Transcript dosyayı indir

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
Doğrusal Programlama
Two Mines örneği incelenirse, bir matematiksel modelin bir
"Doğrusal Program" (DP; linear program - LP) olması için
aşağıdaki koşulları sağlaması gerektiği görülür:
• Tüm değişkenler süreklidir (continuous)
• Tek bir amaç vardır (enbüyükleme (maximize) veya
enküçükleme (minimize))
• Amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Fonksiyondaki her terim
ya sabit sayıdır ya da bir sabitle çarpılmış değişkendir
DP'ler önemlidir çünkü:
• çok sayıda sorun DP olarak formüle edilebilir
• "Simpleks algoritması" kullanılarak DP'ler çözülebilir ve en iyi
çözüm bulunabilir
2
Doğrusal Programlama
DP'lerin temel uygulama alanlarına aşağıda çeşitli
örnekler verilmiştir:
• Üretim planlama
• Rafineri yönetimi
• Karışım
• Dağıtım
• Finansal ve ekonomik planlama
• İşgücü planlaması
• Tarımsal planlama
• Gıda planlama
3
Doğrusal Programlama
DP'ler için dört temel varsayım söz
konusudur:
• Oransallık
• Toplanabilirlik
• Bölünebilirlik
• Kesinlik
4
DP Çözüm çeşitleri

a)
b)
c)
d)
DP probleminin çözümü sonunda
karşılaşabileceğimiz çözümler
aşağıdakilerden biri olabilir.
Optimal çözüm,
Temel çözüm,
Uygun çözüm,
Dejenere(bozulan) çözüm.
5
Uygun Çözüm hali,
Elde edilen çözüm DP probleminin tüm kısıtlayıcılarını
doyurursa uygun çözüm olur.
 Optimal çözüm,
Problemin çözümü sonunda birkaç uygun çözüm olabilir. Bu
uygun çözümler arasından en iyi olanı Optimal Çözümdür.
 Temel Çözüm,
Amaç fonksiyonu ve negatif olmama koşulu dışında,
problemin formülasyonunda m sayıda kısıt ve n tane
değişken varsa tek bir temel çözüm vardır.
 Bozulan Çözüm,
Temel çözümün bir veya birkaç temel değişkeninin değeri
sıfırsa, bozulan çözüm vardır

6
DP Modellerinin Formülasyonu
1)
2)
3)
Formülasyon işleminde 3 adım
bulunmaktadır;
Karar değişkenlerini belirle ve bunları
cebirsel sembollerle belirle.
Problemin tanımı içinde yer alan tüm kısıtları
veya sınırlamaları belirle ve bu kısıtları karar
değişkenlerinin fonksiyonu olarak,Doğrusal
Denklemler(eşitlikler) veya Eşitsizlikler
şeklinde yaz.
Karar Değişkenlerinin doğrusal fonksiyonu
olarak Amaç Fonksiyonunu(max veya min)
tanımla.
7
ÖRNEK 1
3.1.1 Giapetto Örneği (Winston 3.1., s. 49)
Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış
fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için
$21'dır. Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik
kullanılmaktadır. Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla
$9 ve $10'dır. Her bir asker için 2 saat montaj ve 1 saat
marangozluk gerekirken, her bir tren için 1 saat montaj ve 1
saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde miktarı
sınırsızdır, fakat haftada en çok 100 saat montaj ve 80 saat
marangozluk kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 40
oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarak karını
enbüyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet
üretmesi gerektiğini bulunuz.
8
ÇÖZÜM 1
Karar değişkenleri tam olarak verilmesi gereken (bu sorunda Giapetto tarafından) kararları
tanımlamalıdır. Giapetto bir haftada kaç oyuncak asker ve tren yapacağına karar vermelidir.
Bu karara göre aşağıdaki karar değişkenleri tanımlanabilir:
x1 = bir haftada üretilen asker sayısı
x2 = bir haftada üretilen tren sayısı
Amaç fonksiyonu karar değişkenlerinin bir fonksiyonudur. Gelir veya karını enbüyüklemek ya
da maliyetini enküçüklemek isteyen karar vericinin amacını yansıtır. Giapetto haftalık karını (z)
enbüyüklemek isteyecektir. Bu sorunda kar
(haftalık gelir) – (hammadde satınalma maliyeti) – (diğer değişken maliyetler)
olarak formüle edilebilir. Bu durumda Giapetto’nun amaç fonksiyonu:
Enbüyükle z = 3x1 + 2x2



Kısıtlar karar değişkenlerinin alabileceği değerler üzerindeki, sınırlamaları gösterir. Herhangi
bir sınırlama olmazsa Giapetto çok fazla sayıda oyuncak üreterek çok büyük kar elde edebilir.
Fakat gerçek hayatta olduğu gibi burada da kısıtlar vardır;
Haftalık kullanılabilen montaj işçiliği zamanı
Haftalık kullanılabilen marangozluk zamanı
Askerler için haftalık talep
İşaret sınırlamaları da eğer karar değişkenleri salt negatif olmayan değerler alıyorsa
kullanılmalıdır (Giapetto negatif sayıda asker veya tren üretemez!).
9
Çözüm 1
Yukarıdaki tüm bu özellikler aşağıdaki Doğrusal Programlama
(DP; Linear Programming - LP) modelini verir:
Maks z = 3x1 + 2x2
s.t.
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
(Amaç fonksiyonu)
(Montaj kısıdı)
(Marangozluk kısıdı)
(Talep kısıdı)
(İşaret sınırlamaları)
Eğer (x1,x2)’nin bir değeri (bir çözüm) tüm bu kısıtları ve işaret
sınırlamalarını sağlarsa, söz konusu çözüm olurlu bölgededir
(feasible region). Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun
çözüldüğünde olurlu bölgedeki çözümlerden amaç fonksiyon
değeri en yüksek olan çözümün (x1,x2) = (20,60) olduğunu ve
z=180 değerini verdiğini buluruz. Bu çözüm en iyi çözümdür
(optimal solution).
10
Çözüm 1
Yukarıdaki tüm bu özellikler aşağıdaki Doğrusal Programlama
(DP; Linear Programming - LP) modelini verir:
Maks z = 3x1 + 2x2
s.t.
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
(Amaç fonksiyonu)
(Montaj kısıdı)
(Marangozluk kısıdı)
(Talep kısıdı)
(İşaret sınırlamaları)
Eğer (x1,x2)’nin bir değeri (bir çözüm) tüm bu kısıtları ve işaret
sınırlamalarını sağlarsa, söz konusu çözüm olurlu bölgededir
(feasible region). Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun
çözüldüğünde olurlu bölgedeki çözümlerden amaç fonksiyon
değeri en yüksek olan çözümün (x1,x2) = (20,60) olduğunu ve
z=180 değerini verdiğini buluruz. Bu çözüm en iyi çözümdür
(optimal solution).
11
Çözüm 1
Rapor
Haftada 20 asker ve 60 tren üretilmesi
durumunda kar $180 olacaktır. Kar
miktarları, eldeki işçilik ve talebe göre
elde edilebilecek en büyük kar budur.
Daha fazla işçilik bulunursa kar
çoğalabilir.
12
ÖRNEK 2
3.1.2 Reklam Örneği (Winston 3.2, s. 61)
Dorian şirketi, yüksek gelirli müşterileri için otomobil ve jeep
üretmektedir. Televizyondaki tiyatro oyunlarına ve futbol
maçlarına bir dakikalık spot reklamlar vererek satışlarını
arttırmayı hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen reklamın
maliyeti $50bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadın ve 2 milyon
erkek tarafından seyredilebilir. Futbol maçına verilen reklamın
maliyeti ise $100bin'dir ve hedef kitledeki 2 milyon kadın ve 12
milyon erkek tarafından seyredilebilir. Dorian yüksek gelirli 28
milyon kadın ve 24 milyon erkeğe en az maliyetle nasıl ulaşır?
13
ÇÖZÜM 2
Karar değişkenleri aşağıdaki gibi belirlenebilir:
x1 = tiyatro oyununa verilen reklam sayısı
x2 = futbol maçına verilen reklam sayısı
Sorunun modeli:
min z = 50x1 + 100x2
öyle ki
7x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 12x2 ≥ 24
x1, x2≥0
Grafik çözüm yapılırsa (x1,x2) = (3.6,1.4) değerleri
için amaç fonksiyonunun en iyi değeri z = 320
olarak bulunur. Grafiğe bakılarak en iyi tamsayılı
çözüm (x1,x2) = (4, 2) olarak bulunabilir.
14
Çözüm 2
Rapor
Hedeflenen kitleye ulaşmak için en az
maliyetli çözüm 4 adet reklamı tiyatro
oyununda ve 2 adet reklamı futbol
maçında kullanmak gerekir. Bu durumda
Dorian $400bin reklam masrafı
yapacaktır
15
ÖRNEK 3
3.1.3 Beslenme Örneği (Winston 3.4., s. 70)
Bayan Fidan dört "temel gıda grubu" ile beslenmektedir: kek,
çikolatalı dondurma, kola, ananaslı pasta. Bir adet kek $0.5'a,
bir kaşık dondurma $0.2'a, bir şişe kola $0.3'a ve bir dilim pasta
$0.8'a satılmaktadır. Her gün en az 500 kalori, 6 oz. çikolata,
10 oz. şeker ve 8 oz. yağ alması gereken Bayan Fidan en az
maliyetle bu gereksinimlerini nasıl karşılar? Aşağıdaki tabloyu
kullanarak bir DP modeli kurup sorunu çözünüz.
Kalori Çikolata
Şeker
Yağ
(ounce)
(ounce)
(ounce)
Kek (1 adet)
400
3
2
2
Çikolatalı dondurma (1 kaşık) 200
2
2
4
Kola (1 şişe)
150
0
4
1
Ananaslı pasta (1 dilim) 500
0
4
5
16
ÇÖZÜM 3
Karar değişkenleri:
x1: günlük yenilecek kek sayısı
x2: günlük yenilecek kaşık dondurma sayısı
x3: günlük içilecek şişe kola sayısı
x4: günlük yenilecek dilim pasta sayısı
şeklinde belirlenebilir.
Bu durumda amaç fonksiyonu (cent cinsinden toplam günlük maliyet):
min w = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 + 80 x4
Kısıtlar:
400 x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 > 500 (günlük kalori)
3 x1 + 2 x2 > 6
(günlük çikolata)
2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 > 10
(günlük şeker)
2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 > 8
(günlük yağ)
xi > 0, i = 1, 2, 3, 4
(işaret sınırlamaları!)
17
Çözüm 3
Rapor
Bayan Fidan günde 3 kaşık dondurma
yiyip 1 şişe kola içerek tüm besin
gereksinimlerini karşılayabilir ve sadece
90 cent harcar (w=90, x2=3, x3=1).
18
ÖRNEK 4
3.1.4 Postane Örneği (Winston 3.5., s. 74)
Bir postanede haftanın her günü farklı sayıda
elemana gereksinim duymaktadır. Sendika
kurallarına göre bir eleman 5 gün peş peşe
çalışmakta diğer iki gün izin yapmaktadır.
Çalıştırılması gereken toplam en az eleman sayısını
aşağıdaki iş yüküne göre hesaplayınız.
Gerekli eleman
Pzt Sal Çar Per Cum Cmt Paz
17 13 15 19
14
16
11
19
ÇÖZÜM 4
Karar değişkenleri xi (i. gün çalışmaya başlayan
eleman sayısı) olsun Matematiksel olarak DP modeli
aşağıdaki gibi oluşturulabilir:
min z = x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7
x1 +
x4 +x5 +x6 +x7 ≥ 17
x1 +x2
+x5 +x6 +x7 ≥ 13
x1 +x2 +x3
+x6 +x7 ≥ 15
x1 +x2 +x3 +x4
+x7 ≥ 19
x1 +x2 +x3 +x4 +x5
≥ 14
+x2 +x3 +x4 +x5 +x6
≥ 16
+x3 +x4 +x5 +x6 +x7 ≥ 11
xt≥
0, t
20
Çözüm 4
Rapor
(xt) = (4/3,10/3,2,22/3,0,10/3,5), z = 67/3
şeklindedir.
Karar değişkeni değerleri yakın tamsayılara
yuvarlanırsa (xt) = (2,4,2,8,0,4,5), z=25
çözümü bulunur (yanlış olabilir!). Elde edilen
Tamsayılı Lindo çözümüne göre ise amaç
fonksiyonun en iyi değeri z=23'dür ve
(xt) = (4,4,2,6,0,4,3) şeklindedir.
21
ÖRNEK 5
3.1.5 Sailco Örneği (Winston 3.10., s. 99)
Sailco şirketi gelecek dört mevsimde kaç adet yelkenli
üreteceğine karar verecektir. Talep sırasıyla 40, 60, 75 ve 25
yelkenlidir. Sailco tüm talepleri zamanında karşılamalıdır.
Başlangıçta Sailco'nun envanterinde 10 yelkenli vardır. Normal
mesai ile bir mevsimde 40 yelkenli üretebilen şirket yelkenli
başına $400 işçilik maliyetine maruz kalmaktadır. Fazla mesai
ile yapılan her ek yelkenli için ise işçilik maliyeti $450'dır.
Herhangi bir mevsimde yapılan yelkenli ya talebi karşılamak
için kullanılıp satılır ya da envantere konulur. Bir yelkenlinin bir
mevsim envanterde tutulması durumunda ise $20 envanter
taşıma maliyeti oluşmaktadır.
22
ÇÖZÜM 5
t = 1,2,3,4 için karar değişkenleri
xt = t. mevsimde normal mesai ile üretilen yelkenli sayısı
yt = t. mevsimde fazla mesai ile üretilen yelkenli sayısı
Envanter hesaplarının yapılabilmesi için kullanılacak değişkenler:
it = t. mevsimin sonunda envanterdeki yelkenli sayısı
dt = t. dönem için yelkenli talebi
Veri xt ≤ 40, t
Mantıksal olarak it = it-1+ xt + yt - dt, t.
Talep karşılanmalı it ≥ 0, t
(İşaret sınırlamaları xt,yt≥0, t)
Bu kısıt kümelerini kullanarak toplam maliyet z’yi enküçüklemeliyiz:
z = 400(x1+x2+x3+x4) + 450(y1+y2+y3+y4) + 20(i1+i2+i3+i4)
23
Çözüm 5
Rapor
Lindo en iyi çözümü (x1, x2, x3, x4) = (40, 40,
40, 25), (y1, y2, y3, y4) = (0, 10, 35, 0) ve
toplam maliyet = $78450.00 olarak verir.
Üretim çizelgesi:
M1 M2 M3 M4
Normal mesai (xt) 40
40 40
25
Fazla mesai (yt)
0
10 35
0
Envanter (it)
10 10
0
0
0
Talep (dt)
40 60 75
25
24
ÖRNEK 6
3.1.6 Müşteri Hizmet Düzeyi Örneği (Winston 3.12, s. 108)
Bir bilgisayar şirketinde müşteri hizmetleri için deneyimli
uzmana olan talep (adamsaat/ay) aşağıdaki gibidir:
t
Ocak Şub
Mart
Nis
May
dt
6000 7000 8000 9500 11000
Ocak ayı başında şirkette 50 deneyimli uzman vardır. Her
uzman ayda 160 saat çalışabilir. Yeni bir uzmanı yetiştirmek
için deneyimli uzmanlar 50 saat ayırmaktadır ve söz konusu
uzmanın eğitimi bir ayda tamamlanmaktadır. Her deneyimli
uzmana ayda $2000, her yeni uzmana ise ayda $1000
ödenmektedir. Her ay deneyimli uzmanların %5'i işten
ayrılmaktadır. Şirket hem hizmet talebini karşılamak istemekte
hem de maliyetleri enazlamak istemektedir. Sorunu çözmek
için DP modeli kurunuz.
25
ÇÖZÜM 6
Karar değişkenleri:
xt = t ayında eğitilecek uzman sayısı
İşlem yapabilmek için kullanılan diğer değişkenler ise
yt = t. ayın başında şirketteki deneyimli uzman sayısı
dt = t. ayın hizmet talebi
Bu durumda
min z = 2000(y1+...+y5)+1000(x1+...+x5)
öyle ki
160yt-50xt ≥ dt
, t = 1,...5
y1 = 50
yt = .95yt-1+xt-1
, t = 2,3,4,5
xt,yt≥0
26
ÖRNEK 7
Ürün Karışım Problemi
Beyaz eşya üreten bir firma, mutfakta
kullanılan
bazı
aletleri
üretmeyi
planlamaktadır.İş gücü ve malzemenin kullanıldığı üretim sürecinde 3 farklı
ürünün üretilmesi düşünülmek
tedir. Bu süreçle ilgili sayısal bilgiler
aşağıda verilmektedir.
27
Ü R Ü N L ER
B
C
--------------------------------7
3
6
4
4
5
4
2
3
A
İşçilik(ürün başı saat)
Malzeme(pound)
Kazanç(ürün başı)
------------------------------------------Bu bilgilerin yanında, üretimin günlük en çok 200 poundluk
hammadde kısıtı ve toplam çalışma saati olarak ta 150 saatlik bir
kapasite vardır.
Bu bilgiler ışığı altında kazancı maksimum yapacak üretim
kombinasyonunu belirlemek için problemi DP algoritması içinde
formüle ediniz.
28
PROBLEMİN FORMÜLASYONU
Karar Değişkenleri
XA ….Ürün A nın günlük üretimi,
XB ….Ürün B nin günlük üretimi,
XC ....Ürün C nin günlük üretimi.
1.
2.
Kısıtlar
Problemin işgücü ve Hammadde
miktarı üzerinde 2 kısıtı vardır.
29
İş gücü kısıtı
7 XA + 3 XB + 6 XC ≤ 150 saat

Hammadde Kısıtı
4 XA + 4 XB + 5 XC ≤ 200 pound


Negatif Olmama Kısıtı
XA , XB , XC ≥ 0
Amaç Fonksiyonu,
Max Z = 4 XA + 2XB + 3XC
30
Modelin Toplu Görünüşü
Max Z = 4 XA + 2XB + 3XC
Kısıtlar
7 XA + 3 XB + 6 XC ≤ 150 saat
4 XA + 4 XB + 5 XC ≤ 200 pound
XA , XB , XC ≥ 0
31
Çözüm sonuçları
X1(NONBasic)= 0
 X2 (Basic ) =50
 X3 (NONBasic)= 0
 slack 1(NONBasic)=
0
 slack 2 (Basic) =-5,10897E-06
 Optimal Value (Z)=100,000000638621

32
ÖRNEK 8
Reklam Aracı Seçme Problemi
Bir reklam firması, bir ürün için ,TV,Radyo ve Magazinlerde yapılmak
üzere bir reklam kampanyası planlamaktadır. Kampanyanın amacı
mümkün olduğunca daha fazla potansiyel müşteriye ulaşmaktır. Bu
amaçla yapılan Pazar araştırmasının sonuçları aşağıdaki gibidir,
TV
Radyo
Gün içi P.time
-----------------------------------------------------------------Rekl. Maliyeti($)
40.000
75.000
30.000
Ulaşılabilen
Müşteri sayısı……
400.000
900.000
500.000
Ulaşılabilen Kadın
Sayısı
…………..300.000
400.000
200.000
----------------------------------------------------------------------------------------
magazin
15.000
200.000
100.000
33
Reklam firması bu kampanya içinde en çok $800.000
harcama düşünmektedir.Bunun yanında;
a)Ulaşabileceği kadın müşteri sayısının ENAZ
2.000.000 kişi olması,
b) TV deki reklam harcamalarının ENÇOK $500.000
olması,
c) TV gün içi yayınlarda ENAZ 3 Reklamın ve P.Time da da
ENAZ 2 Reklamın yapılması,
d)Radyo ve magazinlerdeki reklam sayısının 5 ile 10
arasında yapılması düşünülmektedir.
Bu bilgiler ışığı altında,ulaşılması düşünülen müşteri
sayısını maksimum yapacak modelleme çalışmasını
yapınız.
34
Problemin formülasyonu
1.
Karar Değişkenleri
X1
X2
X3
X4
: TV gün içi reklam sayısı,
: TV P.time reklam sayısı,
: Radyo reklam sayısı,
: Magazine Reklam sayısı.
Kısıtlar
Bütçe kısıtı
40.000X1+75000X2+30000X3+15000X4 ≤ 800000
Bayan müşteri kısıtı
300000X1+400000X2+200000X3+100000X4
2.
a)
b)
≥2000000
c)
TV Reklam harcama kısıtı
40000X1+75000X2 ≤ 500.000
35
d)
e)
TV Gün içi Reklam Kısıtı
X1 ≥ 3
Tv P. Time kısıtı
X2 ≥ 2
f) Radyo ve Magazinde Reklam sayısı kısıtı,
X3 ≥ 5, X3 ≤ 10, X4 ≥ 5, X4 ≤ 10,
Amaç Fonksiyonu ise
Max Z :400000X1+900000X2+500000X3+200000X4
Şeklindedir.
36
Problemin çözümü














X1 (Basic)=3
X2 (Basic)=3,066667
X3 (Basic)=10
X4 (Basic)=10
slack 1(NONBasic)=0
surplus 2(Basic)= 2316667
slack 3(Basic) =150000
surplus 4(NONBasic)=0
surplus 5(Basic)=1,066666
surplus 6(Basic)= 5
slack 7(NONBasic)=0
surplus 8(Basic)= 5
slack 9(NONBasic)=0
Optimal Value (Z) =10959999,8207181
37
ÖRNEK 8
Kalite Kontrol Denetim Problemi
Bir işletmede 2 farklı seviyede denetleme
elemanı bulunmaktadır.Bir gün boyunca(8 saat
içinde) en az 1800 parçanın denetlenmesi
arzu edilmektedir.
1.seviye denetleme elemanı, 25 parçayı %98
güvenle 1 saatte denetlerken,
2.seviye denetleme elamanı ise aynı süre
içinde 15 parçayı %95 güvenle kontrol
edebilmektedir.
38
1.denetçinin ücreti $4/ saat iken, 2. denetçinin
ücreti ise $3/saat tir. Denetçiler tarafından her
zaman yapılan hataların her biri,firmaya $2
maliyet getirmektedir. Firma denetleme işi için
1.kalite denetçiden 8 kişi, 2.kalite denetçiden ise
10 kişi bulabilme şansına sahiptir.
Bu bilgiler ışığı altında, firma denetleme
maliyetlerini minimize etmek amacı ile EN
UYGUN SAYIDA denetçi atamayı planlayacak
olan modeli DP tekniği ile kurunuz.
39
Problemin Formülasyonu
1-Karar Değişkenleri
X1 …. 1. derece Denetçi Sayısı
X2 …. 2.derece Denetçi sayısı
2-Kısıtlar
a) X1 ≤ 8 (1.derece denetçi sayısı kısıtı)
b)
c)
≤ 10 (2.derece denetçi sayısı kısıtı)
8(25) X1 + 8 (15)X2 ≥ 1800 denetlenecek en
X2
az parça kısıtı
40
d)
Maliyet Bilgileri
(Denetleme sırasında,denetçilere ödenen para ve denetleme
hatalarının maliyeti)
$4 +2(25)(0.02) = $5 / saat 1.derece denetçiler için
Ödenmesi gereken miktar.
$3+ 2(15)(0.05) = $4.5 /saat 2.derece denetçiler için
Ödenmesi gereken miktar.
1.Denetçinin 1 günlük maliyeti 5*8 = $40
2.Denetçinin 1 günlük maliyeti (4.5)*8=$36 dır.
Buradan
Amaç Fonksiyonu
Min Z = 40 X1 + 36 X2
41
DS ile Çözüm
X1 (Basic)= 8
 X2 (Basic)= 1,666667
 slack 1 (NONBasic)= 0
 slack 2 (Basic)= 8,333333
 surplus 3(NONBasic)=0
 Optimal Value (Z)= $380

42
ÖRNEK 9




Diyet Programı
Bir diyet programında alınan gıdaların Pasta,
Dondurma, Soda, ve Peynirli Sandviç ten
sağlandığını varsayalım. Ancak diyet yapıldığı
anda satın alınacak 4 gıdanın
Browni,
Çikulatalı dondurma,
Kola,
Elmalı Kek
olduğu bilinmektedir.
43
Bu gıdaların maliyeti sırası ile,




Browni
……………………………….50 cent
Çikulatalı dondurma
………………20 cent,
Bir şişe kola…………………………….30 cent,
Elmalı kek………………………….......80 cent.
Her gün 500 Kalori, 6 Oz çikulata, 10 oz şeker ve 8 Oz
yağ harcamak zorunda olduğumuza göre ve gıdaların
içerdikleri kaloriler aşağıdaki gibi olduğuna göre, bu karar
problemini, günlük kalori ihtiyacını minumum maliyetle
karşılayacak şekilde, DP algoritması ile formule ediniz ve
DS te çözünüz.
44
Kalori Tablosu
Kalori Çikulata Şeker Yağ
Browni
1 Kaşık Çikulatalı Dondurma
1 Şişe kola
1 Parça elmalı kek
***********************************
400
3
2
2
200
2
2
4
150
0
4
1
500
0
4
5
************************************
45
Problemin Formülasyonu
Karar Değişkenleri
X1 :Günlük yenilen Browni sayısı,
X2 :Günlük yenilen çikulatalı Dondurma sayısı,
X3 :Günlük içilen kola şişe sayısı,
X4 :Günlük yenilen elmalı kek parça sayısı.
Amaç diyet maliyetini minimize etmektir. Bu diyet
programının toplam maliyetini hesaplayabilmek için
aşağıdaki bağıntı kullanılabilir.
46
TC=Browni maliyeti+Dondurma Maliyeti+Kola
Maliyeti+Kek maliyeti
Örneğin
Kola Maliyeti ?
TC cola =(1şişe kola fiyatı)*(içilen şişe sayısı)=30X3
Benzer mantık kullanılarak, diğer maliyetlerle birlikte
Toplam Maliyet(TC);
TC = 50 X1 + 20 X2 +30 X3 +80 X4
Yazılabilir ki, amaç bu fonksiyonu minimize edecek
üretim kombinasyonunu belirlemektir.
47
Kısıtlar
K1 -Günlük alınması gereken kalori miktarı ENAZ
olduğuna göre,
500
400X1+200 X2+150 X3+500X4 ≥ 500 kalori
K2- Çikulata kısıtı(X3 ve X4 gıdalarında çıkulata
olmadığından dikkate alınmamıştır.)
3X1 + 2 X2 ≥6
K3- Şeker Kısıtı
2X1 + 2X2 + 4X3 +4X4 ≥ 10
K4- Yağ Kısıtı
2X1 + 4X2 +X3 + 5X4 ≥ 8
48
Çözüm









X1 (NONBasic)=0
X2 (Basic)=3
X3 (Basic)=1
X4 (NONBasic)=0
surplus 1(Basic)=
250
surplus 2(NONBasic)=
0
surplus 3(NONBasic)=
0
surplus 4(Basic)=
5
Optimal Value (Z)= 90 Cent
49
Grafik Çözüm

Doğrusal programlama problemlerinin
formülasyonundan sonra yapılacak iş
modeli matematiksel olarak çözmektir.

Bu çözümler arasında özellikle 2
değişkenli modeller için kullanılan “grafik
çözüm” görsel yorumları da
desteklemektedir.
50
Örnekler
2.
51
1.Kısıt
2.Kısıt
6 X 1  2 X 2  1800
X 1  0  X 2  900
X 2  0  X 1  300
52
3.Kısıt
X 2  350
4.Kısıt
X 1  50
5.Kısıt
X 2  100
53
6.Kısıt
X 1  X 2  300
X 1  0  X 2  300
X 2  0  X 1  300
54
Grafik çözüm
X2
900
800
700
600
500
400
300
200
100
X1
55
Sonuç
Z  2 X 1  6 X 2  1000  2 X 1  6 X 2
1000
X1  0  X 2 
 166
6
X 2  0  X 1  500
56
ÖRNEK 2
Örnek Problem : XX şirketi, H1 ve H2 hammaddelerinin karışımından iç
ve dış duvar boyası üretmektedir. Aşağıdaki tabloda problemin temel
verileri gösterilmektedir.
H1
H2
Ton başına kar(1000
ton başına hammadde
miktarı (ton)
dış boya
iç boya
6
4
1
2
5
4
günlük maksimum
kapasite(ton)
24
6
Şirketin yaptığı pazar araştırmasında, günlük iç boya talebinin en fazla 2
ton olduğu görülmüştür. Yine aynı araştırmada, günlük iç boya talebinin
günlük dış boya talebinden fazla olduğu ve bu fazlalığın günde en çok 1
ton olduğu anlaşılmıştır. Sirket karını maksimum yapacak şekilde
optimum üretim miktarını belirlemek istemektedir.
57
ÇÖZÜM 2
Modelin karar değişkenleri iç ve dış boya miktarlarıdır.
x1
dış boyanın günlük üretim miktarını( ton)
x2
iç boyanın günlük üretim miktarını( ton ) göstersin.
Şirket için en iyi amaç toplam karı maksimum yapmaktır. Z toplam karı göstermek üzere ;
maksimum Z = 5 * x1 + 4 * x2
Şeklinde yazılabilir. Modelin son elemanı hammadde ve taleple ilgili sınırlamalardır.
H1 hammaddesinin kullanımı:
6 * x1 + 4 * x2 ton
H2 hammaddesinin kullanımı da :
1* x1 + 2 *x2 tondur.
Bu hammaddelerin günlük kullanımları sınırlı olduğu için kısıtları şu şekilde yazabiliriz :
6 * x1 + 4 * x2 < = 24
1* x1 + 2 *x2 <= 6
H1 hammaddesi için
H2 hammaddesi için
58
ÇÖZÜM 2
Ayrıca taleple ilgili sınırlamalar da vardır :
İç duvar boyası talebinin günde en çok 2 ton olması ;
x2 < = 2
İç boyanın günlük üretiminin dış boyanın üretiminden en çok 1 ton fazla olması ;
x2 - x1 < = 1
Modelde yer alan değişkenlerin negatif olmama (pozitiflik koşulu) sınırlamasını da ekleyerek
matematik modeli aşağıdaki gibi yazabiliriz :
amaç fonksiyonu :
maksimum Z = 5 * x1 + 4 * x2
kısıtlar :
6 * x1 + 4 * x2 < = 24
x1 + 2 *x2 <= 6
- x1 + x2
<= 1
x2
<= 2
pozitiflik koşulu :
x1 , x2 > = 0
Bu kısıtların tümünü sağlayan herhangi bir çözüm uygun çözüm adını alır.
59
ÇÖZÜM 2
Grafik çözüm
İki değişkenli bir DP modeli grafik olarak çözülebilir. Grafik yöntemin iki önemli
adımı vardır :
Modelin tüm kısıtlarının sağlandığı uygun çözümleri içeren bir çözüm uzayının
belirlenmesi,
Çözüm uzayındaki tüm noktalar arasından optimum çözümün bulunması.
Yukarıda verilen örneğin grafik çözümünü yapalım. Kısıtları bir koordinat
sisteminde göstermenin en kolay yolu, eşitsizlikleri eşitlik şeklinde düşünerek
bunlara ait doğruların çizilmesidir. Daha sonra eşitsizliğin işaretine göre doğrunun
altında ya da üstünde kalan bölge çözüm bölgesi olarak seçilir. Birinci kısıtı ele
alırsak ;
6 * x1 + 4 * x2 < = 24 eşitsizliğini
6 * x1 + 4 * x2 = 24 şeklinde eşitlik olarak yazalım.
Bu doğruyu çizebilmek için iki nokta gerekir. x1 = 0 için x2 ‘yi, x2= 0 için de
x1 ‘ i hesaplayabiliriz. x1 = 0 için x2= 6 , x2 = 0 için x1 = 4 bulunur. (0,6)
ve (4,0) noktalarından geçen doğru aranılan doğrudur. Eşitsizliğin yönü (<= )
şeklinde olduğu için bu doğrunun altında kalan alan bu kısıtı sağlayan alandır.
Tüm kısıtlara ait doğrular çizildikten sonra, çözüm uzayı belirlenir. Aslıda uygun
çözüm bölgesi sonsuz sayıda uygun nokta içerdiği için , bunların arasından
optimum noktayı bulmamız gerekir.
60
ÇÖZÜM 2
X2
1
3
4
E D
F
0
A
C
2
B
X1
61
ÇÖZÜM 2
Optimum çözümün belirlenmesi için kar fonksiyonunun artış yönünün
bilinmesi gerekir. Bu da Z’e keyfi değerler atayarak yapılabilir. Z’ e
önce 10 sonra 15 değerleri verilerek;
5 * x1 + 4 * x2
5 * x1 + 4 * x2
= 10 ve
= 15 doğruları çizilir.
Amaç fonksiyonunun daha artırılması durumunda ABCDEF uygun
çözüm uzayının dışına çıkılacaktır. Şekilden çözüm uzayının dışına C
noktasından çıkıldığı görülmektedir. Dolayısıyla uygun çözümü içeren
nokta C noktasıdır. C noktası 1 ve 2 numaralı kısıtların kesişim noktası
olduğu için buradan x1 = 3 ve x2= 1.5 bulunur. Günlük üretimde 3 ton
dış boya, 1.5 ton iç boya üretildiğinde günlük kar Z= 21000$ olacaktır.
Optimum çözümün çözüm uzayının komşu köşe noktalarından birinde
bulunması raslantı değildir. Amaç fonksiyonunun eğimi değiştirilse bile,
yeni çözüm yine köşe noktalarından birinde olacaktır.
62
ÇÖZÜM 2
X2
z=21
z=15
z=10
0
z’deki artış
optimum nokta
x1 = 3
x2= 1.5
Z= 21000$
X1
63
ÖRNEK 3
Örnek problem: Bir çiftlikte günde en az 800 kg özel bir karışımla
yapılan yem kullanılmaktadır. Bu karışım, aşağıdaki tabloda
verilen maddelerin belirtilen miktarları kullanılarak elde
edilmektedir.
1 kg yemde kullanılan miktarlar(kg)
Protein
Lif
Maliyet($/kg)
Mısır
0.09
0.02
0.30
Soya unu
0.60
0.06
0.90
Bu ürünün bileşiminde en az %30 protein ve en çok da % 5 lif
bulunması zorunludur. Firma minimum maliyetle günlük yem
karışımını belirlemek istemektedir. Önce probleme ait matematik
modeli kuralım:
64
ÇÖZÜM 2
Karar değişkenleri:
x1 = karışımdaki mısır miktarı (kg)
x2 = karışımdaki soya unu miktarı(kg)
Amaç fonksiyonu:
Minimize Z = 0.3* x1 + 0.9 * x2
Kısıtlar :
x1 + x2 > = 800 ( günlük üretim)
0.09* x1 + 0.60* x2 > = 0.3 ( x1 + x2 ) (protein miktarı)
0.02 * x1 + 0.06 * x2 < = 0.05(x1 + x2 ) ( lif miktarı)
65
ÇÖZÜM 2
Kısıtları ve amaç fonksiyonunu yeniden
yazalım:
Minimize Z = 0.3* x1 + 0.9 * x2
x1 + x2 > = 800
0.21* x1 - 0.30* x2 < = 0
0.03* x1 - 0.01 * x2 >= 0
x1 , x2 > = 0
66
ÇÖZÜM 2
X2
2
Çözüm Bölgesi
1
Optimum Nokta
0
X1
optimum noktada değişkenlerin değerleri:
x1 = 470.59 kg
x2 = 329.42 kg
Amaç fonksiyonu : Z = 437.65 $
67