Transcript N(A)
Дискретні структури
Лекція 3
Елементи комбінаторики
3.1. Основні загальні правила комбінаторики
3.2. Основні види комбінацій
3.3. Біном Ньютона
3.4. Трикутник Паскаля
3.1. Основні загальні правила комбінаторики
Комбінаторика – розділ дискретної математики, предметом якого є
теорія скінченних множин.
А, В, С,... – множини; a, b, c – їх елементи.
Позначимо: N(A) – кількість елементів множини А. Якщо N(A)=n, то
говорять, що А – n-множина.
Чотири задачі комбінаторики:
1. Формулювання вимог до класу комбінаторних конфігурацій.
2.
перелік комбінаторних об’єктів, які відповідають вихідним
правилам їх побудови.
3.
Побудова комбінаторної конфігурації.
4. Пошук серед комбінаторних конфігурацій такої, яка б приводила
деяку функцію до оптимуму.
Два основних правила комбінаторики.
Правило суми. Якщо є можливість вибрати елемент з деякої
множини елементів А m способами, а елемент з множини В,
яка не має спільних елементів з множиною А, - k
способами, то вибрати елемент множини А або множини В
можна m+k способами.
N ( A) m, N ( B) k , A B N ( A B) m k
Іншими словами, якщо необхідно виконати якусь дію n1,n2,
або nk способами, то кількість можливих способів
реалізації цієї дії буде дорівнювати
N=n1+n2+…+nk.
Правило добутку. Якщо 1-у дію можна здійснити n1
способами, 2-у, яка не залежить від першої, – n2
способами, ..., k-ту, яка не залежить від усіх попередніх,
– nk способами, то першу, другу, ..., k-ту дії послідовно
можна здійснити n1*n2*...*nk способами.
Приклад. Скількома способами можна потрапити з п.А до
п.D, якщо з А до В веде m доріг, з В до D – k доріг, з А до
С – n доріг і з С до D – l доріг?
Розв’язання. За правилом добутку рух шляхом ABD
можна здійснити mk способами, а шляхом ACD – nl
способами. Згідно з правилом суми з А до D можна
потрапити mk + nl способами.
3.2. Основні види комбінацій
Визначення. Нехай М – n-множина,
k n, k N .
Розміщенням з n елементів по k називають будь-яку
впорядковану k-підмножину множини М.
Кількість розміщень з п елементів по k обчислюють за
формулою:
n!
Ank
.
(n k )!
A32
3!
6.
1!
Приклад. М={1, 2, 3}, п=3, k=2,
Справді, можливі розміщення такі:
(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) – всього шість.
Визначення. Перестановкою з n елементів називається
розміщення з n елементів по n, тобто будь-яке
впорядкування n-множини, яка складається з різних
елементів.
Щоб задати перестановку з n елементів, досить певним
чином впорядкувати n -множину.
Кількість перестановок з n елементів обчислюють за
формулою:
Pn n !
n!
n
P
A
n
!
n
n
.
0!
Зокрема,
в чому можна переконатися,
P3 3! 6,
повернувшись до прикладу про можливі впорядкування
множини М={1, 2, 3}.
Визначення. Нехай М – n-множина;
k n, k N .
Комбінацією з n елементів по k називають будь-яку kпідмножину множини М.
Кількість комбінацій з n елементів по k обчислюють за
формулою:
n!
k
Cn
.
k !(n k )!
3!
3.
2!1!
Приклад. М={1, 2, 3}; n=3, k=2;
Можливі комбінації такі: {1;2}, {1;3}, {2;3} – всього три.
C32
Cnk - числа
називають біноміальними коефіцієнтами,
оскільки вони фігурують у відомій формулі біному
Ньютона.
Визначення. Нехай М – n-множина;
kдовільне
N натуральне число.
Розміщенням з повтореннями з n елементів по k називають будь-яку
впорядковану множину вигляду
a1 , a2 ,..., ak ),
елементи множини М, не обов’язково (різні.
aКількість
i , i 1, k розміщень з повтореннями з п елементів по k обчислюють за
формулою:
Ank n k .
Приклад. 1) М={1, 2}; n=2, k=3;
3
3
A
2
8. (1,2,2), (2,1,2), (2;2,1),
2
Розміщення з повтореннями: (2,1,1), (1;2,1),
(1,1,2),
(1,1,1), (2,2,2) – всього вісім.
2) М={1, 2, 3}; n=3, k=2;
2
A32 3(1;2),
9. (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2), (1;1),
Розміщення з повтореннями:
(2;2), (3;3) – всього дев’ять.
Визначення. Перестановкою з повтореннями з n елементів
називається будь-яке впорядкування п-множини, серед елементів
якої є однакові.
Якщо серед елементів п-множини є n1 елементів першого типу, n2
елементів другого типу, ..., nk елементів k-ого типу, причому
то кількість n1 перестановок
n2 nk nз , повтореннями з п елементів
обчислюють за формулою:
Pn (n1 , n2 ,
, nk )
n!
.
n1 !n2 ! nk !
3!
Приклад. М={1, 2, 2}; n=3, n1=1, n2=2, k=2; P3 (1, 2)
3.
1!2!
Перестановки з повтореннями: (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) – всього три.
Визначення. Нехай М – n-множина; k N
довільне
натуральне число.
Комбінацією з повтореннями з n елементів по k називають
будь-яку k-множину, де елементи множини М, не
обов’язково різні.
Кількість комбінацій з повтореннями з п елементів по k
обчислюють за формулою:
C C
k
n
k
n k 1
(n k 1)!
.
(n 1)!k !
4!
4.
Приклад. 1) М={1, 2}; n=2, k=3; C23 C43
1!3!
Комбінації з повтореннями: {2,1,1}, {1,2,2}, {1,1,1}, {2,2,2}
– всього чотири.
4!
6.
2) М={1, 2, 3}; n=3, k=2; C32 C42
2!2!
Комбінації з повтореннями: {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1;1}, {2;2},
{3;3} – всього шість.
3.3. Біном Ньютона
( x a) n .
Визначення. Біном Ньютона – це вираз вигляду
Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких
степенів його доданків a і b. Загально відомі формули розкладу
бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:
(a b)2 a 2 2ab b2
(a b)3 a3 3a 2b 3ab 2 b3
Розклад многочлена в загальному випадку
n
( x a) (1)k Сnk ak xnk .
n
k 0
P ( x a)n x n x n1 (a1 a2 ... an ) xn2 (a1a2 a1a3 ... an1an )
x n3 (a1a2a3 a1a2a4 ... an2an1an ) ... (1)n (a1a2 ...an ).
P ( x a)n x n Ст1 ax n1 Cn2a 2 x n2 Cn3a3 x n3 ...
(1)Cnk a k x nk ... (1)n a n .
Приклад. Знайти розклад виразу
бінома Ньютона.
(3x 2a)5
на основі формули
(3x 2a)5 (3x)5 5 2a(3x)4 10(2a)2 (3x)3 10(2a)3 (3x)2
5(2a)4 3x (2a)5 243 x5 810ax 4 1080 a 2 x3 720a3 x 2
240a 4 x 32a5 .
3.4. Трикутник Паскаля
Трикутник Паскаля – арифметичний трикутник, утворений
біноміальними коефіцієнтами.
Якщо окреслити трикутник Паскаля, то вийде рівнобедрений
трикутник. У цьому трикутнику на вершині і з боків
стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох
розташованих над ним чисел. Трикутник можна
продовжувати нескінченно. Має симетрії щодо вершини.