Transcript Document 1162022

Výukový materiál zpracován v rámci projektu
EU peníze školám
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208
Šablona:
III/2
č. materiálu:
VY_32_INOVACE_112
Jméno autora:
Mgr. Iva Vrbová
Třída/ročník:
3.E/ třetí ročník
Datum vytvoření:
2. 2. 2013
Vzdělávací oblast:
Člověk a logické myšlení
Tematická oblast:
Posloupnosti
Předmět:
Matematika
Název učebního materiálu:
Aritmetická posloupnost – příklady III.
Výstižný popis způsobu
využití, případně metodické
pokyny:
Prezentace obsahuje řešené příklady i
zadání příkladů pouze s výsledky pro
samostatné procvičení.
Klíčová slova:
Druh učebního materiálu:
Aritmetická posloupnost
prezentace
AP – příklady se zamyšlením:

Určete součet prvních sto přirozených čísel, jejichž
zbytek po dělení číslem pět je jedna.
0  5 1 1
1 5  1  6
2  5  1  11
 a1  1
 a2  6
 a3  11

s100  50  a1  a100 
s100  50  1  496 
s100  24 850
d 5
a100  a1  99d
a100  1  99  5
a100  496
Sto členů dané AP dává součet 24 850.

Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel.
a1  10
a2  11
a3  12

 d 1
poslední dvojciferné číslo:
an  99
an  a1  n  1d
10  n  1 1  99
10  n  1  99
n  90
?
n
sn   a1  an 
2
s90  45  a1  a90 
s90  45  10  99 
s90  4 905
Součet všech přirozených dvojciferných čísel je 4 905.

Určete součet všech přirozených trojciferných čísel,
která končí číslicí 6.
a1  106
a2  116  d  10
a3  126

poslední číslo dané vlastnosti:
an  996
an  a1  n  1d
106  n  1 10  996
?
n
sn   a1  an 
2
s90  45  a1  a90 
s90  45  106  996 
s90  49 590
106  10n  10  996
n  90
Čísla daných vlastností dávají součet 49 590.

Určete součet všech přirozených čísel, která jsou
dělitelná číslem 7 a přitom jsou větší než 1 000, ale
zároveň jsou také menší než 1 500.
a1  1000 : 7  142,8  143  7  1 001
a2  1 008
d 7
a3  1 015

a n  1500 : 7  214,2  214  7  1 498
1001  n  1  7  1498
1001  7n  7  1498
7n  504
n  72
s72  36  a1  a72 
s72  36  1001  1498 
s72  89 964
Čísla daných vlastností dávají součet 89 964.

Určete součet všech trojciferných přirozených čísel,
která jsou dělitelná číslem 9.
a1  100 : 9  11,1  12  9  108
a2  117
a3  126

a n  999
108  n  1  9  999
108  9n  9  999
9n  900
n  100
d 9
s100  50  a1  a100 
s100  50  108  999 
s100  55 350
Čísla daných vlastností dávají součet 55 350.

Mezi čísla – 5 a 20 vložte 4 čísla tak, aby s danými
čísly tvořila AP.
a1  5
x
x
x
4 čísla, která hledáme
x
a6  20
Hledanou čtveřici tvoří čísla:
a6  a1  5d
20  5  5d
25  5d
5d
0; 5; 10; 15.

Mezi kořeny rovnice x2 – 34x + 64 = 0 vložte 9 čísel
tak, aby s kořeny rovnice tvořila AP.
x 2  34 x  64  0
x  2  x  32   0  x1  2; x2  32
a1  2

a11  a1  10d
9 čísel, která hledáme
a11  32
32  2  10d
30  10d
3d
Hledaných devět čísel tvoří množinu:
5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29.

Kolik členů AP: a1 = 30, d = –5 musíme sečíst, aby
byl součet –17 325.
an  a1  n  1d
?
an  30  n  1   5
n
sn   a1  an 
an  30  5n  5
2
an  35  5n
n
 17325   30  35  5n  / 2
2
 34650  n  65  5n 
2
 34650  65n  5n / : 5
n 2  13n  6930  0 D  27889 , D  167
13  167 n1  90  N
n1, 2 
2
n2  77 N
Je třeba sečíst prvních 90 členů dané posloupnosti.

Kolik členů AP: a4 = 16, a8 = 24 musíme sečíst, aby
byl součet 90.
a  a  4d a  a  3d
8
?
24  16  4d
8  4d
2d
n
sn   a1  an 
2
n
90   10  8  2n  / 2
2
180  n  18  2n 
180  18n  2n 2 / : 2
0  n 2  9n  90
0  n  6n  15
6 N
4
4
1
16  a1  6
10  a1
an  a1  n  1d
an  10  n  1  2
an  10  2n  2
an  8  2n
 15 N
Je třeba sečíst prvních 6 členů dané posloupnosti.

Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří
AP, přičemž delší z odvěsen měří
12 cm. Vypočtěte zbylé strany, obvod a
obsah trojúhelníka.
Strany
Pro
rostoucí
trojúhelníka
kteráAP
tvoří
je AP,
diference
obvykle
nejlépe
značíme:
kladná,
vyjádříme
proto
a, b,zafixováním
seřadíme
c, ale protože
stranytvoří
oTrojici,
  a  b  c  a1  a 2  a3
AP, přejdeme
nejlépe
prostředního
od nejkratší
(druhého)
ke značení:
(kratší
členu
az1, odvěsen)
a–2,viz
a3.zadání,
po nejdelší
protože(přepona).
první pak
a

a
adiferenci
b
1
2 poslední (třetí) o diferenci větší.
bude
o
menší,

S 
Nejprve musíme ovšem určit
2
2
délky
PV : stran,
a 12  pro
a 22 které
 a 32platí
nejdelší = přepona
a 3  12  d  15
Pythagorova věta:
12  d 
2
 12  12  d 
2
2
144  24d  d  144  144  24d  d
2
a 2  12
144  48d
d 3
o  9  12  15  36
9  12
a1  12  d  9
S 
 54
nejkratší = kratší z odvěsen
2
Strany trojúhelníka mají délky 9 cm, 12 cm, 15 cm.
Obvod trojúhelníka je 36 cm, obsah 54 cm2.
2
Příklady pro samostatné řešení
 Aritmetická posloupnost

V které AP o deseti členech je součet prostředních
dvou členů 55 a součin krajních členů 250?
AP1: a1 = 50, d = –5;

AP2: a1´ = 5, d´ = 5
Určete AP, v níž 5a2 + 7a5 = 90 a součet prvních tří
členů je dvanáct.
AP: a1 = 2, d = 2

Určete AP, v níž prvních pět členů dává součet 30 a
součet jejich čtverců je 220.
AP1: a1 = 2, d = 2;
AP2: a1´ = 10, d´ = –2

V pětičlenné AP je součin druhého a čtvrtého členu
roven osmi pětinám součinu krajních členů. Součet
druhých mocnin všech členů je 220. Určete tuto
posloupnost.
AP1: a1 = 2, d = 2,
AP2: a1´ = –2, d´ = –2
AP3: a1´´ = 10, d´´ = –2, AP4: a1´´´ = –10, d´´´ = 2

V AP 30, 27, 24, ... najděte člen, který se rovná
jedné osmině součtu všech předcházejících členů.
a6 = 15; a33 = –66

Železné roury jsou srovnány v 10 řadách nad sebou
tak, že vrchní řada má 15 trubek a každá další řada
o 1 více. Kolik je všech trubek?
195 kusů

Teplota Země přibývá o 1 °C na 33 m. Jak velká je
teplota v šachtě hluboké 1015 m, je-li v hloubce 25
m stálá teplota +9 °C ?
Návod: Teplota tvoří pořadí členů, hloubka
šachty jejich hodnotu.
+39 °C

Mezi kořeny rovnice x2 + x – 12 = 0 vložte
13 čísel tak, aby s kořeny rovnice tvořila prvních
patnáct členů AP.
5
3
1
1 3
5
 7
 ;  3;  ;  2;  ;  1;  ; 0; ; 1; ; 2; 
2
2
2
2 2
2
 2

Který člen posloupnosti přirozených čísel se rovná
součtu všech předcházejících členů?
Návod: Uvědomte si nejprve vše, co znáte o
posloupnosti přirozených čísel.
a3 = 3

Určete rozměry kvádru, které tvoří tři po sobě
jdoucí členy AP a jejichž součet je 18 cm, je-li
objem kvádru 120 cm3.
2 cm; 6 cm; 10 cm nebo 10 cm; 6 cm; 2 cm

Určete strany obecného trojúhelníka, které se dají
vyjádřit třemi po sobě jdoucími přirozenými čísly,
je-li obsah trojúhelníka 6 6 cm 2 .
Návod: Pro vyjádření obsahu trojúhelníka použijte
Heronův vzorec.
5 cm; 6 cm; 7 cm
Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a
finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005.
ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 21–30

JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M.
Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd.
Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5,
s. 131–138