Transcript Потужність множин

Потужність множин
Еквівалентні множини
1
Як ми рахуємо....
4
3
2
1
2
Еквівалентні множини
множина
бієкція
A еквівалент на множині B  A     B
1,2 ,3 , . . .   0 ,1, 1,2 , 2 , . . . .
12 3 4 5
0112  2
n
m  (  1) 
2
 
n
(0;1)(0,2) y=2x
1
1
1 3
0 ,1   ,  y   x 
2
4
4 4
(0,1)  
y  tg ( x   / 2)
3
Скінченні, зліченні, континуальні
A – скінченна  n A{1,2,3,…,n}
А – нескінченна  А не є скінченною
A – зліченна AN={1,2,3,…,n,…}⇔
A={a1,a2,a3,…..}
А – не більш ніж зліченна  А – зліченна
або А - скінченна
A – континуальна  A=(-;+)
4
Лема. Об’єнання зліченної та не більш ніж
зліченної множин – є множина зліченна
ANA{1,2,3,…}A={a1,a2,a3,..}
BNB{1,2,3,…}B={b1,b2,b3,..}
C{1,2,3,….n}  C={c1,c2,…cn}
AC={c1,c2,…cn,a1,a2,a3,..}
AB= {a1,b1,a2,b2,a3,b3,..}
2i-1ai 2ibi
5
Лема: Декартов квадрат зліченної
множини є множина зліченна
NNN, N={1,2,3,…..,n,…}
NN={(1,1);(2,1);(1,2);(3,1);(2,2);(1,3);….}
( 1,1)
1
2
( 2 ,1)
( 3 ,1)
4
3
( 1,2 )
6
( 1,3 )
5
( 2 ,2 )
( 3 ,2 )
( 2 ,3 )
( 3 ,3 )
( 1,1)
( 2 ,1)
( 3 ,1)
NN={(1,1);(2,1);(2,2);(1,2);(1,3);(2,3);(3,3);(3,2);(3,1);….}
1
2
9
( 1,2 )
4
( 1,3 )
6
3
( 2 ,2 )
( 3 ,2 )
5
( 2 ,3 )
8
7
( 3 ,3 )
6
Лема про зліченну підмножину
З нескінченної множини можна
виділити зліченну підмножину
A  a1A
A\{a1}  a2  A\{a1}
…………………………
A\{a1,a2,…ak-1}  ak  A\{a1,a2,…ak-1}
…………………………
7
Лема про нескінченну підмножину
Нескінченна підмножина
зліченної множини - зліченна
A={a1,a2,a3,a4,..} BA
B={ak ,ak , ak , ak ,..} k1≤ k2≤ k3≤…..
1
2
3
4
N  B : i  a ki
B    a k1  m in k j | a k j  B }  1  a k1
.............................................................
B  нескінчене  B \ { a k1 , a k1 , ..., a k1 }   
k i  m in k j | a k j  B \ { a k1 , a k1 , ..., a k1 }  i  a k i
8
Лема про раціональні числа
Множина раціональних чисел R зліченна
r=n/m  (n,m)∊ZN, nZ,mN
2/5=4/10=6/15
Z,N – зліченні ⇒ ZN – зліченне
RZN, R – нескінченна
R - зліченна
9
Лема про об’єднання
А – нескінченна, В – не більш ніж зліченна
тоді АВ  А, об’єднання А та В еквівалентно А
Виділимо зліченну множину А1А
тоді А1В також зліченна множина
зліченні множини еквівалентні між собою А1 А1В
А
= ( А \ А1 ) 
А1
як зліченні множини
А  В = ( А \ А1 )  ( А1  В )
Тоді А  А  В
10
Наслідки леми про об'єднання
[ 0 ,1]  ( 0 ,1)
[ 0 ,1]  ( 0 ,1)  {0 ,1}
Множина дійсних чисел еквівалентна множині
всіх нескінчених цифрових послідовностей
 ( d 1 , d 2 , d 3 , . . . )
(0,1)   ( d 1 , d 2 , d 3 , ...)  { (0, d 1 d 2 d 3 ...)}
 
  (0,1)
0, 5(0)  0, 4(9)
{0, d 1 d 2 d 3 ...(9)}  R


R  нескінч . підмнож ина злічен . множ ини рац . чисел
  (0,1)  лема про об ' єднання  (0,1)  R 
 (0,1)  R   ( d 1 , d 2 , d 3 , ...)

11
Теорема про дійсні числа
Множина дійсних чисел не є зліченною
   r1 , r2 , r3 , ...rn , ...
r1

r2

( d , d , d , ...)
....
....
.....................
rk

( d , d , d , ...)
....
....
.....................
1
1
1
2
1
2
2
2
3
( d 1 , d 2 , d 3 , ...)
k
1
k
2
k
3
ri  ( d , d , ...)
i
1
i
2
b  ( b1 , b 2 , b 3 , . . . )
k
 0 якщо
dk  0
bk  
k
1
якщо
d
0
k

k bk  dkk
12
Властивості континуальних
множин
A, B
- континуальні
A  B, A  B, A
n
 континуальні
A(0;1), B(0;1)(1;2)
AB(0;1)(1;2)лема про об єднання 
(0;1){1}(1;2) 
(0;2)(0;1)
A×B={(a,b)}
a=(a1,a2,…) b=(b1,b2,…)
ai,bi{0;1;2;…8;9}
(a,b)(a1,b1,a2,b2,…)
13
Потужність множин
А  |A|
|A|=|B|AB; ||=0; |{1,2,….n}|=n
Потужність множини А менша або
дорівнює потужності множини В
|A| ≼ |B|  A  B1  B
Потужність множини А строго менша
потужності множини В
|A|≺|B|  A  B1  B, A×B
14
Теорема Кантора
Потужність множини А строго менша
за потужність множини(системи)
всіх підмножин множини А
|A| ≺ |B(A)|
a{a} - одноелементній підмножині A
A{{a}} a∊A- множині всіх
одноелементних підмножин A,
A{{a}}a∊AB(A),
значить |A| ≼ |B(A)|
15
Доведення теореми Кантора
Припустимо, що A↔B(A)
Існує бієкція :a  (a)  A
M={ aA  a   (a) }
MA  -1(M) = a0
M=(a0), a0  A
Для a0 та M можливі 2 випадки:
або a0  M, або a0  M
a0  M = (a0)  a0  M
a0  M = (a0)  a0  M
16
Теорема
Кантора-Бернштейна
Якщо
множина A еквівалентна підмножині B1 множини B,
а множина B еквівалентна підмножині A1 множини A, то
множини A та B еквівалентні між собою.
A↔B1B, B↔A1A  A↔B
|A|≼|B|, |B|≼|A|  |A|=|B|
17
Доведення теореми
Кантора-Бернштейна
Нехай f:AB1 та g:BA1 – бієкції між
відповідними множинами
Позначимо A0=A, B0=B,
за умовою теореми f(A0)=B1, g(B0)=A1, і далі
f(A1)=B2, g(B1)=A2, f(A2)=B3, g(B2)=A3, і т.д.
f(Aі)=Bі+1, g(Bі)=Aі+1
Випишемо послідовність перетворень множин
A0 та B0 бієкціями f та g
A0 f B1 g A2 f B3 g A4 f B5 g A6 f …..






A0 f B0 g A1 f B2 g A3 f B4 g A5 f …..
Тобто A1A2, A3A4, A5A6, …….
18
Доведення теореми
Кантора-Бернштейна
Ці ж послідовності можна виписати інакше:
B0 g A1 f B2 g A3 f B4 g A5 f B6 g….. (1)






A0 f B1 g A2 f B3 g A4 f B5 g ….. (2)
Звідси маємо:
A0A1, A2A3, A4A5, …….
об‘єднуючи з попереднім: A1A2, A3A4, A5A6, …….
маємо: A0  A1 A2 A3  A4  A5  A6  A7 ………………………
Оскільки f та g бієкції, то всі множини в рядку (1) еквівалентні між собою, так
само і в рядку (2): Ak  Ak+2
19
Продовження теореми
Кантора-Бернштейна
A0⊃A1⊃A2⊃ …… ⊃Ak⊃Ak+1⊃…..
D=⋂Ak
A3\A4
A1\A2
A0
A1 A2 A3 A4 A5
D
20
D
Продовження теореми
Кантора-Бернштейна
Розглянемо темні кільця A2k+2\A2k+3:
A2k+2= g(f(A2k)) , A2k+3= g(f(A2k+1)) ,
для ін’єкції h()=g(f()): h(X)\h(Y)=h(X\Y), значить
A2k+2\A2k+3= g(f(A2k)) \ g(f(A2k+1)) = g(f(A2k \ A2k+1))
h(X)\h(Y)
= h(X\Y).
Оскільки f та g – бієкції, з цього випливає:
A2k+2\A2k+3 ↔ A2k \ A2k+1
Треба довести, що A↔B (A0↔B0), але B0↔A1,
тому будемо доводити, що A0↔A1
21
Закінчення теореми
Кантора-Бернштейна
D
A0=D(
A1=D

A0=D

(
)(A1\A2)(
)(A3\A4)(
)….
(A1\A2)(
)(A3\A4)(
)….
)

A1=D
(

(A1\A2)

(

(A1\A2)
)

)
(

(A3\A4)
)
 ……
(A3\A4)

(
)
….
 …..
(
)….
22
Наслідок теореми
Кантора-Бернштейна
Відношення “менше або дорівнює” ≼ для потужностей
є відношенням часткового порядку
1. Рефлективність |A| ≼ |A| AAA
2. Антисиметричність |A| ≼ |B|, |B|≼|A| 
|A|=|B|
випливає з теореми Кантора-Бернштейна
3. Транзитивність |A| ≼ |B| |B| ≼ |C|  |A| ≼ |C|
|A| ≼ |B|  AB1B
A C2  C1  C |A| ≼ |C|
|B| ≼ |C|  BC1C
23
Континуум гіпотеза
Г. Кантор, 1887р.: «Чи вірно, що якою б не була
нескінчена множина дійсних чисел, завжди
можна встановити взаємно однозначне
відображення або між елементами цієї множини
і послідовністю цілих чисел, або між елементами
цієї множини і усіма дійсними числами?»
24
Континуум гіпотеза
A – нескінченна множина, A
⇓
⇓
|N| ≼ |A| |A| ≼ ||
Тому завжди |N| ≼ |A|≼ ||
А чи може бути: |N| ≺ |A| ≺ ||
25
Континуум гіпотеза
Курт Гьодель у 1940 довів, що континуумгіпотеза не може бути доведена на основі аксіом
арифметики й теорії множин.
Пол Коен у 1963 встановив, що континуумгіпотеза не може бути спростована, виходячи з
тих же аксіом арифметики й теорії множин.
26