Transcript N(A)

Дискретні структури
Лекція 3
Елементи комбінаторики
3.1. Основні загальні правила комбінаторики
3.2. Основні види комбінацій
3.3. Біном Ньютона
3.4. Трикутник Паскаля
3.1. Основні загальні правила комбінаторики
Комбінаторика – розділ дискретної математики, предметом якого є
теорія скінченних множин.
А, В, С,... – множини; a, b, c – їх елементи.
Позначимо: N(A) – кількість елементів множини А. Якщо N(A)=n, то
говорять, що А – n-множина.
Чотири задачі комбінаторики:
1. Формулювання вимог до класу комбінаторних конфігурацій.
2.
перелік комбінаторних об’єктів, які відповідають вихідним
правилам їх побудови.
3.
Побудова комбінаторної конфігурації.
4. Пошук серед комбінаторних конфігурацій такої, яка б приводила
деяку функцію до оптимуму.
Два основних правила комбінаторики.
Правило суми. Якщо є можливість вибрати елемент з деякої
множини елементів А m способами, а елемент з множини В,
яка не має спільних елементів з множиною А, - k
способами, то вибрати елемент множини А або множини В
можна m+k способами.
N ( A)  m, N ( B)  k , A  B    N ( A  B)  m  k
Іншими словами, якщо необхідно виконати якусь дію n1,n2,
або nk способами, то кількість можливих способів
реалізації цієї дії буде дорівнювати
N=n1+n2+…+nk.
Правило добутку. Якщо 1-у дію можна здійснити n1
способами, 2-у, яка не залежить від першої, – n2
способами, ..., k-ту, яка не залежить від усіх попередніх,
– nk способами, то першу, другу, ..., k-ту дії послідовно
можна здійснити n1*n2*...*nk способами.
Приклад. Скількома способами можна потрапити з п.А до
п.D, якщо з А до В веде m доріг, з В до D – k доріг, з А до
С – n доріг і з С до D – l доріг?
Розв’язання. За правилом добутку рух шляхом ABD
можна здійснити mk способами, а шляхом ACD – nl
способами. Згідно з правилом суми з А до D можна
потрапити mk + nl способами.
3.2. Основні види комбінацій
Визначення. Нехай М – n-множина,
k  n, k  N .
Розміщенням з n елементів по k називають будь-яку
впорядковану k-підмножину множини М.
Кількість розміщень з п елементів по k обчислюють за
формулою:
n!
Ank 
.
(n  k )!
A32 
3!
 6.
1!
Приклад. М={1, 2, 3}, п=3, k=2,
Справді, можливі розміщення такі:
(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) – всього шість.
Визначення. Перестановкою з n елементів називається
розміщення з n елементів по n, тобто будь-яке
впорядкування n-множини, яка складається з різних
елементів.
Щоб задати перестановку з n елементів, досить певним
чином впорядкувати n -множину.
Кількість перестановок з n елементів обчислюють за
формулою:
Pn  n !
n!


n
P

A


n
!
n
 n
.
0!


Зокрема,
в чому можна переконатися,
P3  3!  6,
повернувшись до прикладу про можливі впорядкування
множини М={1, 2, 3}.
Визначення. Нехай М – n-множина;
k  n, k  N .
Комбінацією з n елементів по k називають будь-яку kпідмножину множини М.
Кількість комбінацій з n елементів по k обчислюють за
формулою:
n!
k
Cn 
.
k !(n  k )!
3!
 3.
2!1!
Приклад. М={1, 2, 3}; n=3, k=2;
Можливі комбінації такі: {1;2}, {1;3}, {2;3} – всього три.
C32 
Cnk - числа
називають біноміальними коефіцієнтами,
оскільки вони фігурують у відомій формулі біному
Ньютона.
Визначення. Нехай М – n-множина;
kдовільне
 N  натуральне число.
Розміщенням з повтореннями з n елементів по k називають будь-яку
впорядковану множину вигляду
a1 , a2 ,..., ak ),
елементи множини М, не обов’язково (різні.
aКількість
i , i  1, k розміщень з повтореннями з п елементів по k обчислюють за
формулою:
Ank  n k .
Приклад. 1) М={1, 2}; n=2, k=3;
3
3
A

2
 8. (1,2,2), (2,1,2), (2;2,1),
2
Розміщення з повтореннями: (2,1,1), (1;2,1),
(1,1,2),
(1,1,1), (2,2,2) – всього вісім.
2) М={1, 2, 3}; n=3, k=2;
2
A32  3(1;2),
 9. (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2), (1;1),
Розміщення з повтореннями:
(2;2), (3;3) – всього дев’ять.
Визначення. Перестановкою з повтореннями з n елементів
називається будь-яке впорядкування п-множини, серед елементів
якої є однакові.
Якщо серед елементів п-множини є n1 елементів першого типу, n2
елементів другого типу, ..., nk елементів k-ого типу, причому
то кількість n1 перестановок
 n2   nk  nз , повтореннями з п елементів
обчислюють за формулою:
Pn (n1 , n2 ,
, nk ) 
n!
.
n1 !n2 ! nk !
3!
Приклад. М={1, 2, 2}; n=3, n1=1, n2=2, k=2; P3 (1, 2) 
 3.
1!2!
Перестановки з повтореннями: (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) – всього три.
Визначення. Нехай М – n-множина; k  N 
довільне
натуральне число.
Комбінацією з повтореннями з n елементів по k називають
будь-яку k-множину, де елементи множини М, не
обов’язково різні.
Кількість комбінацій з повтореннями з п елементів по k
обчислюють за формулою:
C C
k
n
k
n  k 1
(n  k  1)!

.
(n  1)!k !
4!
 4.
Приклад. 1) М={1, 2}; n=2, k=3; C23  C43 
1!3!
Комбінації з повтореннями: {2,1,1}, {1,2,2}, {1,1,1}, {2,2,2}
– всього чотири.
4!
 6.
2) М={1, 2, 3}; n=3, k=2; C32  C42 
2!2!
Комбінації з повтореннями: {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1;1}, {2;2},
{3;3} – всього шість.
3.3. Біном Ньютона
( x  a) n .
Визначення. Біном Ньютона – це вираз вигляду
Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких
степенів його доданків a і b. Загально відомі формули розкладу
бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab 2  b3
Розклад многочлена в загальному випадку
n
( x  a)   (1)k Сnk ak xnk .
n
k 0
P  ( x  a)n  x n  x n1 (a1  a2  ...  an )  xn2 (a1a2  a1a3  ...  an1an ) 
 x n3 (a1a2a3  a1a2a4  ...  an2an1an )  ...  (1)n (a1a2 ...an ).
P  ( x  a)n  x n  Ст1 ax n1  Cn2a 2 x n2  Cn3a3 x n3  ... 
 (1)Cnk a k x nk  ...  (1)n a n .
Приклад. Знайти розклад виразу
бінома Ньютона.
(3x  2a)5
на основі формули
(3x  2a)5  (3x)5  5  2a(3x)4  10(2a)2 (3x)3  10(2a)3 (3x)2 
 5(2a)4 3x  (2a)5  243 x5  810ax 4  1080 a 2 x3  720a3 x 2 
 240a 4 x  32a5 .
3.4. Трикутник Паскаля
Трикутник Паскаля – арифметичний трикутник, утворений
біноміальними коефіцієнтами.
Якщо окреслити трикутник Паскаля, то вийде рівнобедрений
трикутник. У цьому трикутнику на вершині і з боків
стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох
розташованих над ним чисел. Трикутник можна
продовжувати нескінченно. Має симетрії щодо вершини.