Document 1162022
Download
Report
Transcript Document 1162022
Výukový materiál zpracován v rámci projektu
EU peníze školám
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208
Šablona:
III/2
č. materiálu:
VY_32_INOVACE_112
Jméno autora:
Mgr. Iva Vrbová
Třída/ročník:
3.E/ třetí ročník
Datum vytvoření:
2. 2. 2013
Vzdělávací oblast:
Člověk a logické myšlení
Tematická oblast:
Posloupnosti
Předmět:
Matematika
Název učebního materiálu:
Aritmetická posloupnost – příklady III.
Výstižný popis způsobu
využití, případně metodické
pokyny:
Prezentace obsahuje řešené příklady i
zadání příkladů pouze s výsledky pro
samostatné procvičení.
Klíčová slova:
Druh učebního materiálu:
Aritmetická posloupnost
prezentace
AP – příklady se zamyšlením:
Určete součet prvních sto přirozených čísel, jejichž
zbytek po dělení číslem pět je jedna.
0 5 1 1
1 5 1 6
2 5 1 11
a1 1
a2 6
a3 11
s100 50 a1 a100
s100 50 1 496
s100 24 850
d 5
a100 a1 99d
a100 1 99 5
a100 496
Sto členů dané AP dává součet 24 850.
Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel.
a1 10
a2 11
a3 12
d 1
poslední dvojciferné číslo:
an 99
an a1 n 1d
10 n 1 1 99
10 n 1 99
n 90
?
n
sn a1 an
2
s90 45 a1 a90
s90 45 10 99
s90 4 905
Součet všech přirozených dvojciferných čísel je 4 905.
Určete součet všech přirozených trojciferných čísel,
která končí číslicí 6.
a1 106
a2 116 d 10
a3 126
poslední číslo dané vlastnosti:
an 996
an a1 n 1d
106 n 1 10 996
?
n
sn a1 an
2
s90 45 a1 a90
s90 45 106 996
s90 49 590
106 10n 10 996
n 90
Čísla daných vlastností dávají součet 49 590.
Určete součet všech přirozených čísel, která jsou
dělitelná číslem 7 a přitom jsou větší než 1 000, ale
zároveň jsou také menší než 1 500.
a1 1000 : 7 142,8 143 7 1 001
a2 1 008
d 7
a3 1 015
a n 1500 : 7 214,2 214 7 1 498
1001 n 1 7 1498
1001 7n 7 1498
7n 504
n 72
s72 36 a1 a72
s72 36 1001 1498
s72 89 964
Čísla daných vlastností dávají součet 89 964.
Určete součet všech trojciferných přirozených čísel,
která jsou dělitelná číslem 9.
a1 100 : 9 11,1 12 9 108
a2 117
a3 126
a n 999
108 n 1 9 999
108 9n 9 999
9n 900
n 100
d 9
s100 50 a1 a100
s100 50 108 999
s100 55 350
Čísla daných vlastností dávají součet 55 350.
Mezi čísla – 5 a 20 vložte 4 čísla tak, aby s danými
čísly tvořila AP.
a1 5
x
x
x
4 čísla, která hledáme
x
a6 20
Hledanou čtveřici tvoří čísla:
a6 a1 5d
20 5 5d
25 5d
5d
0; 5; 10; 15.
Mezi kořeny rovnice x2 – 34x + 64 = 0 vložte 9 čísel
tak, aby s kořeny rovnice tvořila AP.
x 2 34 x 64 0
x 2 x 32 0 x1 2; x2 32
a1 2
a11 a1 10d
9 čísel, která hledáme
a11 32
32 2 10d
30 10d
3d
Hledaných devět čísel tvoří množinu:
5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29.
Kolik členů AP: a1 = 30, d = –5 musíme sečíst, aby
byl součet –17 325.
an a1 n 1d
?
an 30 n 1 5
n
sn a1 an
an 30 5n 5
2
an 35 5n
n
17325 30 35 5n / 2
2
34650 n 65 5n
2
34650 65n 5n / : 5
n 2 13n 6930 0 D 27889 , D 167
13 167 n1 90 N
n1, 2
2
n2 77 N
Je třeba sečíst prvních 90 členů dané posloupnosti.
Kolik členů AP: a4 = 16, a8 = 24 musíme sečíst, aby
byl součet 90.
a a 4d a a 3d
8
?
24 16 4d
8 4d
2d
n
sn a1 an
2
n
90 10 8 2n / 2
2
180 n 18 2n
180 18n 2n 2 / : 2
0 n 2 9n 90
0 n 6n 15
6 N
4
4
1
16 a1 6
10 a1
an a1 n 1d
an 10 n 1 2
an 10 2n 2
an 8 2n
15 N
Je třeba sečíst prvních 6 členů dané posloupnosti.
Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří
AP, přičemž delší z odvěsen měří
12 cm. Vypočtěte zbylé strany, obvod a
obsah trojúhelníka.
Strany
Pro
rostoucí
trojúhelníka
kteráAP
tvoří
je AP,
diference
obvykle
nejlépe
značíme:
kladná,
vyjádříme
proto
a, b,zafixováním
seřadíme
c, ale protože
stranytvoří
oTrojici,
a b c a1 a 2 a3
AP, přejdeme
nejlépe
prostředního
od nejkratší
(druhého)
ke značení:
(kratší
členu
az1, odvěsen)
a–2,viz
a3.zadání,
po nejdelší
protože(přepona).
první pak
a
a
adiferenci
b
1
2 poslední (třetí) o diferenci větší.
bude
o
menší,
S
Nejprve musíme ovšem určit
2
2
délky
PV : stran,
a 12 pro
a 22 které
a 32platí
nejdelší = přepona
a 3 12 d 15
Pythagorova věta:
12 d
2
12 12 d
2
2
144 24d d 144 144 24d d
2
a 2 12
144 48d
d 3
o 9 12 15 36
9 12
a1 12 d 9
S
54
nejkratší = kratší z odvěsen
2
Strany trojúhelníka mají délky 9 cm, 12 cm, 15 cm.
Obvod trojúhelníka je 36 cm, obsah 54 cm2.
2
Příklady pro samostatné řešení
Aritmetická posloupnost
V které AP o deseti členech je součet prostředních
dvou členů 55 a součin krajních členů 250?
AP1: a1 = 50, d = –5;
AP2: a1´ = 5, d´ = 5
Určete AP, v níž 5a2 + 7a5 = 90 a součet prvních tří
členů je dvanáct.
AP: a1 = 2, d = 2
Určete AP, v níž prvních pět členů dává součet 30 a
součet jejich čtverců je 220.
AP1: a1 = 2, d = 2;
AP2: a1´ = 10, d´ = –2
V pětičlenné AP je součin druhého a čtvrtého členu
roven osmi pětinám součinu krajních členů. Součet
druhých mocnin všech členů je 220. Určete tuto
posloupnost.
AP1: a1 = 2, d = 2,
AP2: a1´ = –2, d´ = –2
AP3: a1´´ = 10, d´´ = –2, AP4: a1´´´ = –10, d´´´ = 2
V AP 30, 27, 24, ... najděte člen, který se rovná
jedné osmině součtu všech předcházejících členů.
a6 = 15; a33 = –66
Železné roury jsou srovnány v 10 řadách nad sebou
tak, že vrchní řada má 15 trubek a každá další řada
o 1 více. Kolik je všech trubek?
195 kusů
Teplota Země přibývá o 1 °C na 33 m. Jak velká je
teplota v šachtě hluboké 1015 m, je-li v hloubce 25
m stálá teplota +9 °C ?
Návod: Teplota tvoří pořadí členů, hloubka
šachty jejich hodnotu.
+39 °C
Mezi kořeny rovnice x2 + x – 12 = 0 vložte
13 čísel tak, aby s kořeny rovnice tvořila prvních
patnáct členů AP.
5
3
1
1 3
5
7
; 3; ; 2; ; 1; ; 0; ; 1; ; 2;
2
2
2
2 2
2
2
Který člen posloupnosti přirozených čísel se rovná
součtu všech předcházejících členů?
Návod: Uvědomte si nejprve vše, co znáte o
posloupnosti přirozených čísel.
a3 = 3
Určete rozměry kvádru, které tvoří tři po sobě
jdoucí členy AP a jejichž součet je 18 cm, je-li
objem kvádru 120 cm3.
2 cm; 6 cm; 10 cm nebo 10 cm; 6 cm; 2 cm
Určete strany obecného trojúhelníka, které se dají
vyjádřit třemi po sobě jdoucími přirozenými čísly,
je-li obsah trojúhelníka 6 6 cm 2 .
Návod: Pro vyjádření obsahu trojúhelníka použijte
Heronův vzorec.
5 cm; 6 cm; 7 cm
Použitá literatura:
ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a
finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005.
ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 21–30
JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M.
Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd.
Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5,
s. 131–138