Slide 1

OSNOVNE OPERACIJE
SA VEKTORIMA

Miloš Prelić


Slide 2

Treba da naučimo








Šta su vektori a šta skalari
Jednakost vektora
Sabiranje (slaganje) vektora
Da li je uvek 1+1 = 2 ???
Oduzimanje vektora
Razlaganje vektora


Slide 3

Šta su vektori, šta skalari ?




Vektori su fizičke veličine koje su određene
vrednošću, pravcem i smerom. Takve
veličine su: brzina, ubrzanje, sila, moment
sile itd.
Vektori se grafički predstavljaju strelicom

F


Veličine koje su određene samo brojnom
vrednošću, zovu se skalari. To su: masa,
vreme, pređeni put i td.


Slide 4

Jednakost vektora


Vektori su jednaki samo ako su im
jednaki svi parametri koji ih definišu, tj
ako imaju isti pravac, isti smer i istu
vrednost.

Jednaki vektori

Različiti vektori


Slide 5

Sabiranje (slaganje) vektora


1. Metoda paralelograma
(samo za 2 vektora)

R=a+b
VAŽNO: Kod ove

b
a

metode vektori se
moraju dovesti na
zajednički početak


Slide 6

Primer sabiranja vektora


Ako sanke vuku dva dečaka različitih godina (a time
i različim silama) iz iskustva znamo da će se sanke
kretati pravcem koji je bliži pravcu vučenja jačeg
dečaka. Tako je zapravo i primećeno da se vektori
sabiraju na specifičan način.

sanke


Slide 7

Sabiranje (slaganje) vektora
2. Metoda nadovezivanja
( za proizvoljan broj vektora)



b
a

c

R=a+b+c

a

VAŽNO: U ovom slučaju na kraj

b

jednog vektora se dodaje početak
drugog i sve tako dok se svi vektori
ne slože

c


Slide 8

Oduzimanje vektora




Oduzimanje nije neka nova operacija, već se
svodi na sabiranje, s tim što se vektorima
ispred kojih stoji znak minus menja smer.
Primer: a + b – c = ?

a
c
-c

b

R = a+b-c


Slide 9

Kad je zbir vektora najveći, a
kad je najmanji ?




Zbir vektora je najveći kada su vektori sa istim
pravcem i smerom i samo tada je sabiranje
vektora identično sa sabiranjem brojeva. Tj samo
tada može biti 1+1 = 2
Zbir vektora je najmanji kada vektori imaju isti
pravac a suprotan smer, tj može biti i 1 + 1 = 0

a
c

a

b

b
d

R
d
R

c


Slide 10

Razlaganje vektora


Pri slaganju vektora, od dva vektora smo pravili jedan. Kod
razlaganja vektora je obrnuto – od jednog vektora treba da
dobijemo dva. Pravci na koje razlažemo vektore mogu biti
proizvoljni a često moramo da sledimo prirodu, tj da gledamo
kako to ona radi (kao što je primer strme ravni).
Fs – komponenta težine koja tera telo niz strmu ravan
N – komponenta težine koja utiče na ugibanje strme ravni

1
F1

F

F2

2

mg


Slide 11

Mogu li se od jedne male sile
dobiti dve velike ?




Da, mogu. To je pokazano na donjem
primeru gde se vidi da su te dve sile skoro
pod uglom od 180 stepeni.
Npr ako u zategnut konopac guramo silom F
dobijamo dve komponente F1 i F2 koje su
neuporedivo veće od sile guranja F
F1

F

F2


Slide 12

Da li je ovo sve?







Ne, nije. Postoji još operacija sa vektorima,
ali su one komplikovanije i ređe u upotrebi.
Tako imamo dve vrste proizvoda vektora:
1. skalarni proizvod
2. vektorski proizvod
Rezultat skalarnog proizvoda dva vektora je
skalar, pa otuda i takvo ime
Rezultat vektorskog proizvoda dva vektora
je vektor


Slide 13

I na kraju...










Šta su vektori a šta
skalari?
Jednakost vektora

Vektori su veličine određene vrednošću,
pravcem i smerom. Skalari su veličine
određene samo brojnom vrednošću

Sabiranje (slaganje)
vektora

Vektori se mogu sabrati metodom
paralelograma i metodom nadovezivanja
(poligona)

Oduzimanje vektora

Oduzimanje nije neka nova operacija,
već se svodi na sabiranje, s tim što se
vektorima ispred kojih stoji znak minus
menja smer.

Razlaganje vektota

Vektori su jednaki samo ako su im
jednaki svi parametri koji ih definišu, tj
ako imaju isti pravac, isti smer i istu
vrednost.

Pri slaganju vektora, od dva vektora smo
pravili jedan. Kod razlaganja vektora je
obrnuto – od jednog vektora treba da
dobijemo dva.