ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

Dalam suatu penelitian terkadang ingin diketahui hubungan antara dua peubah (variabel) atau lebih. Dalam mencari hubungan ini terdapat dua permasalahan yaitu : Regresi : hubungan dua peubah atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan.

Korelasi : derajat keeratan hubungan dua peubah (variabel) atau lebih.

Variabel bebas : X Varibel tak bebas : Y --- tergantung pada variabel bebasnya.

 Contoh : bidang pertanian variabel bebas adalah dosis pupuk dan variabel tak bebas adalah produksi.

 Hubungan antara tinggi badan dan berat badan mahasiswa untuk variabel bebas adalah variabel yang mudah kita atur / tentukan / dapatkan.

 Hubungan antara 2 variabel dapat berbentuk hubungan fungsional dan dapat pula berbentuk hubungan Statistik.

          Fungsional ---- Y = f (X) ----- Y = 2 + 4 X Statistik --- setiap ulangan mempunyai prediksi yang berbeda.

Dari fungsi statistik maka kita dapat menduga bagaimana hubungan kedua variabel tersebut.

Model Regresi : Yi = 

0 +



1 Xi + εi

y = hasil  0 = intersept / konstanta  1 = koefisien korelasi εi = error/sesatan Untuk mendapatkan model tersebut perlu menduga ŷ = b o + b 1 x

 Untuk menghitung nilai b0 dan b1 dapat dilakukan dengan :   Metode kuadrat terkecil (Least Square Method) didapatkan persamaan normal.

---- menduga dengan jalan membuat jumlah kuadrat sesatan/error data yaitu ∑εi2 sekecil-kecilnya (menggunakan kalkulus) sehingga Ŷ = b o + b 1 X    untuk mendapatkan nilai dari persamaan tersebut : ∑YI = ∑bo + ∑b1X1 disederhanakan ∑YI = nbo + ∑b1X1 ------------------------- (1)       untuk mendapatkan persamaan kedua, dengan menggunakan koefisien b1 ∑X1YI = ∑b0X1 + ∑b1X12 disederhanakan : ∑X1YI = b0∑X1 + b1∑X12 ------------------------ (2) persamaan 1 dan 2 dapat diselesaiakan menjadi : ∑XiYi – (∑Xi . ∑Yi)/n b1 = ---------------------- • ∑Xi 2 – (∑Xi) 2 /n  bo = Y – b 1 X

   rumus tersebut dapat pula ditulis : ∑xiyi b1 = ------- ∑xi 2   dimana : ∑xiyi = ∑XiYi – (∑Xi . ∑Yi)/n ∑xi 2 = ∑Xi 2 – (∑Xi) 2 /n    harga dari kuadrat error/sesatan : ∑εi 2 = ∑{Yi – (b0 + b1Xi)} 2 ∑εi 2 = {∑ Yi 2 – (∑Y1)2/n} - {b∑XiYi – (∑Xi)( ∑Yi)/n}  = ∑yi 2 - b∑xiyi

          untuk menguji hypotesis H0 : β 1 H1 : β 1 = 0  0 b uji t ---- tb = (√s 2 y.x

/ ∑x 2 ) Kuadrat tengah sisa S 2 y.x

= ∑y i 2 – (∑x i y i ) 2 ∑x i 2 n - 2 Selang kepercayaan (100  )% untuk  : Selang kepercayaan = b  t   (s 2 y.x / ∑x 2 ) Nilai koefisien korelasi (r) = ∑xy (∑xi 2 )( ∑yi 2 )

                 

uji F (menggunakan analisis varians)

Jumlah kuadrat (JK) Regresi = b1(∑XY – (∑X. ∑Y)/n) = b1(∑xy) JK Total = ∑Y-(∑Y) 2 /n = ∑y 2 JK sisa = JK total – JK Regresi Sidik ragam ----------------------------------------------------------------- Sumber Derajat JK KT F Hitung F Tabel Keragaman Bebas 5% 1% ------------------------------------------------------------------ Regresi Galat k-1 JK Reg.

(k-1)-(n-1) Jk Gal.

------------------------------------------------------------------ Total n – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------ KT Regresi = JK Regresi / DB Reg.

KT Galat = JK Gal. / DB Galat F hitung = KT Reg. / KT Gal.

       F hitung untuk menguji hypotesis H0 : β1 = 0 H1 : β1 = 0 Jika F hit. > F tabel, maka H Jika F hit. F tabel, maka H 0 Berarti benar β1 = 0 0 ditolak, H 1 diterima, H 1 diterima ditolak Jika β 1 = 0 maka berarti tidak ada hubungan (garis) berarti sejajar dengan sumbu X.

Ŷmax Ŷ=b0 + b1X Δx Δy Δy b= --- Δx (X, Y) Ŷmin Xmin X Xmax

Garis yang diperoleh melalui kuadrat terkecil yaitu yang meminimkan jumlah kuadrat semua simpangan vertikal Gambar Simpangan-simpangan vertikal dimana jumlah kuadratnya diminimumkan pada metode kuadrat terkecil.

  Penerapan perhitungan regresi linier Tabel Hasil gabah dan Dosis N pada tanaman padi (Diambil dari Gomez dan Gomez )  ------------------------------------------------------------------------------------- Dosis N Hasil Gabah Kg.ha

-1 (X) kg.ha

-1 (Y) ------------------------------------------------------------------------------------- 0 50 4230 5442 100 150 6661 7150 ------------------------------------------------------------------------------------- Total 300 (∑X) 23483 (∑Y) ------------------------------------------------------------------------------------- ∑ x 2 = ∑X 2 – (∑X) 2 /n = 12500 ∑xy = ∑XYi– (∑X. ∑Y)/n = 249475 X rata-rata (X) = 75 Y rata-rata (Y) = 5870

∑xy ∑XYi– (∑X. ∑Y)/n 249475 b = -------- = -------------------- = --------- = 19.96

∑x 2 ∑X 2 – (∑X) 2 /n 12500 bo = Y – b1X b0 = 5870.75 – (19.96) = 4375 Penduga regresi Ŷ = b o + b 1 X Ŷ = 4375 + 19.96 X Ŷmax = bo + b1(Xmax) = 4374 + 19.96 (0) = 4374 kg.ha

-1 .

Ŷmin = bo + b1(Xmin) = 4374 + 19.96 (150) = 7368 kg.ha

-1 .

Ŷmax= 7368 8000 7000 6000 Ŷ=4375 + 19.96 X r = 0.98

5000 (X, Y) Ŷmin=4374 4000 0 50 100 Dosis N (kg.ha

-1 ) 150 Gambar Pendugaan regresi linier antara hasil gabah (Y) dan dosis N.

Uji beda nyata β b 19.96

tb = --------------- = -------------------- =

7.94* (berbeda nyata)

(√s 2 y.x

/ ∑x 2 ) (√ 78.921 / 12500)     S 2 y.x

= ∑yi 2 – (∑xiyi) ∑xi 2 2 (249475) 2 5136864 - 12500 ---------------------- = -------------------------------------- = 78.921

n – 2 4 – 2  t tabel 5%, db 2 = 4.303 dan t tabel 1%, db 2) = 9.925 Nilai tb lebih besar dari t tabel (5%) dan lebih kecil dari t tabel (1%), menunjukkan bahwa respons linier hasil padi berubah dengan dosis N dalam rentang 0 sampai 150 kg.ha

-1 berbeda nyata pada taraf nyata 5%.

Uji F Sidik ragam ------------------------------------------------------------------------ SK DB JK Regresi 1 4979521 KT F hit 4979521 63.29* Ftab5% ------------------------------------------------------------------------ 18.51

Galat Total 2 157343 786715 ------------------------------------------------------------------------ 3 5136864 ------------------------------------------------------------------------ JK Regresi= b1 ( ∑xy)= b1∑XYi– (∑X. ∑Y)/n= 19.96 (249475) = 4979521 JK Total = ∑ yi 2 = ∑ Yi 2 – (∑Y1)2/n = 5136864 JK Galat = JK total – JK Reg. = 157343

Selang kepercayaan (100  )% untuk  :  Selang kepercayaan (100  )% untuk  :  Selang kepercayaan = b  t.05

 (s 2 y.x / x 2 )  = 19.96  4.303

 (78.921 / 12500)  = 19.96  10.81

= (9.15 ; 30.77) Kenaikan hasil gabah untuk setiap kenaikan 1 kg ha -1 yang digunakan dalam rentang 0 sampai 150 kg ha -1 antara 9,15 kg ha 95%.

-1 dan 30.77 kg ha -1 pupuk nitrogen diharapkan pada selang kepercayaan

Koefisien korelasi (r)        ∑xy Nilai koefisien korelasi (r) = -----------------------  (∑xi 2 ) (∑yi 2 ) 249475 = --------------------- = 0.98

 (12500)(5136864)

 

Pustaka Gomez K.A., dan A. A. Gomez. 1983. Statistical Procedures for Agriculture Research. John Wiley & Sons, Inc. Canada.

Lampiran Koefisien ortogonal polinomial ---------------------------------------------------------------------------- T Degree T1 T2 T3 T4 T5 T6 ∑Ci 3 of polynomial ---------------------------------------------------------------------------- Linier -1 o +1 2 Quadratic +1 -2 +1 6 4 5 Linier Quadratic Cubic Linier Quadratic -3 +1 -1 -2 +2 -1 -1 +3 -1 -1 +1 -1 -3 0 -2 +3 +1 +1 +1 -1 +2 +2 20 4 20 10 14 6 Cubic Quartic Linier Quadratic Cubic Quartic Quintic -1 +1 -5 +5 -5 +1 -1 +2 -4 -3 -1 +7 -3 +5 0 +6 -1 -4 +4 +2 -10 -2 -4 +1 -4 -4 +2 +10 +1 +1 +3 -1 -7 -3 -5 +5 +5 +5 +1 +1 10 70 70 84 180 28 252

Perlakuan yang merupakan tingkatan taraf yang dinyatakan dengan besaran (bersifat kuantitatif) pada percobaan, ingin diketahui apakan responnya bersifat linier, kuadratik, kubik atau lainnya.

Dilakuan penguraian perlakuan kedalam tingkat-tingkat respons linier, kuadratif, kubic dan lainnya. Pada perlakuan yang mempunyai taraf sama dapat digunakan tabel koefisien ortogonal (Lampiran ). Jumlah kuadrat dari perlakuan yang akan ditentukan responnya diuraikan berdasarkan menjadi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya. Demikian pula derajat bebasnya.

Lampiran Sidik Ragam  RAL          Sidik ragam ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Perl.

Galat Total t-1 t(r-1) ----------------------------------------------------------------- tr – 1 JK Perl Jk Gal.

JK Total ------------------------------------------------------------------

 RAK           Sidik ragam ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Kelompok r-1 Perl.

Galat t-1 (t-1)(r-1) JK Kel.

JK Perl Jk Gal.

----------------------------------------------------------------- Total tr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

 Faktorial A X B dalam RAL             Sidik ragam ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Perl.

A B AXB ab-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1) JK Perl JK A JK B JK AXB Galat ab(r-1) Jk Gal.

----------------------------------------------------------------- Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

 Faktorial A X B dalam RAK              Sidik ragam ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Kelompok r-1 Perl.

A B AXB Galat ab-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1) (ab-1)(r-1) JK Kelompok JK Perl JK A JK B JK AXB Jk Gal.

----------------------------------------------------------------- Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

             Rancangan Petak Terpisah (Split Plot Design) A X B ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Kelompok r-1 Petak Utama (A) a-1 Galat (a) Anak Petak (B) PU X AP (AXB) Galat (b) Total (r-1)(a-1) b-1 (a-1)(b-1) a(r-1)(b-1) abr – 1 JK Kelompok JK A JK Galat a JK B JK AXB Jk Gal.

----------------------------------------------------------------- JK Total ------------------------------------------------------------------

              Rancangan Petak Berjalur (Strip Plot Design) A X B ----------------------------------------------------------------- SK DB JK KT F hit.

----------------------------------------------------------------- Kelompok Faktor datar (A) Galat (a) r-1 a-1 (r-1)(a-1) Faktor tegak (B) b-1 JK Kelompok JK A JK Galat a JK B Galat (b) A X B (r-1)(a-1) (a-1)(b-1) JK Galat (b) JK AXB Galat (c) (r-1)(a-1)(b-1) Jk Galat (c) ----------------------------------------------------------------- Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------