Transcript File

Ushtrime nga Matematika
A
B
C
D
E
F
G
H
Matricat
A=
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22 a23 …a2n
am1 am2 am3 …amn
a
Rreshtat e matricës
23
Tregon kolonën
Tregon rreshtin
I
J
Kolonat e matricës
K
…
X
Y
Z
Matrica është një bashkësi e elementeve
të renditura në rreshta dhe shtylla
(kolona)
Mbledhja e dy matricave
A=
2
-1
3
4
A + B=
B=
-3 -2
3
2
-1
3
4
-3 -2
+
3
0
=
2+(-3) -1+(-2)
3+3
Kujdes! –Mund ti
mbledhim vetëm
matricat numrat
e renditme
të
I mbledhim
ngjyrënjëjtë!
të njejtë!
0
4+0
-1 -3
=
6
4
Zbritja e dy matricave
A=
2
-1
3
4
3
-1
-3 -2
2
A - B=
3
B=
4
-
-3 -2
3
0
=
3-3
4-0
=
I zbresim numrat me
ngjyrë të njëjtë
2-(-3) -1-(-2)
=
Kujdes! –Mund ti
zbresim vetëm
matricat e rendit të
njëjtë!
0
5
1
0
4
Trego se cilat shumëzime
janë të mundshme
Numrojmë sa elemente i
ka marica e parë në
rresht.
1 3
4
1
6
5
1
*
-4
12
2
7
4
3
0
-5
Nëse elementet e një
rreshti nga matrica e parë
janë të barabarta me
Numrojmë sa elemente
i ka matrica e dytë ne
kolonë.
=
me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Mund ti shumëzojmë
ato dy matrica!
Trego se cilat shumëzime
janë të mundshme
Numrojmë sa elemente i
ka marica e parë në
rresht.
1 3
4
1
6
5
*
1
-4
12
2
7
4
Nëse numri i elementeve të
një rreshti nga matrica e
parë janë të ndryshëm me
=
Numrojmë sa elemente
i ka matrica e dytë ne
kolonë.

me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
S’mund ti
shumëzojmë ato dy
matrica!
Shumëzimi i dy matricave
A=
A * B=
=
2
-1
3
4
3
2
-1
-3 -2
3
4
B=
*
3
- 6- 3
- 4- 0
- 9+12
- 6+0
-3 -2
2*(-3) + (-1)*3
2*(-2) + (-1)*0
=
=
3*(-3) + 4*3
0
=
I shumëzojmë numrat me
ngjyrë të njëjtë
0
-9
-4
3
-6
3*(-2) + 4*0
Shumëzimi i matricës me një
skalar
A=
2
-1
3
4
5*A= A* 5= 5*
Është njësoj!
D.m.th., numri 5 i
shumzëzon të gjithë
anëtarët e matricës!
Si skalar le të jetë numri 5
2
-1
3
4
=
5*2
5*(-1)
5*3
5*4
=
10
-5
15
20
Plotësimi i matricës me
anëtarë
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Shembull:
A=
Forma e përgjithshme e
matricës së rendit të tretë!
Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me
numra hapësirat e zbrazta, të
ngjyrosura me të verdhë!
a11= 6
a22= 1
a13= -1
a12= 3
a32= 8
a33= 10
a21= 0
a31= -2
a23= 2
Njehsoni katrorin e matricës
2
2
A=
-2
3
0
1
4
2
5
0
-1
=
-2
3
0
1
4
2 * 1
5
0
-1
-2
5
3
0
4
2
0
-1
=
-2*(-2)+3*1+0*5
-2*3+3*4+0*0
-2*0+3*2+0*(-1)
1*(-2)+4*1+2*5
1*3+4*4+2*0
1*0+4*2+2*(-1)
5*(-2)+0*1+(-1)*5
5*3+0*4+(-1)*0
5*0+0*2+(-1)*(-1)
=
7
=
6
6
12 19
6
-15 15
1
=
Gjeni të panjohurat!
Duke u nisur nga kushti që dy matricat e
mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden
të panjohurat x dhe a.
x
-2
-1
2a
3
=
x=3
-1
Për të qenë matricat e barabarta
duhet që numrat me ngjyra të
njëjta të jenë të barabartë
-2
2
2=2
-1=-1
2a=2
a=2/2
a=1
Definimi i përcaktorëve
A=
2 -1
5
3
6 11
2 -1
Matrica s’është katrore.
S’ka përcaktor.
2 X3
3
A= 5 6 11
-3 7
|A|
1
3 X3
Matrica është katrore.
2 t’ia
-1 gjejmë
3
Mund
përcaktorin.
Dmth. Ekziston një
numër që e përcakton
|A| = 5 6 11 =
tërë matricën katrore.
-3 7 1
Ose detA
Janë dy mënyrat e shënimit të
përcaktorit/determinantës
Përcaktorët e rendit të dytë
+
-2
|A|= 0
1
-3 =
-
Ky është numri që e përcakton apo
determinon matricën katrore
+
x
|B|= 2
-
-2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6
a
-3 =
x*(-3) - 2*a = -3x- 2a
Përcaktorët e rendit të tretë
Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të
dytë të zgjidhet përcaktori (link formula)
1
0
|A|= 2
-1
7
5
a21
-1
0 = - 2*
2
0
5
-1
+(-1)*
2
1
7
a22 a23
Meqë 2+1=3 dmth numër
tek atëherë para 2 e kemi
– (minus)
=
-2*(0+5) -1*(2-7) +0
= -10+5=-5
-1
2
+0*
1
7
0
5
=
Metoda e Sarusit dhe e
trekëndëshit
+
A=
-
2
3
0
2
3
3
-1
7
3
-1 =
0
1
4
0
1
Ekuacionet matricore
Të zgjidhet ekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X:
3
A=
2 0
E=
0 1 -2
1 4 -1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2X+5E = 3A
I zbresim numrat me
ngjyrë të njëjtë nga të
dy matricat.
2X = 3A - 5E =
3
= 3*
2 0
0 1 -2
- 5*
2 4 -1
4
4
0
2X = 0 -2 -6
6 12 -8
X=
1 0
0
0 1
0
0 0
1
1
2
4
9 4
=
0
0 3 -6
6 12 -3
4
0
0Duhet
-2 -6 ta
4/2
=
-
4
4
0
5 0
0
0 5
0
= 0 -2 -6
0 0
5
6 12 -8
4/2
0/2
0/2 -2/2
gjejmë
veç-6/2
matricën
sa është.
6
12 -8 X 6/2
12/2 -8/2
2
=
2
0
0 -1 -3
3
6 -4
Të zgjidhet ekuacioni matricor
x² -2
1 -1
4 2
2
1
1
=2
x² -2
1 -1
4 2
2
1
1
x² -2
1 -1 = 2
4 2
Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur
metodën e Sarusit ( duke i shtuar dy
kolonat e para
- x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2
-3x²+ 6 = 2
-3x² = 2 - 6
- 3x² = - 3
x² = 1
x = ±√ 1
x=±1
Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit
bëhet rrënjë katrore!