Transcript Відношення, операції над ними

Бінарні відношення
Декартовий добуток
AB={(x,y) | xA,yB}
{чоловіки}{жінки}={сімейні пари}
1
Бінарні відношення
На множині А задано бінарне
відношення, якщо задана множина
RАА .
Бінарне відношення позначається R, так
само, як і множина, яка його задає.
x та y з множини А знаходяться у
відношенні R, якщо (x,y) R .
Те, що x знаходиться у відношенні R з y
скорочено позначається xRy .
2
Приклади бінарних відношень
ІА={ (x,x) | x∊A } – відношення рівності на множині А
х знаходиться у відношенні ІА з у або х ІА у або х = у або х рівне у
R≤={ (x,y) | x≤y; x,y∊D } – відношення нестрогої нерівності
х знаходиться у відношенні R≤ з у або х R≤ у або
х ≤ у або х менше або рівне у
D={(n,m) | n ділиться націло на m; n,m∊N}
– відношення ділитися націло
n ділиться націло на m
або
n|m
3
Графік відношення
Графіком бінарного відношення R  AA будемо називати графічне
зображення множини R.
D  NN, n D m  n ділиться націло на m
m
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
n
4
Графік відношення рівності
ІА={ (x,x) | x∊D }
Y
X
5
Графік відношення нерівності
Y
R≤={ (x,y) | x≤y; x,y∊D }
x≤y
X
6
Операції над відношеннями
Добуток (композиція) відношень
( x, y)  R  Q   z ( x, z)  R, ( z, y)  Q
xR  Q y  z xRz, zQy
7
Операції над відношеннями
Обернення відношення
-1
(x,y)R 
(y,x)R
-1
xR y  yRx
8
Співвідношення для операцій
над відношеннями
1. I A  R  R  I A  R
1 1
2. ( R )  R
1
1
3. ( R  Q )  Q  R
1
9
Доведення
IA  R  R
( x, y )  I A  R 
 z ( x, z )  I A , ( z , y )  R 
 x  z, ( z, y )  R 
 ( x, y )  R
10
Доведення
1 1
(R )
R
1 1

1

( x, y )  ( R )
 ( y, x)  R
 ( x, y )  R
11
Доведення (R⃘Q)-1=Q-1⃘R-1
1
( x, y )  ( R  Q )  ( y , x )  R  Q 
 z ( y, z )  R, ( z , x)  Q 
1
1
 ( z , y )  R , ( x, z )  Q 
1
 ( x, y )  Q  R
1
12
Бінарні відношення
Q бінарне відношення на А та B
QАB
xА та yB
знаходяться у відношенні Q,
якщо (x,y)Q
x знаходиться у відношенні Q з y  xQy
A= {жінки} B={чоловіки}
Qшлюб{жінки}{чоловіки}
13
Тернарні відношення
T тернарне відношення на А,B,C
TАBC
xА, yB, zC
знаходяться у відношенні T,
якщо (x,y,z)T
A= {жінки} B={чоловіки} C={діти}
Tбути матір'ю і батьком дитини{жінки}{чоловіки}{діти}
14
n-арні відношення
S n-арне відношення на А1,А2,…Аn
S  А1  А2 …  Аn
x1А1, x2А2,…xnАn
знаходяться у відношенні S,
якщо (x1,x2,…xn)S
Sпропорція  D  D  D  D
(a1,a2,a3,a4) Sпропорція  a1/a2 = a3/a4
15
Область визначення та
область значень відношення
Областю визначення бінарного відношення RAB
називається множина тих елементів xA,
для яких існує yB, такий що (x,y)R
δR={xA |  yB (x,y)R}=Pr1R
Областю значень бінарного відношення RAB
називається множина тих елементів yB,
для яких існує xA, такий що (x,y)R
ρR={yB |  xA (x,y)R}=Pr2R
16
Область визначення та
область значень відношення
Qшлюб{жінки}{чоловіки}
δQ= {заміжні жінки} ρQ= {одружені чоловіки}
H⊂NN
(n,m)∊H⇔1<найбільший спільний дільник n та m < min(n,m)
n та m мають нетривіальний спільний дільник
δH= ρH={непрості натуральні числа}
17