Transcript ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НА ОСНОВІ АПАРАТУ ТЕОРІЇ НЕЧІТКИХ МНОЖИН ПЛАН 1. Основні множин. положення теорії нечітких 2. Приклади застосування теорії нечітких множин в економіко-математичному моделюванні.

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ
МОДЕЛЮВАННЯ
НА ОСНОВІ АПАРАТУ
ТЕОРІЇ НЕЧІТКИХ МНОЖИН
ПЛАН
1. Основні
множин.
положення
теорії
нечітких
2. Приклади застосування теорії нечітких
множин в економіко-математичному
моделюванні.
2
Теорія нечітких множин (основні положення)
При розробці інтелектуальних систем знання про
конкретну предметну область, для якої створюється
система, рідко бувають повними й абсолютно достовірними.
Поряд із кількісними характеристиками в базах
знань інтелектуальних систем повинні зберігатися якісні
показники, евристичні правила тощо.
При обробці знань із застосуванням механізмів
формальної логіки виникає протиріччя між нечіткими
знаннями і чіткими методами логічного виведення.
Розв’язати це протиріччя можна шляхом подолання
нечіткості знань (коли це можливо) або використанням
спеціальних методів подання й обробки нечітких знань.
3
Теорія нечітких множин (основні положення)
Теорія нечітких множин (fuzzy sets theory)
бере свій початок з 1965 року, коли професор Лотфі
Заде (Lotfi Zadeh) з університету Берклі в США
опублікував наукову роботу «Fuzzy Sets» у журналі
«Information and Control». Прикметник «fuzzy»
(нечіткий, розмитий), введено в назву нової теорії з
метою відокремлення її від традиційної чіткої
математики й аристотелевої логіки, що оперують з
чіткими поняттями: «належить – не належить»,
«істина – хибність».
4
Теорія нечітких множин (основні положення)
Нехай U – універсальна множина, u – елемент
U, a G – деяка властивість. Звичайна (чітка)
підмножина А універсальної множини U, елементи
якої мають властивість G, визначається як множина
впорядкованих пар {<µА(u)|u>}, де µА(u) – функція
належності, що приймає бінарні значення:
1, якщо u має властивість G;
0 – у протилежному випадку.
Нечітка підмножина відрізняється від
звичайної тим, що для елементів u з U немає
однозначної відповіді «ні» або «так» щодо
властивості G.
5
Теорія нечітких множин (основні положення)
Нечітка підмножина A* універсальної
множини
U
визначається
як
множина
впорядкованих пар A*= {<µА(u)|u>}, де µА(u) –
функція належності, що приймає значення в
деякій цілком впорядкованій множині М = [0;1].
Функція належності вказує ступінь
належності елемента u нечіткій підмножині A*.
Множину
М
називають
множиною
належностей. Якщо М={0, 1}, то нечітка
підмножина
може розглядатися як чітка
множина.
6
Теорія нечітких множин (основні положення)
Приклад. Представити у вигляді нечіткої множини
поняття «Чоловік середнього зросту» на універсальній
множині U={155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190}.
Одне з можливих рішень виглядає так:
A*=(0/155, 0.1/160, 0.3/165, 0.8/170, 1/175, 1/180, 0.5/185,
0/190).
Нечітка змінна визначається як <a, U, A*>, де a –
найменування змінної, U={u} – область визначення змінної а,
A*={<µА(u)|u>} – нечітка множина, що описує обмеження на
можливі значення змінної a (семантику).
Нечітка змінна – це теж саме, що і нечітке число,
тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що
описується цим числом. Для людини зручніше задавати
значення змінної не числами, а словами.
7
Основні положення теорії нечітких множин
Лінгвістична змінна – це множина нечітких змінних.
Вона використовується для того, щоб дати словесний опис
деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких
операцій.
Терм-множина – це множина всіх можливих значень
лінгвістичної змінної.
Терм – будь-який елемент терм-множини. У теорії
нечітких множин терм формалізується нечіткою множиною
за допомогою функції належності.
Наприклад, змінна «швидкість автомобіля» може
набувати значень «низька», «середня», «висока» і «дуже
висока». В цьому випадку лінгвістичною змінною є
«швидкість автомобіля», термами – лінгвістичні оцінки
«низька», «середня», «висока» і «дуже висока», які і
складають терм-множину.
8
Основні положення теорії нечітких множин
Терм-множина лінгвістичної змінної «service»
9
Теорія нечітких множин (основні положення)
ТРИКУТНА ФУНКЦІЯ НАЛЕЖНОСТІ
НЕЧІТКОГО ЧИСЛА
10
Теорія нечітких множин (основні положення)
ТРАПЕЦІЄВИДНА ФУНКЦІЯ НАЛЕЖНОСТІ
НЕЧІТКОГО ЧИСЛА
11
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
НЕЧІТКО-МНОЖИННИЙ ПІДХІД ДО
ФОРМУВАННЯ ПОРТФЕЛЮ ІНВЕСТОРА
1 крок: Визначення оптимальної
структури інвестиційного портфелю.
2 крок: Скоринг цінних паперів.
3 крок: Наповнення портфелю реальними
активами.
12
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Фондовий ринок не являється ідеальним об’єктом для
класичного статистичного дослідження і характеризується
інформаційною невизначеністю.
13
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Квазістатистика (за Нєдосекіним О.О.) - це вибірка
спостережень з їх генеральної сукупності, яка вважається
недостатньою для ідентифікації закону вірогідності розподілу з
певними параметрами, але визнається достатньою для того,
щоб з тією або іншою суб'єктивною мірою достовірності
обґрунтувати поведінку процесів.
Нечітке число (за Нєдосекіним О.О.) - це нечітка
підмножина універсальної множини дійсних чисел, що має
нормальну функцію належності, тобто таку, що:
- існує таке значення носія, в якому функція належності
дорівнює одиниці;
- при відступанні від свого максимума вліво або вправо
функція належності спадає.
14
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Визначення оптимальної структури
інвестиційного портфелю
Основні характеристики підходу Марковіца:
• середньоочікувана дохідність цінного паперу ri;
• її стандартне відхилення i від ri.
• очікувана прибутковість портфеля r:
r
N
x
i
 ri
i 1
• стандартне відхилення очікуваної доходності:
N
N
1
σ  (   x i  x j  ρ ij  σ i  σ j ) 2
i 1 j 1
15
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТКИ ОБЛІГАЦІЙ
x1max  1  risk /  2 max
x1av  1  risk /  2 av
x1 min  1  risk /  2 min
•
risk - рівень вказаного інвестором ризику портфелю;
•  2 max  2 av  2 min це є відповідно максимальне, середнє і
мінімальне відхилення від дохідності акцій.
16
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
РОЗРАХОВАНІ СПІВВІДНОШЕННЯ
МІЖ ЧАСТКАМИ АКЦІЙ І ОБЛІГАЦІЙ
В ІНВЕСТИЦІЙНОМУ ПОРТФЕЛІ
17
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ВИЗНАЧЕННЯ ДОХІДНОСТІ ІНВЕСТИЦІЙНОГО
ПОРТФЕЛЮ
R max 
R av 
R min 
r2max
 r1min
σ 2min
r2av  r1av
σ 2av
r2min  r1max
σ 2max
 x 2  σ 2max  r1max
 x 2  σ 2av  r1av
 x 2  σ 2min  r1min
18
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
РОЗРАХУНОК РИЗИКУ ЗРИВУ ПЛАНУ
r  rmin
*
Risk
*

rmax  rmin
(1 
rav  r
*
r  rmin
*
ln
rav  r
*
rav  rmin
)
• Risk* – ризик зриву плану;
•
r
•
r min
*
- бажана інвестором дохідність (бенчмарк);
- розрахована мінімальна, середня та
максимальна дохідність інвестиційного портфелю.
rav
rmax
19
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ЕФЕКТИВНА МЕЖА
СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ РИЗИКОМ ТА ДОХІДНІСТЮ
ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПОРТФЕЛЮ
90
70
60
50
40
30
20
10
75
65
55
45
35
25
15
5
0
0
дохідність
80
ризик
Максимальна дохідність
Середня дохідність
Мінімальна дохідність
20
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
СКОРИНГ АКЦІЙ
Вхідні дані:
• Р/Е – відношення ціни акції до доходу по ній;
• САР – капіталізація (млн. дол.);
• Liquidity – забезпеченість оборотними активами;
• ROE – рентабельність власного капіталу емітента;
• ROA – рентабельність активів емітента;
• ROIC – рентабельність інвестованого капіталу;
• P/S – відношення ціни акцій до річної виручки;
• P/B - відношення ціни акцій до балансової вартості.
Пріоритетність факторів (за Фішберном):
P/E  Cap  Liquidity  P/S  P/B  ROA  ROE  ROIC
21
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ФОРМУЛА ДЛЯ РОЗРАХУНКУ
СКОРИНГУ АКЦІЙ
M
A_N 
N
α pλ
j
j1
i
ij
i 1
- р (ваги факторів): так як
P/E  Cap  Liquidity  P/S  P/B  ROA  ROE  ROIC , то
p1 = 0.3, p2 = p3 = 0.15, p4 = p5 = p6 = p7 = p8 = 0.08;
- a j (ваги рівнів): α1  0.1, α 2  0.3, α 3  0.5, α 4  0.7, α 5  0.9
- λ ij (ранг i-го фактора по j-му рівню).
22
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Як ранг доцільно використовувати ступінь належності рівня даного
фактора тому чи іншому терму лінгвістичної змінної «Рівень
фактора». Cистема функцій належності сконструйована таким
чином, що сума рангів фактора по всіх термах дорівнює одиниці.
23
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Класифікатор оцінки рейтингу акції
Торгова рекомендація:
- ОН – Однозначно продавати;
- Н – Рекомендується продавати;
- Ср – Очікувати;
- В – Рекомендується купувати;
- ОВ – Однозначно купувати.
24
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
СКОРИНГ ОБЛІГАЦІЙ
Вхідні дані
• А – активи балансу, в т.ч.: а1 – необоротні активи; а2 – оборотні активи;
• L – пасиви балансу, в т.ч.: l1 – капітал і резерви; l2 – довгострокові
зобов’язання; l3 – короткострокові зобов’язання;
• S – виручка за квартал (без ПДВ);
• C – собівартість виробництва за квартал;
• Pr – чистий (нерозподілений) прибуток (збиток) за квартал.
Порядок оцінки фінансових параметрів, необхідних для аналізу:
• X1 = l1/ L;
• X2 = (а2- l3)/ а2;
• X3 = S/A;
• X4 = Pr/C;
• X5 = Pr/A.
Пріоритетність параметрів (за Фішберном):
Х2  Х1  Х3  Х4  Х5
25
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ФОРМУЛА ДЛЯ РОЗРАХУНКУ
СКОРИНГУ ОБЛІГАЦІЙ
M
A_N 
N
α pλ
j
j1
i
ij
i 1
- р (ваги факторів): так як Х2  Х1  Х3  Х4  Х5 , то
p1 = 1/3, p2 = 4/15, p3 = p4 = p5 = 2/15;
- a j (ваги рівнів): α1  0.1, α 2  0.3, α 3  0.5,
; α 4  0.7, α 5  0.9
- λ ij (ранг i-го фактору по j-му рівню).
26
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
Класифікатор оцінки рейтингу облігації
Торгова рекомендація:
ОН – Однозначно продавати; Н – Рекомендується продавати;
Ср – Очікувати; В – Рекомендується купувати;
ОВ – Однозначно купувати.
27
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
АРХІТЕКТУРА ПРОГРАМНОГО ДОДАТКУ
28
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
АЛГОРИТМ РОБОТИ З ДОДАТКОМ
29
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
ДЖЕРЕЛА ВХІДНИХ ДАНИХ
• журнал «Цінні папери України»;
• загальнодоступна інформаційна БД Державної
комісії з цінних паперів та фондового ринку,
офіційний сайт якої www.stockmarket.gov.ua;
• сайт Державної установи «Агентство з
розвитку інфраструктури фондового ринку
України», яка створена в 1998 році при
Державній комісії з цінних паперів та
фондового
ринку
(адреса
сайту:
www.smida.gov.ua).
30
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
СТРУКТУРА БД «ACTIONS»
31
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
СТРУКТУРА БД «BONDS»
32
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
РОБОТА З ДОДАТКОМ
33
БЕНЧМАРК
Христенко Олена Опанасівна
моб.: 80503487351, e-mail: [email protected]
15.02.2007
30000
45
30
34
СКОРИНГ
35
РЕЗУЛЬТАТИ СКОРИНГУ
36
НАПОВНЕННЯ ПОРТФЕЛЮ
37
НАПОВНЕННЯ ПОРТФЕЛЮ
38
ЗВІТ
39
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
НЕЧІТКО-МНОЖИННА МОДЕЛЬ ОЦІНКИ ЕФЕКТИВНОСТІ
ПЕРСОНАЛУ
40
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
41
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
42
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
43
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
44
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
45
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
46
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
47
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
48
Теорія нечітких множин (приклад застосування)
49
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Круглов, В.В. Нечеткая логика и искусственные сети [Текст] / В.В. Круглов. – М.: Физматлит,
2001. – 221 с.
Cубботін, С.О. Подання й обробка знань у системах штучного інтелекту та підтримки прийняття
рішень [Текст]: навчальний посібник / C.О. Суботін. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. – 341с.
Штовба, С.Д. Проектирование нечетких систем управления средствами MATLAB [Текст] / С.Д.
Штовба. – М.: Горячая линия-Телеком, 2007. – 288 с.
Леоненков, А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH [Текст] / А.В. Леоненков.
– CПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 736 с.
Економічна ідентифікація параметрів стійкості та ризикованості функціонування господарських
систем [Текст]: монографія / О.В. Мороз, А.О. Свентух. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2008. –
168 с.
Математичні моделі в системах управління ефективністю діяльності професорсько-викладацького
складу ВНЗ [Текст]: монографія / Б.І. Мокін, Ю.В. Мокіна. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця,
2008. – 132 с.
Діагностування тріщин будівельних конструкцій за допомогою нечітких баз знань [Текст]:
монографія / О.Д. Панкевич, С.Д. Штовба. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2005. – 108 с.
Недосекин А.А. Финансовый менеджмент в расплывчатых условиях.
Матвійчук А.В. Моделювання економічних процесів із застосуванням методів нечіткої логіки:
Монографія.– К.: КНЕУ, 2007.– 264 с.
George Bojadziev, Maria Bojadziev. Fuzzy Logic for Business, Finance and Management / Advances in
Fuzzy Systems – Applications and Theory. – 2007. – Vol.23. – 232 p.
Sivanandam A.M., Sumathi S., Deepa S.N. Introduction to Fuzzy Logic using Matlab. – Springer. – 2007.
– 430 p.
James J. Buckley. Simulating Fuzzy Systems. – Springer. – 2005. – 208 p.
James J. Buckley, Leonard J. Jowers. Simulating Continuous Fuzzy Systems. – Springer. – 2006. – 202 p.
Przybycin Z. New Trends in Market Risk Management / Вісник УАБС. – 2008. – №2(25). – С.81-85.
50
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!