:Erler
 Eğer kısaların uzunu (KU) ile uzunların kısasa (UK)
aynı sırada iseler UK, KU’dan daha uzundur.
 Çünkü UK tanım gereği o sıranın en uzunudur.
 Eğer KU ile UK aynı kolda iseler, gene UK, KU’dan
daha uzundur çünkü tanım gereği KU o kolun en
kısa kişisidir.
 Şimdi KU ile UK aynı sırada ya da aynı kolda
olmasın. UK ile aynı sırada ve KU ile aynı kolda
olan ere M diyelim.
 M, KU’dan uzun, UK’dan kısadır.Şu halde gene
UK, KU’dan uzundur.