Transcript Prezentácia

Geometria I
1. Prednáška
PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD.
FMFI UK, 2012
8. 4. 2015
2/15
Úvod
• Kontakt:
PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD.
FMFI UK, M 148,
[email protected], 0908 243 439
• Podmienky zápočtu a skúšky (40/60)
– Cvičenia 40%
• Max 3x neúčasť (odovzdať vypracované DÚ)
• Rozcvičky (5x, náhradné sa nepíšu)
• Test (polsemestrálny, oprava testu nebude možná!)
– Skúška 60%
• Test celosemestrálny + „rozprava o úlohách testu“
8. 4. 2015
3/15
Osnova predmetu GEOMETRIA I
1.
2.
3.
4.
5.
Vektory v geometrii (20.2.2012)
Afinný priestor, Afinné súradnice (27.2.2012, Rozcvička)
Podpriestory , Analytické vyjadrenie podpriestoru (5.3.2012)
Vzájomné polohy podpriestorov (12.3.2012, Rozcvička)
Euklidovský priestor, skalárny súčin, dĺžka, uhol a kolmosť
vektorov (19.3.2012)
6. Kolmosť podpriestorov v Euklidovskom priestore, vektorový
súčin (26.3.2012, Rozcvička)
TEST 2.4.2012
7. Vzdialenosť a uhol podpriestorov (16.4.2012)
8. Transformácia súradníc, orientácia (23.4.2012, Rozcvička)
9. Polpriestor (30.4.2012)
10. Deliaci pomer, zmiešaný súčin, lineárna kombinácia bodov
(7.5.2012, Rozcvička)
8. 4. 2015
4/15
Literatúra
[1] Božek Miloš: Geometria I, Učebné texty,
FMFI UK, 2004
[2] Hejný Milan, Zaťko Valent, Kršňák Pavel:
Geometria I, SPN Bratislava, 1985
[3] Vranková, E: Geometria I, Pedagogická
fakulta Trnavskej Univerzity,2010
Materiály z týchto prednášok budú umiestnené na:
www.rotacneplochy.sk – Na stiahnutie – FMFI a
PRIF UK – Geometria I
8. 4. 2015
5/15
1. Vektory v geometrii
1.
2.
3.
4.
5.
Orientované úsečky
Vektory
Sčitovanie vektorov
Násobenie vektora reálnym číslom
Alternatívne definície vektora
8. 4. 2015
6/15
1.1 Orientovaná úsečka
8. 4. 2015
7/15
1.1 Orientovaná úsečka
• Každé dve nulové orientované úsečky sú rovnako
orientované,
• Nenulová orientovaná úsečka nikdy nie je rovnako
orientovaná so žiadnou nulovou orientovanou úsečkou.
• Nenulové orientované úsečky AB, CD sú rovnako
orientované :
– ak ležia na jednej priamke, a jedna z polpriamok AB, CD je
časťou druhej.
– ak neležia na jednej priamke, sú rovnobežné, a polroviny ACB
a ACD splývajú.
• Rovnako orientované úsečky - majú rovnaký smer.
8. 4. 2015
8/15
1.2 Vektory
je určený každou orientovanou úsečkou
– Dve orientované úsečky určujú rovnaký vektor, ak majú rovnakú
dĺžku a rovnaký smer.
– Vektor určený (ktoroukoľvek) nulovou úsečkou voláme nulový
vektor.
• Množinu všetkých vektorov priestoru Fn označujeme
symbolom V(Fn).
• Umiestnenie vektora - každá orientovaná úsečka,
ktorá tento vektor určuje.
• Umiestnením vektora do bodu - také jeho
umiestnenie, ktorého prvým krajným bodom je daný bod.
• Vektor je smerovým vektorom priamky (roviny), ak
v nej má umiestnenie. Hovoríme tiež, že takýto vektor je
rovnobežný s priamkou resp. s rovinou.
8. 4. 2015
9/15
1.2 Vektory
• Vektor určený orAB označujeme B  A.
• Platí:
B  A  D  C práve vtedy, keď AB  CD a orAB, orCD majú
rovnaký smer.
orAB je umiestnením vektora B  A do bodu A.
• Vektory budeme označovať
tučnými latinskými písmenami
latinskými písmenami s pruhom
Vektor je množina všetkých navzájom rovnako
dlhých a rovnako orientovaných orientovaných
úsečiek.
8. 4. 2015
10/15
1.2 Vektory
(A1) Pre každý bod A a pre každý vektor u existuje
práve jeden bod B, pre ktorý u  B  A.
– Táto vlastnosť hovorí, že každý vektor možno umiestniť do ľubovoľného
bodu a to jediným spôsobom.
• Bod B z vlastnosti (A1)
– označujeme symbolom A  u.
– Je druhý krajný bod orientovanej úsečky, ktorá je umiestnením
vektora u do bodu A.
– vznikol z bodu A posunutím o vektor u.
• Operácie „súčet bodu s vektorom“ a „rozdiel bodov“ sú
navzájom inverzné: B  A  u  u  B  A.
• Zrejme platí
A  (B  A)  B,
(A  u)  A  u,
A  0  A.
8. 4. 2015
11/15
1.3 Sčitovanie vektorov
Súčet vektorov definujeme: u  v  ((A  u)  v)  A
Dôsledok:
(A  u)  v  A  (u  v).
Označme: B  A  u a C  B  v, potom:
(A2’) Pre všetky body A, B, C platí
C  A  (B  A)  (C  B).
Ďalšie vlastnosti súčtu vektorov
baab
a  (b  c)  (a  b)  c
a0a
a,b,c:
(komutatívny zákon sčitovania vektorov),
(asociatívny zákon sčitovania vektorov),
(0 je neutrálny prvok sčitovania vektorov).
8. 4. 2015
12/15
1.3 Sčitovanie vektorov
(A2) Pre všetky body A, B, C platí
C  A  (C  B)  (B  A).
Dôsledok (A2):
(B  A)  (A  B)  B  B  0,
preto ku každému vektoru a  B  A existuje jednoznačne určený vektor
a  A  B, pre ktorý platí: a  (a)  0.
Vektor –a nazývame opačný vektor k vektoru a.
Zhrnutie: Množina vektorov V(Fn), n  1, 2, 3, spolu s operáciou
sčitovania tvorí komutatívnu grupu.
8. 4. 2015
13/15
1.4 Násobenie vektora reálnym číslom
• Pre nenulový vektor u  B  A a pre nezáporné reálne číslo
k definujeme: ku  C  A,
kde C je bod polpriamky AB, pre ktorý AC  kAB.
• Pre záporné číslo k definujeme ku  (k)(u)
• pre nulové číslo resp. nulový vektor definujeme 0u  k0  0
Pre všetky vektory a, b a pre všetky čísla k, l platí
k(la)  (kl)a,
k(a  b)  ka  kb,
(k  l)a  ka  la,
1a  a.
V(Fn), n  1, 2, 3, je vektorový priestor nad poľom reálnych čísiel.
Dá sa dokázať, že dimV(Fn)  n.
8. 4. 2015
14/15
1.5 Alternatívne definície vektora
Vektor je určený usporiadanou dvojicou bodov: (A, B)  B  A,
pričom dve usporiadané dvojice bodov určujú rovnaký vektor,
ak odpovedajúce orientované úsečky sú rovnako dlhé a
rovnako orientované.
1. Stred dvojice bodov A, B, čo je stred odpovedajúcej úsečky,
označíme S(A,B). Zrejme platí S(A,B)  A  ½(B  A) .
Usporiadané dvojice bodov (A, B) a (C, D) určujú ten istý vektor práve
vtedy, keď dvojice bodov (A, D) a (B, C) majú rovnaký stred, teda
B  A  D  C  S(A,D)  S(B,C).
O takých dvojiciach bodov hovoríme, že sú ekvipolentné. Teda dve
usporiadané dvojice bodov určujú ten istý vektor, keď sú ekvipolentné.
8. 4. 2015
15/15
1.5 Alternatívne definície vektora
2. Posunutie určené dvojicou bodov (A,B) označujeme tAB. Je to
(jediné) posunutie, v ktorom sa bod A zobrazuje do bodu B.
Usporiadané dvojice bodov (A, B), (C, D) určujú ten istý vektor práve
vtedy, keď určujú to isté posunutie, teda
B  A  D  C  tAB  tCD.
V tomto prístupe vektory stotožňujeme s posunutiami. Posunutia sú
zobrazenia z Fn do Fn, preto ich môžeme skladať. Pritom zloženie
posunutí odpovedá súčtu vektorov:
Ak u  tAB a v  tBC, tak u  v  tAC  tBC ◦ tAB.
(Zobrazenia skladáme sprava doľava, čiže tBC ◦ tAB (X)  tBC (tAB(X)).)
3. Iná charakterizácia vektora posunutiami: Usporiadané dvojice
bodov (A, B) a (C, D) určujú ten istý vektor práve vtedy, keď bod D je
obrazom bodu B v posunutí tAC.
Ďakujem za pozornosť
Nasleduje cvičenie...