Transcript mnozhyny_ta_operaciji_nad_nymy

Урок № 11.
Множина. Елементи множини.
Види множин: пуста, кінцева,
нескінченна.
Підмножини. Числові множини.
«Поняття про множини, увійшовши до
складу сучасної математики, радикально
еволюціонувало її.»
П. С. Александров
12
13
0, 2563
−12
5
752
Предмети, з яких складається множина,
називають її
.
Належність
елемента
даній
множині
позначається символом «∈», а неналежність «∉».
Множини бувають скінчені і нескінчені.
Множину, в якій немає жодного елемента,
називають
,
і
позначається .
Якщо множина В складається тільки з
елементів множини А, то множину В називають
множини А. У такому випадку
співвідношення між множинами А і В
позначається так: 𝐵 ⊂ 𝐴. Порожня множина є
підмножиною будь-якого множини. ∅ ⊂ 𝐴.
Множина A є підмножиною самої себе, тобто
𝐴 ⊆ 𝐴.
 перерахування його елементів;
 описом характеристичної властивості його
елементів.
Числові множини - множини, що складаються з чисел.
множина натуральних чисел;
множина дробових чисел;
множина цілих чисел;
множина раціональних чисел;
множина ірраціональних чисел;
множина дійсних чисел;
множина комплексних чисел.
Все це нескінчені множини.
𝑎≤𝑥≤𝑏
a
b
𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏
𝑎≤𝑥<𝑏
a
b
𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏)
𝑎<𝑥≤𝑏
a
b
𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏]
𝑎<𝑥<𝑏
a
b
𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)
𝑥≤𝑏
b
𝑥 ∈ (−∞; 𝑏]
𝑥<𝑏
b
𝑥 ∈ (−∞; 𝑏)
𝑥≥𝑎
a
𝑥 ∈ [𝑎; +∞)
𝑥>𝑎
a
𝑥 ∈ (𝑎; +∞)
№1. Записати множину, перерахувавши її елементи:
1) додатні числа, кратні 9, менші 75;
2) розв'язок рівняння 9𝑥 2 − 16𝑥 = 0;
3) розв'язок рівняння 9𝑥 3 − 25𝑥 = 0.
Розв'язання.
1) А = {9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72};
7
2) В = 0; 1 , так як
9
𝑥 9𝑥 − 16 = 0;
2
3
3) 𝐶 = 0; 1 ; −1
2
3
𝑥 = 0,
9𝑥 − 16 = 0;
𝑥 = 0,
7
𝑥=1 .
9
, так як
𝑥 3𝑥 − 5 3𝑥 + 5 = 0;
𝑥 = 0,
3𝑥 − 5 = 0,
3𝑥 + 5 = 0;
𝑥 = 0,
2
𝑥=1 ,
𝑥=
3
2
−1 .
3
№2. Записати всі підмножини множини 𝐹 = {2; 4; 6; 8}
№3. Записати підмножини множини, що складається
з букв слова «комбінаторика», за умови, що отримані
слова мають сенс.
№4. Записати множину описом характеристичної
властивості її елементів:
1) множина парних чисел;
2) множина чисел, кратних 6;
3) множина чисел, більших 25, але менших.
Розв’язання.
1) 𝐴 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛, 𝑛𝜖𝑁 ;
2) 𝐵 = 𝑦: 𝑦 = 6𝑛, 𝑛𝜖𝑁 ;
3) 𝐶 = 𝑧: 25 < 𝑧 < 35 .
№5. Чи вірно, що множина В є підмножиною множини А,
якщо:
7
а) 𝐴 = −5; −4,5; 0,25; ; 0; 2,547 і 𝐵 = 0,25; 0; −4,5 ;
12
б) 𝐴 = математика і 𝐵 = тема .
Домашнє завдання.
№6. Записати множину, перерахувавши її елементи:
1) додатні числа, кратні 6, менші 75;
2) розв'язок рівняння 8𝑥 2 + 19𝑥 = 0;
3) розв'язок рівняння 16𝑥 3 − 49𝑥 = 0.
№7. Записати всі підмножини множини 𝐹 = {2; 4; 6; 8}
№8. Записати підмножини множини, що складається з
букв слова «телевізор», за умови, що отримані слова
мають сенс.
Урок № 12.
Операції над множинами.
𝑨∪𝑩
𝑨∩𝑩
𝑨\𝑩
Чи правда, що множина натуральних
чисел є підмножиною множини цілих
чисел?
Чи правда, що множина цілих чисел є
підмножиною раціональних чисел?
Чи правда, що множина раціональних
чисел
є
підмножина
множини
натуральних?
Чи правда, що множина рівнобедрених
трикутників є підмножина множини
рівносторонній трикутників?
C  A  B  x : x  A или
А
x  B
А В
В
A
A B
B
A
B
A B  A
№9. Знайти об’єднання множин, якщо:
1) 𝐴 = −4; −3,2; 0,5; 4,2; 6 , B = −2,2; 0; 0,5; 7 ;
2) 𝐴 = 𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑎; 𝑏; 𝑓 , 𝐵 = 𝑧; 𝑑; 𝑐; 𝑡; 𝑛; 𝑎 .
№10. Знайти об’єднання множин, якщо:
1) 𝑁 ∪ 𝑍;
2) 𝑁 ∪ 𝑄;
3) 𝑍 ∪ 𝑄;
4) 𝐴 = −2; 6 , 𝐵 = 0; 7 ;
5) 𝐴 = 5; 9 , 𝐵 = −1; 9,5 ;
3 5
3 5
6) 𝐴 = − ; , 𝐵 = − ; .
5 7
5 8
C  A  B  x : x  A и
x  B
A B
A
B
A B 
B
A
A B  B
A
B
№ 11. Знайти перетин множин, якщо:
1) 𝐴 = −5; −3; −1; 1; 3; 5 , 𝐵 = −3; 1; 2; 5; 9; 11 ;
2) 𝐴 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 , 𝐵 = 𝑥: 𝑥 = 3𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 ;
3) 𝐴 = кортик , 𝐵 = орта .
№ 12. Знайти перетин множини М = {прості
числа, менші 40} і множини Р = {непарні числа,
більші 14}.
C  A \ B  x : x  A и
A
x  B
A\ B
B
A
B
A\ B
B
A
A\ B 
№ 13. Знайти різницю множин А і В, якщо:
1) 𝐴 = 4; 6; 8; 2; 9 , 𝐵 = 8; 4; 6 ;
2) 𝐴 = 2; 5; 7; 9; 13; 23 , 𝐵 = 3; 5; 7; 23; 8 ;
3) 𝐴 = 4; 7; 10 ; 𝐵 = 1; −2; 7; 6; 4; 10 .
№14. Знайти перетин:
1) множини натуральних чисел і множини
раціональних чисел;
2) множини цілих чисел і множини раціональних
чисел;
3) множини натуральних чисел і множини цілих
чисел.
Домашнє завдання.
№ 15. Знайти об’єднання множин, якщо:
1) 𝐴 = −5; −3,8; 0,7; 4,6; 6 , 𝐵 = −2,2; 0; 0,7; 6 ;
2) 𝐴 = 𝑛; 𝑦; 𝑧; 𝑐; 𝑏; 𝑓 , 𝐵 = 𝑧; 𝑑; 𝑐; 𝑡; 𝑛; 𝑎; 𝑚; 𝑏 .
№16. Знайти перетин множин, якщо:
1) 𝐴 = 5; 6; 9; 2; 11 , 𝐵 = 11; 4; 6; 2 ;
2) 𝐴 = 5; 4; 11; 9; 10; 25 , 𝐵 = 3; 5; 7; 20; 4 ;
3) 𝐴 = 13; −2; 12 , 𝐵 = 15; −2; 13; 6; 9; 12 .
№17. Знайти різницю множин, якщо:
1) 𝐴 = 𝑥: 𝑥 2 − 25 = 0 , 𝐵 = 𝑥: 5𝑥 − 25 = 0 ;
2) 𝐴 = 3; 5; 7; 45; 10; 13 , 𝐵 = 3; 5; 7; 13; 8 ;
3) 𝐴 = −12; 57; 1 , 𝐵 = 1; −12; 7; 57; −8; 10 .
Урок № 13.
Розв’язування вправ.
№ 18. Визначити множину Х, задану характеристичною
властивістю:
а) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 − 3 < 2 ;
б) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 4 − 81 = 0 .
№19. Знайти всі підмножини множини М, що
складається з букв слова «ток».
№20. Знайти об’єднання, перетин і різницю множин 𝐹 і
𝑃, якщо:
1) 𝐹 = 𝑥: 𝑥 2 − 25 𝑥 + 6 = 0 , 𝑃 = 𝑥: 2𝑥 − 7 = 3 ;
2) 𝐹 = 𝑥: 𝑥 = 3𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑃 = 𝑥: 𝑥 = 9𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 .
№21. Знайти об’єднання, перетин і різницю множин 𝐷 і
𝑈, якщо:
8
1)𝐷 = −1; −0,5; 0; 0,27; ; 1; 3 , 𝑈 = −0,23; 0; 1; 1,3; 3 ;
13
2)𝐷 = ℎ; 𝑜; 𝑝; 𝑡; 𝑚; 𝑐 , 𝑈 = 𝑑; ℎ; 𝑛; 𝑡; 𝑘; 𝑝; 𝑐 .
Домашнє завдання.
№ 22. Записати по два приклади множин: порожніх,
скінчених, нескінченних.
№ 23. Скласти завдання на знаходження
об'єднань, перетин і різниці множин.
№ 24. Знайти об'єднання, перетин і різницю
множин D і U, якщо:
𝐷 = −2; −0,45; 0; 0,87; 1; 5 , 𝑈 = −0,03; 0; 1; 1,4 ; 5 .
Урок № 14.
Взаємно однозначна
відповідність між
множинами.
- це
відповідність між елементами двох множин, при
якому кожному елементу першої множини
відповідає один певний елемент другої
множини, а кожному елементу другої множини один певний елемент першої множини.
Множина А - множина блоків, необхідних для запису
алгоритму у вигляді блок-схеми.
Множина В – множина геометричних фігур.
А
В
Блок умови
Кінець алгоритму
Виконання дії
Початок
алгоритму
так
Ввод даних або
повідомлення результату
ні
№25. З’ясувати, чи є залежність У від Х взаємно
однозначною?
1) 𝑦 = −2𝑥 + 1;
2) 𝑦 = 𝑥 2 + 1;
3) 𝑦 2 = −𝑥 2 + 9;
8
4) 𝑦 = 𝑥 .
№26.
Визначити
множину
Х,
задану
характеристичною властивістю:
1) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 − 2 < 3 ;
2) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 4 − 256 = 0 .
№27. Знайти об'єднання, перетин і різницю
множин D і U, якщо: 𝐷 = 𝑥: 𝑥 − 4 − 6 = 4 ,
𝑈 = 𝑥: 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 4𝑥 − 24 = 0 .
Домашнє завдання.
Конспект уроку, повторити означення
об'єднання, перетину і різниці множин.
Скласти приклади взаємно однозначної
відповідності між множинами.
№28. Знайти об'єднання, перетин і різницю
множин D і U, якщо: 𝐷 = 𝑥: 𝑥 + 4 − 6 = 4 ,
𝑈 = 𝑥: 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 4𝑥 + 24 = 0
Урок № 15.
Рівнопотужні множини.
Рівнопотужність множин
точок і прямої.
Якщо між двома множинами можна
встановити В. о. в., то ці множини називаються
еквівалентними, або рівнопотужними.
Наприклад, множини цілих додатних чисел
та їх квадратів рівнопотужні, так як відповідність
n → n2 є В. о. в., множини цілих від’ємних чисел
та їх квадратів, множини цілих чисел та їх кубів.
№1. Знайти об'єднання, перетин і різницю множин D і U, якщо:
1) 𝐷 = 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓 , 𝑈 = 𝑚; 𝑎; ℎ; 𝑓; 𝑒 ;
2) 𝐷 = 𝑥 ∈ 𝑍: 𝑥 < 3 , 𝑈 = 𝑥: 𝑥 = 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 ;
3) 𝐷 = 𝑥: 𝑥 < 3 , 𝑈 = 𝑥: 𝑥 + 1 > 1 .
№2. Визначити множину X, задану характеристичною властивістю:
а) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 − 3 < 2 ; б) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 = 0 .
№1. Знайти об'єднання, перетин і різницю множин D і U, якщо:
3
1) 𝐷 = −1; −0,5; 3,6; 6; 11 , 𝑈 = 1; 0; 3 5 ; 6; 11 ;
2) 𝐷 = 𝑥 ∈ 𝑍: 𝑥 < 4 , 𝑈 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 ;
3) 𝐷 = 𝑥: 𝑥 < 4 , 𝑈 = 𝑥: 𝑥 − 1 > 1 .
№2.
Визначити
множину X,
задану характеристичною
властивістю: а) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 + 3 < 2 ; б) 𝑋 = 𝑥: 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 = 0 .
Домашнє завдання.
Придумайте та розв’яжіть
завдання,
аналогічні
самостійній роботі.
Урок № 16.
Нескінчені множини.
Злічені множини.
Зліченість множини цілих
чисел.
Множина називається скінченою, якщо її
елементи можна перерахувати, інакше множина
називається нескінченою.
Множина називається зліченою, якщо її
елементи можна пронумерувати.
Зліченна множина може бути скінченою
(множина книг в бібліотеці) або нескінченою
(множина цілих чисел).
№29.
Визначити
множину
Х,
задану
характеристичною властивістю:
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑣 = 5,
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 11,
2𝑥 − 𝑧 + 𝑣 + 𝑡 = 17,
2𝑥 + 𝑦 + 𝑣 + 𝑡 = −1,
𝑦 − 𝑧 + 𝑣 + 𝑡 = 0.
Розв’язання.
Складемо почленно рівняння даної системи,
отримаємо:
1
8𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 + 4𝑣 + 4𝑡 = 32; ∙
4
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑣 + 𝑡 = 8.
Використовуючи отримане рівняння і
рівняння системи, отримаємо:
𝑥 = 4,
𝑡 = 3,
𝑦 = −9,
𝑣 = −3,
𝑦 = −9,
𝑧 = −9,
𝑥 = 4,
𝑣 = −3,
𝑧 = −9.
𝑡 = 3.
Отже, розв’язок системи
нерівності (4; −9; −9; −3; 3),
а множина 𝑋 = {(4; −9; −9; −3; 3)} .
дані
№30.
Записати
4
𝐹 = 0,5; ; 6; 0 .
всі
підмножини
множини
7
№31. Знайти об'єднання, перетин і різницю множин
F і P, якщо:
1) 𝐹 = 𝑥: 𝑥 2 − 36 𝑥 + 5 = 0 , 𝑃 = 𝑥: 2𝑥 + 7 = 3 ;
2) 𝐹 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑃 = 𝑥: 𝑥 = 4𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 .
№32. Знайти об'єднання, перетин і різницю множин
А і В, якщо:
1) 𝐴 = −2; 4 , 𝐵 = 0; 5 ;
1 2
2 4
2) 𝐴 = − ; , 𝐵 = − ; .
3 7
5 9
Домашнє завдання.
№33. Визначити множину Х, задану характеристичною властивістю:
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 𝑣 = 11,
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 13,
𝑥 + 𝑦 − 𝑣 + 𝑡 = 15,
𝑥 + 2𝑧 − 𝑣 + 𝑡 = 1,
𝑦 + 2𝑧 − 𝑣 + 𝑡 = 0.
Урок № 17 – 18.
Розв'язування задач.
1) Сукупність об’єктів, що об’єднані за
якоюсь ознакою, називають …
множиною
2) Предмети, з яких складається множина,
називають …
її елементами
3) Які бувають множини?
4) Множина, що не містить жодного
елемента, називається …?
порожньою
5) Яка множина називається скінченою?
6) Яка множина називається нескінченою?
7) Якщо множина В складається тільки з
елементів множини А, то множину В
називають …?
підмножиною множини А
8) Множина С, яка складається з усіх
елементів множин А і В, називається ….
об’єднанням множин А і В
9) Множина
С,
яка
складається
з
елементів, що належать одночасно і
множині А і множині В, називається …
перетином множин А і В
10)Множина С, що складається з усіх
елементів множини А, які не належать
множині В, називається …
різницею множин А і В
11)Якщо множина В є підмножиною
множини А, то об’єднанням множин А і В
є множина …
А
12)Якщо множина В є підмножиною
множини А, то перетином множин А і В є
множина …
В
13)Якщо множина В є підмножиною
множини А, то різницею множин В і А є
множина …
порожня
14)Якщо множини А і В не мають спільних
елементів, то перетином множин А і В є
…
порожня множина
№1. Запишіть за допомогою фігурних дужок
множину:
1) букв у слові «алгебра»;
2) парних однозначних натуральних чисел;
3) непарних однозначних натуральних чисел;
4) однозначних простих чисел.
Розв’язання:
1) {а, л, г, е, б, р};
2) {2, 4, 6, 8};
3) {1, 3, 5, 7, 9};
4) {1, 2, 3, 5, 7}.
№2. За якою характеристичній властивості
записані множини:
1) {понеділок, вівторок, середа, четвер,
п’ятниця, субота, неділя};
2) {січень, лютий, березень, квітень,
травень, червень, липень, серпень,
вересень, жовтень, листопад, грудень};
3) {Австралія, Азія, Америка, Антарктида,
Африка, Європа};
4) {до, ре, мі, фа, соль, ля, сі};
5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
№3. Наведіть приклади порожніх множин.
№4. А — множина парних натуральних
чисел, розташованих між числами 25 і 35.
Запишіть множину А за допомогою
фігурних дужок. Які з чисел 18, 28, 30, 40
належать множині А?
№5. Запишіть множину:
1) натуральних дільників числа 12;
2) натуральних дільників числа 30;
3) цілих дільників числа 6;
4) простих дільників числа 12.
№6. Відомо, що M = {1; 2; 5}, N = {1; 4; 5; 7; 9},
K = {4; 7; 9}. Знайдіть:
1) перетин M и N;
2) перетин M и K;
3) перетин N и K;
4) об’єднання M и N;
5) об’єднання M и K; 6) об’єднання N и K;
7) різницю M и N;
8) різницю M и K;
9) різницю N и K.
Розв’язання:
1) 𝑀 ∩ 𝑁 = {1; 5};
2) 𝑀 ∩ 𝐾 = ∅;
3) 𝑁 ∩ 𝐾 = 4; 7; 9 ;
4) 𝑀 ∪ 𝑁 = 1; 2; 4; 5; 7; 9 ;
5) 𝑀 ∪ 𝐾 = 1; 2; 4; 5; 7; 9 ; 6) 𝑁 ∪ 𝐾 = {1; 4; 5; 7; 9};
7) 𝑀\𝑁 = {2};
8) 𝑀\𝐾 = 1; 2; 5 ;
9) 𝑁\𝐾 = 1; 5 .
«Одиниця дорівнює двом»
𝟗
𝟗
𝟏−𝟑 +
= 𝟒−𝟔+
𝟒
𝟒
3
1−
2
2
3
= 2−
2
2
𝟏=𝟐
3
3
1− =2− ,
2
2
№7. Запишіть множину двозначних чисел, які
можна записати за допомогою цифр 0, 1, 3.
№8. Відомо, що А — множина натуральних
дільників числа 12, а В — множина цілих
дільників числа 6. Знайдіть:
1) А ∪ В; 2) 𝐴 ∩ 𝐵; 3) 𝐴\𝐵;
4) 𝐵\𝐴.
Розв’язання: А = 1; 2; 3; 4; 6; 12 ,
В = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3}.
1) А ∪ В = −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 6; 12
2) 𝐴 ∩ 𝐵 = 1; 2; 3; 6
3) 𝐴\𝐵 = 4; 12 ;
4) 𝐵\𝐴 = −6; −3; −2; −1 .
№9. Знайти об'єднання, перетин і різницю
множин F і P, якщо
𝐹 = 𝑥: 𝑥 2 − 36 𝑥 + 1 = 0 ,
𝑃 = 𝑥: 2𝑥 + 7 = 5 .
№10. В одній множині 40 різних елементів,
а в другій множині – 30 елементів. Скільки
елементів може бути в їх: 1) об’єднанні;
2) перетині?
№11. Запишіть множину всіх правильних
𝑎
дробів , де 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵,
𝑏
𝐴 = 2; 3; 4; 6 , 𝐵 = 1; 3; 4; 5; 6 .