Transcript Основні комбінаторні схеми

Комбінаторика
1
Правило суми
Об’єкт А можна вибрати
p способами
Об’єкт В можна вибрати незалежно від А
- іншими q способами
Об’єкт А або об’єкт В -
p+q способами
2
Задача про Вовочку маленького
Вовочка може їсти манну кашу або великою, або
маленькою ложкою.
На кухні є дві різних великих (золота та срібна) і три
маленьких (інкрустовані бурштином, ізумрудами,
топазами) ложечки.
Скількома різними способами Вовочкина мати може
згодувати йому манну кашу?
2 великих + 3 маленьких = 5 способів
3
Правило добутку
Об’єкт А можна вибрати
p способами
Об’єкт В можна вибрати незалежно від А
- q способами
Впорядковану пару об’єктів (А,В)
-
p·q способами
4
Задача про Вовочку великого
У Вовочки є дві пари кросівок (Adidas, Reebok) та 3 пари
джинс (Levi Strauss, Wrangler, Super Rifle).
Скільки різних варіантів прикіда для дискотеки є у Вовочки ?
2 кросовок  3 джинс = 6 прикідів
5
Задача про Вовочку піжона
У Вовочки є дві краватки (синя і жовта) та три сорочки
(біла, синя і зелена).
Скільки існує у Вовочки різних прикідів для занять таких,
щоб сорочка і краватка були різного кольору?
2 краватки  3 сорочки = 6 прикідів
6
Принцип Діріхле
Серед n+1 об’єкта n типів
є щонайменше 2 об’єкта
однакового типу
7
Задача про Вовочку соню
У Вовочки в гуртожитку в темній нижній шухляді шафи
лежать шкарпетки 4 кольорів: білого, чорного, жовтого.
синього.
У разі підйому з запізненням скільки шкарпеток не
глядячи повинен узяти Вовочка, щоб у тролейбусі можна
було одягнути шкарпетки однакового кольору?
4 кольори + 1 = 5 шкарпеток
8
X
Вибірки
 a1 , a 2 ,.... a n 
a ij  X
a i1 , a i 2 , . . . a i k
вибірка об’єму k з множини Х
X={1,2,3,4,5}
<2,3,4> <2,2,3>
<4,3,2> <2,3,2>
однакові як невпорядковані
різні як впорядковані
9
1.
Типи вибірок
порядок
повторення так
ні
так
ні
впорядковані з
повтореннями
невпорядковані з
повтореннями
впорядковані без
повторень
невпорядковані без
повторень
10
Розміщення
Кількість різних
впорядкованих вибірок
без повторень
об’єму k
з n елементної множини
A
k
n
11
Розміщення
k
n
A  n  ( n  1)  ( n  2 )  .....  ( n  k  1) 
n!

( n  k )!
1
2
3
k
n
n-1
n-2
n-k+1
12
Задача про збори
В групі з N студентів для ведення зборів треба обрати
голову та секретаря.
Скількома способами можна це зробити?
Впорядкована пара - (голова; секретар)
А
2 начальники
N студентів
=
N (N-1)
13
Перестановки
Кількість способів впорядкування
n-елементної множини
Кількість різних
впорядкованих вибірок
об’єму n
з n-елементної множини
Pn
14
Перестановки
n
n
Pn  A  n  ( n  1)  ( n  2 )  .....  3  2  1 
n!
  n!
0!
1
2
3
n
n
n-1
n-2
1
15
Задача про авто
Наталка підвозить з університету до метро Сашка,
Миколу і Івана. Щоб вони не відволікали її від управління
транспортним засобом, Наталка всіх їх садить на заднє
сидіння.
Скільки існує способів усістися хлопцям?
Сашко, Микола, Іван
1
Микола, Сашко, Іван
3
Іван, Сашко, Микола
5
Сашко, Іван, Микола
2
Микола, Іван, Сашко
4
Іван, Микола, Сашко
6
Р3 хлопців=321=6
16
Комбінації
Кількість різних
невпорядкованих вибірок
об’єму k
з n елементної множини
C
k
n
17
Комбінації
1 невпорядкована
C  Pk  A
k
n
k
n
C 
k
n
k! впорядкованих
C
k
n

A
k
n
Pk
n!
k !( n  k )!
18
Задача про морозиво
Для одержання смачного морозива асорті треба узяти два
різних сорти.
Скільки різних типів асорті можна приготувати з
шоколадного, полуничного, вершкового та фісташкового
морозива?
шоколад+полуниці
полуниці+вершки
шоколад +вершки
полуниці+фісташки
шоколад +
фісташки
вершки+фісташки
С
2 сорти
4 сортів
=
43
2
= 6 асорті
19
2.
Співвідношення для
комбінацій
1
2
m
nm
m
n
m1
n1
Cn  Cn
C
 C
0 m n
,
C
m
n1
,
1 m  n
3 C  C  C  . . . C
0
n
4
1
n
2
n
C n  C n  C n  . . . (  1)
0
1
2
n1
n
n1
C
n1
Cn
n
n
 2
n
 (  1) C n  0
n
n
20
Доведення співвідношення
C
m
n
 C
nm
n
,
вибірка об’єму n-m
вибірка об’єму m
C
m
n
0 m n
=
C
nm
n
21
Доведення співвідношення
C
m
n
C
m 1
n 1
C
m
n 1
X  a1 , a 2 , . . . a n 
+
вибірки з a1
вибірки без a1
всі вибірки
C
+
C
C
m 1
n 1
m
n 1
m
n
22
Кількість підмножин
A={a1,a2,a3,….an} BA
B{α1,α2,α3,…..αn}
1
i  
0
ai  B
ai  B
α1 – 2 можливості
α2 – 2 можливості
α3 – 2 можливості
..............................
αn – 2 можливості

2n можливостей
23
Доведення співвідношення
0
n
1
n
2
n
n 1
n
C
n
n
0-елементних підмножин
C
1-елементних підмножин
0
n
1
n
C
C  C  C  ...  C
2
n
A  a1 , a 2 ,... a n 
…………………
k-елементних підмножин
…………………
Всі підмножини
k
n
C
n
2
24
Біном Ньютона
n
(a  b)
n


k
n
k
C a b
nk
,n 0
k0
( a  b )( a  b )....( a  b ) = an+an-1b+….+akbn-k+…

n
разів
k
a b
nk
з k дужок узято a,
з решти - n-k дужок узято b
способів вибрати k дужок з n
C
k
n
25
Доведення співвідношення
0
n
1
n
2
n
n
C  C  C  ...  (  1) C
n
0
n
1
n
n
0
n
1
n
n
n
0
n
(1  1)  C  C  ....  (  1) C
(1  1)  C  C  ....  C
n
n
n
n
26
3.
Трикутник Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
коефіцієнти біному Ньютона при
коефіцієнти біному Ньютона при
коефіцієнти біному Ньютона при
коефіцієнти біному Ньютона при
коефіцієнти біному Ньютона при
C
m1
n1
C
+
m
Cn
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
m
n1
27
Розміщення з
повтореннями
Кількість різних
впорядкованих вибірок
з повтореннями
об’єму k
з n елементної множини
A
k
n
28
Розміщення з
повтореннями
A
k
n
 n
k
1
2
3
k
n
n
n
n
29
Перестановки з
повтореннями
n1 елементів 1-го типу
n2 елементів 2-го типу
……………………
nk елементів k-го типу
n1+n2+…+nk=n
Кількість різних способів впорядкування
множини з n1 елементів 1-го типу,
n2 елементів 2-го типу,….
nk елементів k-го типу, всього n
Pn(n1,n2,…nk)
30
4. Перестановки з повтореннями
n1
nk
{
{
ел.1-го типу
ел.1-го типу
…………...
ел.1-го типу
…………..
ел.k-го типу
ел.k-го типу
……………
ел.k-го типу
1-й ел.1-го типу
2-й ел.1-го типу
…………...
n1-й ел.1-го типу
1-й ел.k-го типу
2-й ел.k-го типу
…………...
nk-й ел.k-го типу
}
}
n 1!
nk!
Pn ( n1 , n 2 ,... n k )  n1 !n 2 ! ...  n k !  n!
Pn ( n1 , n 2 ,... n k ) 
n!
n1 !n 2 ! ...  n k !
31
Комбінації з
повтореннями
Кількість різних
невпрорядкованих вибірок
з повтореннями
об’єму k
з n-елементної множини
C
k
n
32
Комбінації з повтореннями
11...1011..110...0111..11
1-й тип 2-й тип
....
n-й тип
1 - k штук, 0 - n-1 штук, усього завжди k+n-1 символів
C
з k+n-1 позицій - k для 1
C
k
n
 C
k
n k 1
 C
k
n k 1
n1
n k 1
33
Скільки розв’язків
у цілих невід’ємних числах
має рівняння
x 1  x 2  . . . . . x n  k x i  0
xi
- кількість елементів і-го типу
C
k
n
34
5.
Поліноміальна теорема
( x 1  x 2  . . . . x k ) 
n

P
n
n 1  0 ,... n k  0
n 1  ...  n k  n
(n1 , . . . . , n k )  x
n1
1
 x  . . . . x
n2
2
nk
k
35
6.
Поліноміальна теорема
( x1  ...  x k )( x1  ...  x k )...( x1  ...  x k )
x i1 x i2 ..... x i n
1  ip  k
x x .... x , n1  n 2  ...  n k  n, n i  0
n1
1
nk
k
n2
2
x1 взято з n1 дужок
……………….
xk взято з nk дужок
x1 x1 ... x1 x 2 x 2 ... x 2 ... x k x k ... x k
   
 

n1
n2
nk
Pn(n1,n2,….nk) перестановок
36
7.
K=2
 P (n , n
n
( x1  x 2 ) 
n 2  n  n1
n
n1  0 , n 2  0
n1  n 2  n
2
)x x
n2
2
n

Pn  n1 , n  n1  
1
n1
1
 P n , n  n   x
n
1
n1  0
n!
n1 !( n  n1 )!
1
C

C
n1  0
n1
1
x
n  n1
2

n1
n
n
n1
n
n1
1

x x
n  n1
2
37