Теорія Множин і комбінаторика
Download
Report
Transcript Теорія Множин і комбінаторика
Теорія множин
Комбінаторика
Множина. Її елементи
Поняття множини є первинним поняттям
математики, якому не дається означення.
Множину можна уявити, як сукупність
зібрання деяких предметів, об’єднаних за
певною характеристичною ознакою.
Приклади:
множина учнів класу;
множина букв латинського алфавіту;
множина чисел, які використовують при
лічбі, її називають множиною натуральних
чисел N.
Множина зазвичай позначається будь-якою
великою буквою латинського алфавіту, при
заданні множини переліком елементів –
елементи беруться у фігурні дужки.
B={,,,} – множина задана переліком елементів.
Для деяких множин існують спеціальні позначення:
множина всіх натуральних чисел – літерою N;
множина всіх цілих чисел – Z;
множина всіх раціональних чисел – Q;
множина всіх ірраціональних чисел – I;
множина всіх дійсних чисел R;
множина всіх комплексних чисел C.
Множина, яка не має жодного елемента,
називається порожньою і позначається
Предмети, що утворюють множину,
називаються елементами множини.
Належність елемента до множини позначається
.
Неналежність елемента до множини позначається
,
Приклади:
Нехай А – множина чисел першого десятка, тоді
7 A; 12 A.
Нехай L – множина букв латинського алфавіту,
тоді z L; ô L.
.
Порівняння множин
Дві множини вважаються рівними, якщо вони
складаються з одних і тих самих елементів.
А В
Поняття підмножини
Якщо кожен елемент множини А є елементом
іншої множини В, то кажуть, що А є підмножиною
В і записують: A B, якщо при цьому
допускається, що множина А включає у себе всі
елементи множини В, то записують А В.
Таким чином:
Інколи співвідношення між множинами зручно
ілюструвати за допомогою кругів (які часто
називають кругами Ейлера-Венна).
Співвідношення
між множинами
А – підмножина
В.
N, Z, Q, R.
Множини бувають скінченними і нескінченними.
Скінченна множина містить певну кількість
елементів.
Наприклад:
А={1; 5; 8; 17}.
B - множина учнів в класі.
Нескінченна множина містить безліч елементів.
Наприклад:
N, Z, Q, I, R, C.
B - множина точок на прямій.
Перетин (переріз, добуток) множин
Приклад:
і В 32;
А – Перетином
множина всіхмножин
дільниківАчисла
, що 24;
В –називається
множина всіхмножина
дільниківСчисла
складається з усіх тих і лише
А={1; 2; 3;
8;
16;
32};
B={1;
2;
3;
4;
6;
8;
12;
24};
тих елементів, які входять
C=A∩B; до
C={1;
2; 3; 8}.
складу
кожної з даних
і Впрямокутників;
і є спільною
2.
А –множин
множинаАвсіх
множин
А і В.
В –частиною
множина всіх
ромбів;
C=A∩B – множина всіх квадратів.
1.
С А В
Об’єднання (сума) множин
Приклад: Об’єднанням двох множин А і В
1) А={1; 2;3; 4} B={3; 4; 5; 6}
називається така множина С, яка
C=AUB = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
складається з усіх елементів
2) А і B-множини точок двох трикутників зі
множин А і В і лише з них.
спільною стороною.
C=AUB – множина точок опуклого
многокутника.
Ñ À Â
Різниця множин
Приклад:
1. A={5; 6;
8; 12}
B={5;А 8}і В називається така
Різницею
двох
множин
множина
С, яка
усіх елементів
C=A\B={8;
12} складається
C=B\A=Ø з С=В\А
С=А\В
множини
які14;
не50;
належать
множині
В. 100}
2. A={10;А,12;
78} B={3;
14; 78;
C=A\B={10; 12; 50} C=B\A={3; 100}
Завдання з теми “Множини”
1.A={1;5;8;15}; B={3;5;7;15;18}; C=AUB; D=A∩B
Знайдіть C і D.
2. Чи існують такі множини А, В і С, для яких виконуються усі 3 умови A∩B≠Ø;
A∩C=Ø; (A∩B)\C=Ø.
3. A={3;19;125}; B={7;13;125}; C=A∩B; Зі скількох елементів складається множина
С.
4. A={хліб, молоко, цукерки, печиво, кава} – множина товарів у магазині.
В1={масло, печиво, цукор} – множина товарів, які хоче придбати перший
покупець.
В2={молоко, хліб, печиво} – множина товарів, які хоче придбати другий покупець.
Який із двох покупців зможе задовольнити свої потреби у магазині?
5. Яка із множин A={1; 3.5; 9;}; B={1;7;8;9;19}; C={-1; 0; 7; 8; 15;} є підмножиною
множини натуральних чисел N.
6.А- множина квадратів усіх цілих чисел. Які із чисел 1; 16; 5; -4; 0.3; 8; 25 є
елементами цієї множини.
7.Нехай А – множина коренів рівняння х2 − 3х + 2 = 0 , а В = {0; 2}.
Знайти A∩B, АUВ.
8. Яка із двох множин є підмножиною іншої (Q≠Ø):
а) Р та Р∩Q ;
При розв’язуванні багатьох практичних задач доводиться
вибирати з деякої сукупності об’єктів елементи, що мають ту або
іншу властивість, розміщуватися ці елементи в певному порядку,
з’ясовувати скількома способами можна це зробити і т.ін. оскільки
в таких задачах мова іде про ті або інші комбінації об’єктів то
такі задачі називають комбінаторними.
Розділ математики, в якому вивчають комбінаторні задачі,
називають комбінаторикою. У комбінаториці розглядається вибір
і розміщення елементів деякої скінченної множини на основі
якихось умов.
В основі розв’язування багатьох
комбінаторних задач лежать два
основних правила – правило суми і
правило добутку.
Правило суми
Приклад:
Якщо
на тарілці
лежить
3 груші
та 2 яблука, то
У загальному
вигляді
має місце
таке твердження:
вибрати один фрукт (тобто грушу або яблуко)
Якщо елемент множини А можна вибрати m
способами, а елемент множини В – n
способами, то елемент множини А або В можна
вибрати m+n способами.
можна 2+3=5 способами.
Правило добутку
ВПриклад:
загальному вигляді має місце таке
твердження:
Якщо на одній тарілці лежать 3 яблука, а на
Якщо -елемент
А можна
другій
2 груші, томножини
вибрати пару
груша вибрати
і яблуко
m способами, а після цього
елемент
множини В – n способами, то А і В можна
вибрати (m ∙ n) способами.
можна 3 ∙ 2 = 6 способами.
Повторюючи наведені міркування декілька
разів, одержуємо, що правила суми і добутку
можна застосовувати при виборі довільної
скінченної кількості елементів.
Отже, якщо доводиться вибирати або
перший елемент, або другий, або третій і т. д.
елемент, способи вибору кожного елементу
додають, а коли доводиться вибирати набір у
який входить і один, і другий, і третій, і т. д.
елемент, способи вибору перемножують.
У комбінаториці розглядається вибір
і розміщення елементів деякої
скінченної множини на основі якихось
умов.
Впорядкована множина
Множина, кожному елементу якої поставлений у
відповідність
певний
номер
називаеться
впорядкованою.
Будь-яку впорядковану множину, що містить
більше одного елемента можна впорядкувати
декількома способами.
Впорядковані множини вважаються різними, якщо
вони складаються з різних елементів або мають
різний порядок одних і тих же елементів.
Різні впорядковані множини, що відрізняються
лише порядком елементів (тобто можуть бути
отримані
з
однієї
множини)
називаються
перестановками цієї множини.
Перестановки
Візьмемо множину з двох елементів, для прикладу, з двох
Будь-яка
впорядкована
множина,
яка складається
зn
літер
А і Б. Зрозуміло,
що їх
можна розташувати
по порядку
елементів,
називаеться
перестановкою
з n елементів.
двома способами:
АБ або
БА, тобто P=2=1•2.
Три літери
Отжерозташувати
перестановки
n елементів
відрізняються
можна
позпорядку
шістьма
способами:одна
АБВ,від
одної
перестановок з n
АВБ,лише
БАВ, порядком
БВА, ВАБ,елементів.
ВБА, тобтоЧисло
P=6=1•2•3.
елементів
P.
Взагалі,Pпозначається
(число перестановок
з n елементів) дорівнює
Перестановки
можна
утворюватичисел
з елементыв
будь-якої
добутку перших
n натуральних
P=1•2•3•...•n.
скінченної
множини.
Для добутку
перших n натуральних чисел прийнято
Множину з позначення:n!
одного елемента
можна впорядкувати
однимспеціальне
(читається
"n-факторіал").
єдиним
способом:
елементможна
множини
доводиться
Користуючись
цимєдиний
позначенням
записати
P=n!
вважати
першим,
тобто P=1.
Як вже
зазначалося,
множину з одного елемента можна
впорядкувати єдиним способом. Для подальшого зручно
вважати, що порожню множину теж можна впорядкувати
лише одним способом, тобто домовитися вважати,
що P1=1!=1 і P0=0!=1.
Розміщення
Отже,
розміщення
відрізняються
одне від одного
Розміщенням
з n елементів
по k називається
будьабо
порядком
елементів. складена з
яка елементами,
впорядкованаабо
множина
з k елементів,
Характеристичні
ознакимножини.
розміщень:
елементів
n-елементної
Наприклад із
1) предмети і місця різні;
множини з трьох цифр {1; 5; 7} можна скласти такі
2) 0 ≤ k ≤ n;
розміщення
з двох
елементів:
(1;5), (1;7), (5;7), (5;1),
3) усі k місць
треба
зайняти;
(7;1),
4)(7;5).
порядок елементів важливий.
Ще
однією класичною
на розміщення
є
Очевидно,
що коли k задачею
= n, матимемо
перестамовки
на складання
розкладу, наприклад:
скількома
ззадача
k елементів,
тобто перестановка
є окремим
випадком
розміщення
за умови,
щорозклад
k = n. з 5 різних
сппособами
можна скласти
даний
Кількість
розміщень
з n елементів
понавчальних
k
уроків,
якщо
у класі вивчають
дев’ять
k (читається: "А з ен по ка") і
позначається
A
предметів?
n
розраховується за формулою Ak n!
n
(n k )!
Сполучення
Якщо при розв’язуванні комбінаторної задачі з елементів
даної множини треба скласти підмножини, які різняться
складом елементів, а порядок розташування вибраних
елементів є не істотним, то говорять, що маємо задачу на
сполучення. Сполученням з n елементів по k називаеться
будь-яка k - елементна підмножина n - елементної множини.
Характеристичні ознаки сполучень:
1) предмети різні;
2) 0 ≤ k ≤ n;
3) порядок елементів не має значення.
k
Кількість комбінацій з n елементів по k позначається n і
розраховується за формулою:
k
n
C
n!
C
k!(n k )!
Вибір формули
Чи враховується порядок?(Чи є множина впорядкованою?)
Так
Ні
Усі елементи
приймають участь?
Так
Ні
Перестановки
Розміщення
Сполучення
Pn n!
n!
A
(n k )!
n!
C
k!(n k )!
k
n
k
n
Біном Ньютона
Властивості:
a+bчленів
називається
біномом.
1.Двочлен
Кількість
розкладу
бінома на одиницю більше за
З шкільного
алгебри відомі квадрат і куб двочлена:
показник курсу
степеня.
одного
(2.a Показники
b) 2 a 2 2ab
b 2 з членів зменшуються від n до 0, а
показники
другого
збільшуються
від 0 до n.
3
3
2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
3. Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від кінців
розкраду рівні між собою:
Для довільного натурального n має місце формула:
1
n 1
2
Cni a n i bni C 0 annb 0
n2
nC 1 a n 1b1
С C ; C C ; C C
0
n n
n
(a n b) n
n
n
;
n
... Cnn a 0b n
0
4. Сума усіхi біномінальних
коефіціентів дорівнює 2 , де n
показник бінома.
n
Комбінаторика
–
розділ
дискретної
математики, присвячений розв’язанню задач
про вибір та розміщення елементів скінченної
множини, згідно з заданими правилами, для
створення певних комбінаторних конфігурацій.
В основі розв’язування багатьох
комбінаторних задач лежать два
основних правила – правило суми і
правило добутку.
Правило суми
Правило суми стверджує:
якщо множина А складається з n елементів, а
Приклад:
множина В з k, то вибрати елемент множини А
Маємо 2 урни. У першій – n куль, а у другій – k.
або В можна n+k способами.
Отже з першої урни можна вибрати кулю n
способами, а з другої – k способами. І тоді існує
n+k способів, щоб вибрати кулю з будь-якої із
обох урн.
Правило добутку
Правило добутку стверджує:
Якщо елемент множини А можна обрати
Приклад:
n способами,
елемент
множини
Маємо
2 урни. У апершій
– n жовтих
куль,Ва–у k
способами,
то існує n∙k способів
другій
– k синіх.
сформувати
комбінацію
з двох кулю n
Отже
з першої урни
можна вибрати
елементів,
із нихІ зтоді
множини
способами,
а звзявши
другої – kодин
способами.
існує
n∙k
скласти набір
А, способів,
а другийщоб
з множини
В. з однієї синьої і
одної жовтої кулі.
Повторюючи наведені міркування декілька
разів, одержуємо, що правила суми і добутку
можна застосовувати при виборі довільної
скінченної кількості елементів.
Отже, якщо доводиться вибирати або
перший елемент, або другий, або третій і т. д.
елемент, способи вибору кожного елементу
додають, а коли доводиться вибирати набір у
який входить і один, і другий, і третій, і т. д.
елемент, способи вибору перемножують.
У комбінаториці розглядається вибір
і розміщення елементів деякої
скінченної множини на основі якихось
умов.
Впорядкована множина
Множина, кожному елементу якої поставлений у
відповідність
певний
номер
називаеться
впорядкованою.
Будь-яку впорядковану множину, що містить
більше одного елемента можна впорядкувати
декількома способами.
Впорядковані множини вважаються різними, якщо
вони складаються з різних елементів або мають
різний порядок одних і тих же елементів.
Різні впорядковані множини, що відрізняються
лише порядком елементів (тобто можуть бути
отримані
з
однієї
множини)
називаються
перестановками цієї множини.
Перестановки
Pn=n! (n! читається “ен факторіал”
Перестановки множини А (позначається Pn)
n!=1∙2∙3∙…∙n=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙1)
–Доведення:
це множини, що складаються з тих самих
елементів, що й А, але розставлених у
Нехай А – множина з n елементів.
різному порядку.
Номер 1 можна присвоїти будь-якому з n
елементів, номер 2 будь-якому з (n-1)
елементів (бо один вже пронумеровано),
номер 3 будь-якому з (n-2) елементів що
залишилися і т.д.
Отже Pn=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙1=n!
Розміщення
n! впорядкована підмножина з k
k
Будь-яка
An
(n k )!даної n-елементної множини
елементів
Доведення:
називається розміщенням з n елементів по k.
Нехай існує множина А, що містить n елементів і деяка
послідовність, що може бути заповнена будь-якими k
елементами з n, k≤n. Отже, як і у випадку з
перестановками, першим елементом послідовності може
стати один із n елементів, другим – один із (n-1) і т.д. але
Розміщення
відрізняються
одне
від
одного
ми маємо k місць для розміщення елементів з множини А і
або послідовність
складом або
порядкомбуде
елементів.
тому
n∙(n-1)∙(n-2)…
на (n-k) множників
коротшою, а добуток у (n-k)! разів меншим за n!
Отже Ank n! .
(n k )!
Сполучення
Властивості
n
!
k Сполученням з nn елементів
Cn
1) Cn 1; C0n 1; C00 по
1. k
k!(n k )! будь-яка
називається
n -1
2) C0 Cневпорядкована,
n; Cm Cn -m
n
n
n
n
Доведення:
k - елементна підмножина даної
Нехай існує множина А, що містить n елементів і деяка
n - елементної множини.
послідовність(невпорядкована множина), що містить k
елементів, вибраних із А.
n!
Якщо існує A (n k )! , можливих способів заповнити k –
елементну послідовність, що є впорядкованою множиною,
то дану послідовність можна заповнити C P (nn! k )! k!(nn! k )!
способами.
k
n
k
n
n
Біном Ньютона
Властивості:
a+bчленів
називається
біномом.
1.Двочлен
Кількість
розкладу
бінома на одиницю більше за
З шкільного
алгебри відомі квадрат і куб двочлена:
показник курсу
степеня.
одного
(2.a Показники
b) 2 a 2 2ab
b 2 з членів зменшуються від n до 0, а
показники
другого
збільшуються
від 0 до n.
3
3
2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
3. Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від кінців
розкраду рівні між собою:
Для довільного натурального n має місце формула:
1
n 1
2
Cni a n i bni C 0 annb 0
n2
nC 1 a n 1b1
С C ; C C ; C C
0
n n
n
(a n b) n
n
n
;
n
... Cnn a 0b n
0
4. Сума усіхi біномінальних
коефіціентів дорівнює 2 , де n
показник бінома.
n
Тести
З 30 учасників зборів треба вибрати голову і
секретаря. Скількома способами це можна зробити?
435
30!
870
15
інша
відповідь
Тести
Скількома способами можна вибрати трьох
чергових з групи в 20 чоловік?
1140
6
6840
20!
інша
відповідь
Тести
Скількома способами можна вісім учнів
вишикувати в колону по одному?
256
40320
64
8
інша
відповідь
Тести
У коробці знаходяться 10 білих і 6 чорних куль.
Скількома способами з коробки можна витягти одну
кулю будь-якого кольору?
6
60
10
16
інша
відповідь
Тести
Маємо чотири різні конверти без марок і 3 різні марки.
Скількома способами можна вибрати конверт і марку
для відправки листа?
3
12
4
7
інша
відповідь
Тести
Многочлен x4+8x3+24x2+32x+16 є біномінальним
розкладом степеня
(х+1)4
(х-2)4
(х+2)4
(х-4)4
інша
відповідь
Тести
Скільки різних звукосплучень можна взяти на десяти
вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукосполучення
може містити від трьох до десяти звуків?
968
1023
52
120
інша
відповідь
Тести
Скількома способами можна розмістити на шаховій
дошці дві тури, щоб одна не змогла побити іншу?
(одна тура може побити іншу, якщо вони
знаходяться з нею на одній горизонталі або на одній
вертикалі шахової дошки).
3136
2016
4032
113
інша
відповідь
Тести
Учасники шахового турніру грають в залі, де є 8
столиків. Скількома способами можна
розмістити шахістів, якщо учасники всіх партій
відомі?
16!
8!
16
8
інша
відповідь
Тести
Скільки існує правильних дробів, чисельник і
знаменник яких прості числа, не більші за 20?
28
56
190
380
інша
відповідь
Тести
Яку мінімальну кількість елементів повинна
містити множина, щоб число усіх перестановок з
елементів цієї множини було не менше 500?
5
7
8
6
інша
відповідь
Тести
Знайдіть показник степеня бінома, якщо шостий
член розкладу (a-3/4-a-3/5)n не залежить від a.
7
8
10
9
інша
відповідь
Дякуємо за увагу!
На початок
Завершити