Transcript cw05 - předn - teorie front a HO

Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb
Fakulta stavební VUT v Brně
CW – 05
TEORIE ROZHODOVACÍCH
PROCESŮ
19. PŘEDNÁŠKA
Teorie front – HO
Březen 2014
© Ing. Václav Rada, CSc.
Teorie front - HO
….. další oblastí jsou
SYSTÉMY
HROMADNÉ
OBSLUHY –
teorie front
březen 2014
Teorie front - HO
Zkoumají se systémy, ve kterých dochází k
realizaci obsluhy požadavků přicházejících
do systému na obslužných zařízeních
(linkách, stanicích).
Ty mají omezenou kapacitu obsluhy.
Požadavky vstupují do systému s různou
intenzitou.
březen 2014
Teorie front - HO
V závislosti na vztahu kapacity obslužných
zařízení a intenzity příchodu požadavku
muže docházet před obslužnými linkami k
hromadění požadavku, k vytváření front.
Odtud alternativní název této disciplíny
teorie front
březen 2014
Teorie front - HO
Úvodem trochu o jiném:
Multiagentní sociální simulace
někdy také
Multiagentní modely sociálních organizací
(Agent Based Social Simulation (ABSS))
je vědecká disciplína zabývající se simulacemi sociálních fenoménů prostřednictvím
multiagentních modelů za využití počítačů.
březen 2012
Teorie front - HO
Multiagentní sociální simulace (ABSS)
vznikají jako kombinace tří vědeckých
přístupů:
- sociálních věd
- počítačového simulování
- multiagentních simulací (MAS).
březen 2012
Teorie front - HO
Princip multiagentní simulace spočívá ve
využití tzv. agentů, což jsou (v tomto přípa-dě
softwarové a typicky také heterogenní)
autonomní entity s relativně jednoduchým
chováním, reprezentující reálné jednotky sledovaného systému, situované do definovaného kontextu prostředí, ve kterém jednají a
reagují (zpravidla agenti reagují mezi sebou
skrze prostředí, kterému se mohou v čase
adaptovat).
březen 2012
Teorie front - HO
Několik vysvětlujících poznámek
Jinými slovy jde o obor využívající multiagentní modelování k sociálním simulacím.
Lidský jedinec je modelován jako agent,
implementovaný většinou v podobě softwarového agenta.
Agent či agentka (franc. činitel, jednatel, pověřenec,
z lat. agere, jednat, působit) *** ** agent (teorie
systémů) – celek schopný samostatného jednání v
závislosti na okolních podnětech.
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Multiagentní systém
(Multi-agent system = MAS)
je simulované prostředí se síťovým charakterem, v němž
dochází k interakci určitých typů aktérů (agentů) mezi
sebou a/nebo s prostředím, ve kterém se nacházejí.
Agenti řeší společně problémy, které přesahuji možnosti a
znalosti každého z nich.
(WIKIPEDIA)
březen 2014
Teorie front - HO
Multiagentní modelování
je jednou z výpočetních forem vědeckého modelování,
kterou umožnil až rozvoj moderní výpočetní techniky
především v posledních dvou desetiletích 20. století.
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Multiagentní modely
tedy výstupy modelovacích činností, spadající do obecnější
kategorie multiagentních systémů, slouží především
k simulaci komplexních systémů v různých
zájmových oblastech (ekonomie, biologie, sociální
vědy), které jsou jinými způsoby výzkumu těžko uchopitelné.
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Tímto prostředím mohou být různé formy sítí a mřížek,
vybrané podle sledovaného cíle a zvolených předpokladů,
které by měly odpovídat simulované realitě.
Simulace je pak spuštěna a sledována v
diskrétním čase.
A v každém časovém kroku se vyhodnocuje chování všech
agentů a stav prostředí v závislosti na jejich výchozích parametrech, případně jsou parametry ovlivňovány přímo v
průběhu simulace.
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Toto modelování je tzv. bottom-up = přístup tvorby „odspoda
nahoru“ (z mikro na makro úroveň) – tj., že místo předem plánovaného chování modelu systému jako celku může z poměrně jednoduchého chování množství agentů dojít k emergenci
neplánovaného globálního chování, které se jeví jako cílově
orientované (někdy označováno jako reaktivní plánování).
Emergence (z lat. e-mergere, vynořovat se, vyvstávat) znamená spontánní vznik makroskopických vlastností a struktur
složitých systémů = nesnadné odvození z vlastností složek
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Jednou z hlavních výhod multiagentního modelování je fakt,
že (na rozdíl od klasických analytických modelů) umožňuje
simulaci včetně sledování vývoje systému.
Analytické modely sestávají především z diferenčních a diferenciálních rovnic, které popisují systém jako celek – s jejich
pomocí jsou hledány rovnovážné body.
V případě multiagentních modelů je možné sledovat také
trajektorii systému vypovídající mnohem více i o chování.
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
Možnosti využití multiagentních modelů u systémů:
- které nemají rovnovážné stavy, tedy ani analytické řešení,
případně tam, kde by musel být systém popsán řádově příliš
mnoha rovnicemi na to, aby je bylo možné vyřešit.
- které lze popsat a řešit analyticky a multiagentní model se
stává pouze doplňkovým nástrojem, sloužícím k ověření a
prezentaci výsledků, získaných klasickým způsobem
- kdy sice můžeme získat klasickými metodami rovnovážné
stavy, ale z hlediska zkoumání nás více zajímá samotná
dynamika systému - můžeme tak lépe objasnit strukturu
stavového prostoru
(WIKIPEDIA)
březen 2012
Teorie front - HO
březen 2011
Teorie front - HO
Schéma
multiagentní
sociální
simulace
březen 2011
Teorie front - HO
A jak to souvisí s tématem Teorie front –
Hromadné ovládání ….. ?
mimo klasické, že VŠE souvisí se VŠÍM,
…….. tak pro svou ujasněnou koncepci
a systémovost při tvorbě a používání
modelů i simulací.
březen 2014
Teorie front - HO
Takže se vraťme „ke kořenům“ …….
k teorii front
a k hromadné obsluze
co přináší a jak s ní pracovat …….
A začneme s jejím
klasickým zobrazením
březen 2014
Teorie front - HO
Cílem zkoumání systémů hromadné obsluhy
(HO) jsou systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavků vstupujících do systému s různou intenzitou a přicházejících
do systému obslužných zařízení (linky, stanice) s omezenou kapacitou obsluhy.
V závislosti na vztahu kapacity obslužných
zařízení a intenzity příchodu požadavků
může docházet před obslužnými linkami k
hromadění požadavků = k vytváření front.
březen 2013
Teorie front - HO
Cílem zkoumání systému hromadné obsluhy
(HO) je jejich analýza s ohledem na efektivní
fungování systému, tj. aby se před obslužnými linkami nevytvářely příliš velké fronty
čekajících požadavku a na druhé straně, aby
nedocházelo k prostojům obslužných linek.
V některých případech lze prostoje linek/stanic, jejich provoz nebo i čekání požadavků
nákladově ohodnotit.
březen 2013
Teorie front - HO
Pak lze celý systém optimalizovat vzhledem
k jeho celkovým nákladům.
březen 2010
Teorie front - HO
březen 2010
Schéma systému hromadné obsluhy
Teorie front - HO
fáze 1
zdroj
požadavků
fáze 2
μ0
μ0
λ0
systém hromadné obsluhy – vícefázový
- paralelní kanály obsluhy
březen 2010
Teorie front - HO
Příklady systémů hromadné obsluhy
systém
ordinace
banka
hypermarket
benzínová pumpa
telefonní centrála
výrobní hala
podniková údržba
březen 2011
obslužné linky
lékař
úředníci
pokladny
čerpací stojany
telefonní linky
výrobní linky
údržbáři
požadavky
pacienti
klienti
zákazníci
vozidla
volající
výrobky
stroje
Teorie front - HO
Prvky charakterizující systémy hromadné
obsluhy
Zdroj požadavku
Příchod požadavku do systému
Doba trvání obsluhy
Sít obslužných linek
Režim fronty
březen 2010
Teorie front - HO
Zdroj požadavku
Např. u lékaře v nemocnici nebo v hypermarketu je počet pacientu nebo zákazníku
sice konečný, ale vzhledem k tomu, že se
jedná o stovky nebo dokonce o tisíce, považujeme jej za neohraničený.
Naopak, má-li např. nějaká firma 10 strojů,
které je třeba udržovat a opravovat, je zdroj
požadavku ohraničený.
březen 2010
Systém HO
Příchod požadavku do systému
Příchody lze popsat
- buď pomocí intenzity příchodu (počet požadavku, které do systému přijdou za časovou
jednotku),
- nebo pomocí intervalu mezi příchody (čas
mezi dvěma po sobe následujícími příchody).
Obě veličiny spolu úzce souvisejí.
březen 2010
Systém HO
Základní příklad:
pokud přijde do systému za hodinu průměrně 10 požadavků,
pak průměrný interval mezi příchody
je 1/10 hodiny = 6 minut.
březen 2010
Systém HO
Veličiny mohou být
– deterministické = intervaly jsou stále
stejné, např. u automatické výrobní linky
lze fixní intervaly zabezpečit
– stochastické = intervaly jsou proměnlivé,
ostatní příklady, kdy fixní časy zabezpečit
nelze.
březen 2010
Systém HO
Určení pravděpodobnostního rozdělení
intervalu mezi příchody je nezbytné provádět na základě statistické analýzy empirických dat.
V mnoha praktických aplikacích vyhovuje
exponenciální rozdělení charakterizované
jediným parametrem.
březen 2010
Systém HO – matematické připomenutí
Několik dalších vysvětlujících poznámek
Rozdělení pravděpodobnosti lze chápat
jako zobrazení, které každému elementárnímu jevu přiřazuje určité reálné číslo, které
charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.
Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo,
které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu.
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti
Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady:
- všech možných výsledků je konečný počet
- všechny výsledky jsou stejně možné
- všechny výsledky se vzájemně vylučují.
Laplace uvedenou definici předložil jen jako jednoduchý a
názorný zvláštní případ výpočetu hodnoty pravděpodobnosti.
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Rozdělení pravděpodobnosti je funkce,
která přiřazuje pravděpodobnosti událostem
nebo tvrzením.
Pro každou sadu událostí existuje mnoho
způsobů, jak přiřadit pravděpodobnost,
takže výběr rozdělení odpovídá různým
předpokladům o události.
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Pravděpodobnost události se obecně
označuje reálným číslem od 0 do 1.
Událost, která nemůže nastat, má
pravděpodobnost 0, a naopak jistá událost má
pravděpodobnost 1.
Někdy se kvůli názornosti pravděpodobnost uvádí
v procentech, tedy setinách klasického vyjádření.
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Existuje několik způsobů, jak vyjádřit
rozdělení pravděpodobnosti.
Nejobvyklejší je uvést hustotu rozdělení
pravděpodobnosti; samotná pravděpodobnost jevu se pak získá integrací funkce
hustoty.
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Důležitá diskrétní rozdělení jsou například
rozdělení:
jednoduché, Poissonovo, binomické, negativní binomické a Maxwellovo–Boltzmannovo.
Mezi důležitá spojitá rozdělení patří:
normální, gama, Studentovo a exponenciální
(které je bráno, jako nejvhodnější).
březen 2013
Systém HO – matematické připomenutí
Exponenciální rozdělení vyjadřuje čas mezi
náhodně se vyskytujícími událostmi.
Spojitá náhodná proměnná X má exponenciálně
rozdělení s parametrem λ > 0 právě tehdy, jestliže
její hustota pravděpodobnosti má následující tvar:
Označujeme:
Střední hodnota
Rozptyl
březen 2012
Systém HO
Pro základní příklad:
Střední hodnota
E(X) = 1 / λ
bude pro 6 minut E(X) = 1/10 hodiny
a pak λ = 10 je střední počet požadavků,
které přijdou do systému za časovou jednotku
Parametr charakterizuje intenzitu příchodu
požadavků do systému.
březen 2010
Systém HO
Pro základní příklad:
Pravděpodobnost, že interval mezi příchody
bude kratší než t, je hodnota distribuční funkce exponenciálního rozdělení v bodě t :
P(X  t) = F(t) = 1 − exp(− λ*t)
březen 2013
Systém HO – matematické připomenutí
Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má
náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů
málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém
časovém, resp. objemovém intervalu.
Lze pro všechny hodnoty x = 0,1,2,... náhodné
veličiny vyjádřit pomocí parametru λ > 0 jako
Střední hodnota
Rozptyl
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Normální (nebo Gaussovo nebo je označováno jako zákon chyb ) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších - za určitých
podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).
S parametry μ a σ2, pro
a σ2 > 0, je
pro
definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Normální rozdělení se většinou značí
Rozdělení
bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální
rozdělení.
S parametry μ a σ2, pro
a σ2 > 0, je
pro
definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce.
Střední hodnota
Rozptyl
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Normální rozdělení - Gaussova funkce
Gaussův graf hustoty normálního rozdělení pravděpodobnosti
březen 2012
Systém HO – matematické připomenutí
Normální rozdělení - Gaussova funkce
březen 2012
Grafy hustot
Systém HO – matematické připomenutí
Normální rozdělení - Gaussova funkce
březen 2012
Grafy distribučních funkcí
Systém HO – matematické připomenutí
Střední hodnota
E(X) = 1/ λ
např. 6 minut = 1/10 hodiny,
pak λ = 10 je střední počet požadavků, které
přijdou do systému za časovou jednotku.
Střední hodnota E(X) charakterizuje intenzitu
příchodu požadavků do systému.
březen 2013
Systém HO – matematické připomenutí
Pravděpodobnost, že interval mezi příchody
bude kratší než t, je hodnota distribuční
funkce exponenciálního rozdělení v bodě t:
P(X ≤ t) = F(t) = 1 − exp(−λ*t)
březen 2013
Systém HO – matematické připomenutí
Např.:
pravděpodobnost, že interval mezi dvěma
příchody bude kratší než
3 minuty = 1/20 hodiny
P(X ≤ 1/20) = 1 − exp(−10 * 1/20 )
= 1 − exp(−0,5) = 0,3935
Pravděpodobnost má tedy hodnotu 0,3935.
březen 2013
Systém HO
Doba trvání obsluhy
Je také deterministická nebo stochastická.
Nejčastěji se používá exponenciální rozdělení s parametrem μ.
Střední doba trvání obsluhy je 1/μ.
μ je intenzita obsluhy = průměrný počet
obsloužených požadavku za časovou jednotku, předpokládáme-li, že linka je plně
vytížena.
březen 2013
Systém HO
Doba trvání obsluhy
Pravděpodobnost, že v systému není žádný
požadavek, tj., že linka není využita
p0 = 1 − λ / μ
Pravděpodobnost, že v systému je alespoň
jeden požadavek (a linka je tedy využita),
je
p=λ/μ
což popisuje intenzitu provozu systému.
březen 2013
Systém HO
Hodnota p popisuje intenzitu provozu
systému - současně udává pravděpodobnost, že požadavek, který přijde do systému,
bude muset čekat na obsluhu ve frontě.
Pravděpodobnost, že v systému je právě n
požadavků, jeden je obsluhován a n−1 čeká
ve frontě
pn = p0 * ρn = (1 − ρ) * ρ n
březen 2013
Systém HO
Průměrný čas, který požadavek tráví v systému
T=1/μ−λ
a ve frontě
Tf = T − (1 / μ) = λ / (μ * (μ − λ))
březen 2013
Systém HO
Průměrný počet požadavků v systému,
N = λ * T = λ / ( μ − λ)
a ve frontě
Nf = λ * Tf = λ2 / (μ * (μ − λ))
Podmínka stabilizace systému M/M/1 :
intenzita provozu ρ < 1, tj. intenzita příchodů λ je nižší než intenzita obsluhy μ.
březen 2013
Systém HO
Pokud intenzita příchodů λ nebude nižší
než intenzita obsluhy μ - dojde k zahlcení
systému a fronta bude narůstat bez omezení.
březen 2013
Systém HO
Sít obslužných linek
Jejich počet a uspořádání podstatně ovlivňuje
fungování celého systému.
Jedním z cílů při aplikaci modelu HO je optimalizace počtu obslužných linek, což hraje
důležitou roli při hledání kompromisu mezi
jejich stupněm vytíženosti a délkou fronty,
nebo dobou cekání požadavku.
březen 2010
Systém HO
Uspořádáni muže být buď
paralelní (vedle sebe)
nebo
sériové (za sebou).
březen 2010
Systém HO
Paralelní linky poskytují stejnou obsluhu.
Buď se před každou linkou vytváří samostatná fronta, nebo je pouze jedna fronta, ze
které přechází do obsluhy první požadavek
po uvolnění libovolné linky.
Jde o systémy s jednou frontou nebo systémy
s více frontami.
březen 2010
Systém HO
paralelní (vedle sebe)
systém hromadné obsluhy –
dvoukanálový (paralelní kanály)
obslužné paralelní kanály
zdroj
požadavků
odchod ze
systému
příchod do
systému
čekající fronta
realizace
obsluhy
březen 2010
Systém HO
V sériovém uspořádání požadavek postupně
prochází všemi linkami.
V reálných systémech se běžně vyskytuje
kombinace obou typů.
březen 2010
Systém HO
seriové (za sebou)
systém hromadné obsluhy – jednokanálový
2 obslužné
kanály
zdroj
požadavků
příchod
do
systému
březen 2010
čekající fronta
realizace
obsluhy
odchod ze
systému
Systém HO
Režim (řád) fronty
Určuje způsob přechodu požadavku z fronty
do obsluhy.
FIFO (= First In / First Out nebo FCFS = FirstCome / First-Served) – nejčastější způsob ***
obsluha v tom poradí, v jakém do systému
přišly / ze zásobníku se odebírá zdola.
březen 2010
Systém HO
postup prvku
ve frontě
přicházející
prvky
právě obsluhovaný
prvek
prvky ve frontě
odcházející
prvky
FIFO - grafické znázornění
Duben 2010
Systém HO
LIFO (= Last In / First Out nebo LCFS = LastCome / First-Served) – opačné pořadí obsluhy *** obsluha v obráceném pořadí, než v
jakém požadavky do systému přišly / ze
zásobníku se odebírá zdola.
SIRO (Selection In Random Order) – náhodný způsob / ze zásobníku se odebírá
napřeskáčku.
březen 2010
Systém HO
právě
obsluhovaný
prvek
přicházející
prvky
čekající
prvky
odcházející
prvky
postup prvku ve frontě –
pokud nepřijde nový
prvek do fronty
LIFO - grafické znázornění
Duben 2010
Systém HO
PRI (Priority nebo HVF = Hih Value First) –
podle zadaných priorit (důležitosti) / ze zásobníku se odebírá k obsloužení požadavek
s momentálně nejvyšší prioritou.
březen 2010
Systém HO
Poissonovské rozdělení počtu vstupujících nebo vystupujících (odcházejících) jednotek obvykle dobře vyhovuje
pro rozdělení jednotek.
Popisuje diskrétní náhodnou proměnnou veličinou vyjadřující počet jednotek za časovou jednotku.
7
14
13
12
11
10
9
5
Duben 2012
1
8
6
náhodně přicházející prvky
3
přepínač
cesty
4
2
odcházející prvky
varianta SIFO - grafické znázornění
Systém HO
Doba trvání fronty
Určuje způsob jakým fronty časově řeší průchod požadavků obslužným místem:
- konstantní
- náhodná
březen 2010
Systém HO
konstantní (doba = čas obsluhy je stále
stejný – lépe se plánuje průchod frontou, ale
může docházet k plýtvání s časem průchodu
a tedy k prodloužení času celkové obsluhy,
případně k čekání na vyčerpání probíhajícího
časového intervalu)
náhodná (doba = čas kolísá – hůře se plánje,
ale je obvykle úspornější – rozdělení bývá
obvykle exponenciální)
březen 2010
Systém HO
Disciplína fronty
Určuje chování požadavků:
- absolutně netrpělivá
- bez netrpělivosti
- částečně netrpělivá
březen 2010
Systém HO
absolutně netrpělivá = požadavek do systému se všemi obsazenými obslužnými body
(kanály) nevstoupí a rezignuje na obsluhu –
musí být obsloužen jinde nebo jindy – málokdy se může obsloužení vzdát úplně (trvale)
březen 2010
Systém HO
bez netrpělivosti = požadavky na vstupu do
systému čekají bez ohledu na to, jak dlouho
čekají (na délku trvání tohoto čekání) – speciální případy, protože v praxi by to zřejmě
vedlo k plýtvání s časem
březen 2010
Systém HO
částečně netrpělivá = požadavky na vstupu
do systému čekají, ale jen určitou dobu –
pokud do vyčerpání této doby nedojde k
zahájení obsluhy, odchází pryč
březen 2010
Systém HO
K uvedeným charakteristikám je možné doplnit celou řadu dalších…..
Např.:
omezení na kapacitu systému = maximální
počet požadavků, který muže být v systému
přítomen.
Pokud je systém naplněný, potom se nově
příchozí požadavek k němu nemůže připojit
a odchází.
březen 2010
Systém HO
Cíle modelování systémů hromadné obsluhy
Modelování je dnes „univerzálně“ používaný prostředek – jeho využití je velice široké a žádoucí –
používá se pro přípravu (analýzu, prošetření, návrh
postupu a způsobu řešení, …) řešení.
V časové dimenzi není v celém řešitelském
procesu nikterak omezen = lze jej použít prakticky
kdykoliv, ale ne vždy to přinese plný efekt (zisk).
Duben 2014
Systém HO
Modelování se používá pro řešení dvou
základních typů problémů:
- stanovení důležitých pracovních charakteristik sytému … většinou jde o náhodné
veličiny, k jejichž charakteristice se používají odhady středních hodnot a rozptylů zjišťuje se: střední využití systému a jeho
kanálů, střední délka front, střední čekací
doba, střední hodnota netrpělivosti, …
Duben 2010
Systém HO
- stanovení optimálních parametrů systému …určení vhodného minimalizovaného (a
tedy následně i optimalizovatelného) počtu
kanálů, který by nezpůsoboval závažnější
(zbytečné, dlouhé, …) délky doby čekání ve
frontě, vyčerpávání (až přečerpávání) (ne)trpělivosti zákazníků ve frontě – optimalizace
doby čekání a obsluhy – regulace vstupních
toků – minimalizace celkových nákladů na
zřízení a provoz systému HO, atd.
Duben 2010
Systém HO
Speciálním případem systému s omezenou
kapacitou jsou systémy bez čekání.
Např. telefonní centrála.
Pokud jsou všechny linky obsazené, nelze se
dovolat.
březen 2010
Systém HO
Systémy mohou být s omezeným nebo neomezeným čekáním.
Požadavky cekají bez ohledu na čas, dokud
nejsou obslouženy, nebo pravděpodobnost
zařazení do fronty závisí na poctu požadavku
v ní apod.
březen 2010
Systém HO
V modelech HO se dále zkoumají otázky obsluhy ve skupinách (výtah, městská doprava).
Cílem zkoumání je odpověď, zda lze přerušit
obsluhu v případě, že do systému vstoupí
požadavek s vyšší prioritou (záchranná
služba, meziměstské hovory), apod.
březen 2010
Systém HO
Podle základních charakteristik jsou modely
HO jednotným způsobem klasifikovány pomocí posloupnosti 6 symbolů (vztahový vzorec popisující jednoznačně charakteristiku –
úspornou formu vypracoval D. G. Kendall):
A/B/C/D/E/F
každé z těchto písmen jednoznačně charakterizuje
určitou vlastnost - hodnotu:
………….…
březen 2014
Systém HO
A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení pro intervaly mezi příchody požadavku do
systému, přičemž M znamená exponenciální
rozdělení, D konstantní intervaly, G nespecifikované rozdělení
B totéž pro dobu trvání obsluhy
C počet paralelně uspořádaných obslužných linek
D kapacita systému
E kapacita zdroje požadavku
F režim fronty.
březen 2014
Systém HO
Například:
M / M / 5 / 20 / 1 / FIFO
představuje systém HO, ve kterém intervaly
mezi příchody i doba obsluhy mají exponenciální rozdělení, 5 paralelních linek, celková
kapacita 20 míst (5 v obsluze a maximálně
15 ve frontě), zdroj požadavků je neomezený,
obsluhuje se podle pořadí při příchodu.
březen 2010
Systém HO
Charakteristiky popisující fungování daného
systému lze rozdělit do několika skupin.
1. Časové charakteristiky.
2. Charakteristiky počtu požadavků.
3. Pravděpodobnostní charakteristiky.
4. Nákladové charakteristiky.
březen 2010
Systém HO
1. Časové charakteristiky týkající se
„pouze“ časové obsluhy požadavku:
Tf průměrná doba cekání požadavku ve frontě předtím, než začnou být obsluhovány
T průměrná doba strávená v celém systému.
březen 2010
Systém HO
2. Charakteristiky týkající se počtu požadavků:
Nf průměrná délka fronty
N průměrný počet požadavků v systému.
březen 2010
Systém HO
3. Pravděpodobnostní charakteristiky
Pravděpodobnost …, že:
- obslužná linka nepracuje
- obslužná linka pracuje
- příchozí požadavek bude muset čekat ve
frontě.
- v systému je určitý počet požadavků
- požadavek nebude kvůli naplnění systému
obsloužen.
březen 2010
Systém HO
4. Nákladové charakteristiky
Náklady fungování celého systému za časovou jednotku.
Optimální počet linek v provozu vedoucí k
dosažení minimálních nákladu.
březen 2010
Systém HO
Posuzování uvedených charakteristik je důležité při budování nových systémů HO nebo
rekonstrukci stávajících systémů HO.
Jde o určení počtu linek tak, aby nedocházelo
k jejich zbytečným prostojům, ale ani k nadměrným frontám požadavků vedoucích ke
ztrátám zákazníku a tím i zisku.
březen 2010
Systém HO
Mezi některými charakteristikami existují
bezprostřední vazby.
T = Tf + 1/μ
Průměrná doba, kterou stráví požadavek v
systému, je součet průměrné doby strávené
ve frontě a průměrné doby trvání obsluhy.
N=λ·T
Nf = λ · Tf
březen 2010
Systém HO
Průměrný počet požadavků v systému (ve
fronte) je součinem průměrného casu, který
stráví požadavek v systému (ve frontě), a
intenzity příchodu požadavku do systému.
Řešení, tzn. určení všech nebo alespoň
některých charakteristik, lze dosáhnout
dvojím způsobem – analyticky nebo pomocí
simulací.
březen 2010
Systém HO
Analytické řešení – pro jednotlivé charakteristiky jsou odvozeny konkrétní vztahy, do
kterých se dosadí parametry systému.
Toto řešení je k dispozici jen u nejjednodušších modelů.
Jedinou cestou u složitějších systémů HO je
experimentování s modelem,
březen 2010
Systém HO
Experimentování s modelem - pomocí
vhodného SW se simuluje (napodobuje)
chod reálného systému.
Simulace lze provádět ve zrychleném nebo
zpomaleném čase.
březen 2010
Systém HO
Na základě sběru dat v průběhu simulačního
běhu lze potom aproximativně odvodit charakteristiky simulovaného systému.
Takto lze analyzovat i velmi složité systémy a
to už ve fázi jejich navrhování.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem požadavků
Na základě předchozích informací je potřeba probrat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravděpodobnosti řešícím problematiku hromadné obsluhy
– problematiku řešení obsluhy fronty.
Pro vysvětlení jsou hned úvodem zvoleny dva případy – dané hodnotami charakterizujícího vzorce.
březen 2014
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Příklad – 1:
Službu v bance u bankovní přepážky v sobotu zabezpečuje jen jeden pracovník (je otevřena jen jedna
přepážka) ** od 8 do 20 hodin přicházejí klienti v průměru každých 8 minut – předpoklad = exponenciální
rozdělení intervalů mezi příchody ** průměrná doba
strávená u přepážky 6 minut – předpoklad = náhodná
veličina s exponenciálním rozdělením.
Klienti přistupují k přepážce v pořadí jak přišli.
březen 2014
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Zadání představuje jednoduchý exponenciální model
HO typu:
M / M / 1 /  /  / FIFO
– v systému je pouze jedna obslužná linka
– intervaly mezi příchody požadavků mají exponenciální rozdělení s parametrem λ
– doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s
parametrem μ
– neomezená kapacita systému, neomezený zdroj
požadavků a režim fronty FIFO.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Charakteristiky systému:
1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že linka není využita
p0 = 1 − λ / μ
Odtud plyne pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek (a linka je využita), je λ / μ.
Tento podíl označujeme ρ - popisuje intenzitu provozu systému. Hodnota současně udává pravděpodobnost, že požadavek, který přijde do systému, bude
muset čekat na obsluhu ve frontě.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, jeden je obsluhován a n − 1 čeká ve frontě
pn = p0 · pn = (1 − ρ) ρn
3. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému
T = 1 / (μ − λ)
a ve frontě
Tf = T − 1 / μ = / μ * (μ − λ)
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
4. Průměrný počet požadavků v systému
N = λ * T = λ / (μ − λ)
a ve frontě
Nf = λ * Tf = λ2 / (μ (μ − λ ))
Podmínka stabilizace systému
M / M / 1 : intenzita provozu < 1
tj. intenzita příchodu ρ < 1 nižší než intenzita obsluhy μ. Jinak by došlo k zahlcení systému a fronta
by bez omezení narůstala.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Příklad – 1 * pokračování:
Do banky přicházejí klienti v průměru každých 8 minut – intenzita příchodů
λ = 60 / 8 = 7,5 klientů za hodinu.
Při průměrné době 6 minut u přepážky je intenzita
μ = 60 / 6 = 10 klientů za hodinu.
Intenzita provozu přepážky (tedy její vytížení)
ρ = λ / μ = 7,5 / 10 = 0,75.
Pracovník přepážky tedy bude využit na 75%.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Se stejnou hodnotou pravděpodobností bude klient
čekat na vyřízení své záležitosti u přepážky.
Naopak s pravděpodobností
p0 = 1 − ρ = 0,25
u přepážky nikdo nebude a přepážka bude volná =
pracovník bude čekat na klienta.
Se stejnou hodnotou pravděpodobností klient, který
přijde do banky, nebude muset čekat.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro
n = 0, 1, . . . , 10 ) - jsou uvedeny hodnoty pravděpodobnosti pn a kumulované pravděpodobnosti
P (X < n) udávající, že u přepážky bude maximálně
n klientů:
n
0
1
2
3
4
5
6
pn
0,2500
0,1875
0,1406
0,1055
0,0791
0,0593
0,0455
P (X < n)
0,2500
0,4375
0,5781
0,6836
0,7627
0,8220
0,8665
březen 2010
n
7
8
9
10
pn
0,0334
0,0250
0,0187
0,0141
P (X < n)
0,8999
0,9249
0,9436
0,9577
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Můžeme také např. určit pravděpodobnost, že u přepážky bude víc než 10 klientů:
pn = 1 − 0,9577 = 0,0423 … více než ve 4%.
Pro časové charakteristiky a charakteristiky počtu
požadavků platí:
T = 1 / (μ − λ) = 1 / (10 − 7,5) = 0,4 hod = 24 min
Tf = T − 1 / μ = 0,4 − 0,1 = 0,3 hod = 18 min
N = λ * T = 7,5 * 0,4 = 3 klienti
Nf = λ * Tf = 7,5 * 0,3 = 2,25 klienta ……….
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
……. slovní vyjádření:
U přepážky budou průměrně 3 klienti.
Před přepážkou čeká průměrně 9/4 = 2,25 klienta.
Průměrná doba, kterou klient stráví čekáním na vyřízení svého případu, je 18 minut.
Celkově stráví klient u přepážky 24 minut.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Příklad – 2:
V pobočce banky jsou 3 přepážky - klienti se řadí do
jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni.
Klienti přicházejí s průměrnou intenzitou 68 lidí za
hod. Intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozdělení.
Doba odbavení klienta má exponenciální rozdělení
se střední hodnotou 2,4 min = tj. za hodinu každá
přepážka odbaví průměrně 60 / 2,4 = 25 klientů.
březen 2014
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Zadání představuje variantu modelu HO typu:
M / M / c /  /  / FIFO
– v systému je c identických paralelně uspořádaných
obslužných linek
– intervaly mezi příchody požadavků mají exponenciální rozdělení s parametrem λ
– doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s
parametrem μ
– neomezená kapacita systému, neomezený zdroj
požadavku a režim fronty FIFO.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Protože intenzita obsluhy na každé z linek je μ, bude
intenzita obsluhy celého systému rovna c * μ.
Podíl λ /c * μ = ρ znamená intenzitu provozu celého
systému = představuje i průměrné využití obslužných
linek, poměr pracovního času k celkovému provoznímu času systému.
Aby fronta neomezeně nevzrůstala a systém zvládal
obsluhu příchozích požadavků musí být intenzita
obsluhy celého systému vyšší než intenzita příchodu
požadavků.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Podmínka stabilizace systému:
M / M / c v poměru k intenzitě
provozu ρ musí být < 1.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Charakteristiky systému:
1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný
požadavek, tj. pravděpodobnost,
že žádná z linek nepracuje
p0 = [(Σ(od: k=0 do: k=c−1) rk / k!)
+ ((c * rc ) / ((c − r) * c! )) ]−1
kde r = λ / μ.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
2. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavku a
fronta je prázdná
pn = [ rn / n! ] * p0
pro n ≤ c
3. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavků,
c obsluhováno a zbývajících n − c čeká ve frontě
pn = [ rn / (c! * cn−c )] * p0
březen 2010
pro n > c
Exponenciální modely hromadné obsluhy
4. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému
Tf = [( rc * μ ) / ((c − 1)! * (c * μ − λ )2 )] *p0
a v systému
T = Tf + ( 1 / μ )
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
5. Průměrný počet požadavků v systému
N= λ*T
a ve frontě
Nf = λ * Tf
6. Pravděpodobnost, že příchozí požadavek bude
čekat ve frontě, což vlastně znamená pravděpodobnost, že v systému je c a více požadavku
pf = [( c * rc ) / ((c − r) c! )] * p0.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Příklad – 2 * pokračování:
Konkrétní hodnoty sledovaného stavu v bance:
c = 3,
λ = 68,
μ = 25,
r = λ / μ = 68/25 = 2,72,
ρ = / (c * μ) = 68/3 * 25 = 0,9067 < 1 … a je
stabilizace splněna.
…………….
březen 2014
Exponenciální modely hromadné obsluhy
V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro
n = 0, 1, . . . , 10 ) - kromě pravděpodobností pn je i
pravděpodobnost, že v bance je n a méně klientů, a
pravděpodobnosti, že je tam více než n klientů.
n
0
1
2
3
4
5
6
pn
0,0231
0,0627
0,0853
0,0774
0,0701
0,0636
0,0577
P (X ≤ n)
0,0231
0,0858
0,1711
0,2485
0,3186
0,3822
0,4399
P (X > n)
0,9769
0,9142
0,8289
0,7515
0,6814
0,6178
0,5601
n
7
8
9
10
11
12
pn
0,0523
0,0474
0,0430
0,0390
0,0353
0,0320
P (X ≤ n)
0,4922
0,5396
0,5826
0,6216
0,6569
0,6889
P (X > n)
0,5078
0,4604
0,4174
0,3784
0,3431
0,3111
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Hodnota pravděpodobnosti:
p0 = [ (2,720 / 0!) + (2,721 / 1!) + (2,722 / 2!) +
((3 * 2,723) / ((3 − 2,72) · 3!)) ]−1 =
= 1 / (1 + 2,72 + 3,699 + 35,935) = 0,0231
Pravděpodobnost, že v bance nebude žádný klient
je asi 2,31%.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Pravděpodobnost, že příchozí bude muset čekat,
je 0,8289, což je pravděpodobnost, že v bance jsou
více než dva klienti.
Pravděpodobnost, že je tam více než 12 klientů
(3 u přepážky a 9 ve fronte) je poměrně velká
31,11%.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Časové charakteristiky:
Průměrná doba čekání ve frontě
Tf = [ ((2,723 * 25) / ((3 − 1)! * (75 − 68)2 ) ] * p0 =
= 0,1184 hodiny = 7,1 minuty.
Průměrná doba strávená v bance
T = Tf + ( 1 / μ ) = 0, 1118 + ( 1 / 25 ) =
= 0,1584 hodiny = 9,5 minuty.
březen 2010
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Charakteristiky poctu požadavků:
Průměrný počet klientů v bance
N = λ * T = 68 * 0,1584 = 10,77 klienta.
Průměrný počet klientů ve frontě
Nf = λ * Tf = 68 * 0,1184 = 8,05 klienta.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Optimalizace v modelech hromadné
obsluhy
Při modelování systému hromadné obsluhy je potřeba zjistit, kolik paralelně řazených obslužných linek
je efektivní provozovat, aby byla dosažena a zachována minimalizace nákladů souvisejících s tímto
provozem.
Tím je dán prostor pro optimalizaci.
březen 2014
Optimalizace v modelech HO
Optimalizace v modelech hromadné
obsluhy
Realizace optimalizačních propočtů předpokládá –
je odvislá - od toho, že se dají (musí to být reálně
možné) ohodnotit náklady provozu obslužných linek a
náklady související s pobytem požadavků v systému.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Definice nákladovou funkci
N F(c) = k1 * N + k2 * c
kde
k1 jsou náklady pobytu jednoho požadavku v
systému za jednotku času
k2 jsou náklady provozu jedné linky za jednotku
času
N je průměrný počet požadavků v systému
c je počet linek
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Výsledná hodnota nákladové funkce se skládá ze
dvou částí.
První část k1 * N je celkovým ohodnocením nákladů
pobytu požadavku v systému za jednotku času.
Druhá část k2 * c představuje celkové náklady na
provoz všech linek za jednotku času.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Při zvýšení počtu linek dojde ke zvýšení hodnoty
k2 * c a současně se sníží průměrný počet požadavků v systému čímž se sníží hodnota k1 * N.
Při snížení počtu linek je nákladová změna u obou
položek opačná.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Příklad – 3:
Předpoklad - náklady pobytu klienta v bance jsou
fixní = 200 Kč za hodinu - náklady na provoz jedné
přepážky = 500 Kč za hodinu.
Při třech přepážkách vyjde průměrný počet klientů v
bance 10,77. (mezi 10 a 11 jedinci).
Po dosazení do nákladové funkce vychází
N F(3) = 200 * 10,77 + 500 * 3 = 3654
tj. hodinový provoz v bance je ohodnocen 3 654 Kč.
březen 2014
Optimalizace v modelech HO
Tabulka ukazuje, jak by se částka měnila v závislosti
na počtu přepážek.
c
2
3
4
5
6
březen 2010
k 1* N

2154
714,4
586
556
k2 *c
1000
1500
2000
2500
3000
k1 * N + k 2 * c

3654
2714
3086
3556
Optimalizace v modelech HO
Pro 2 přepážky není systém stabilizovaný.
Obsluha nestíhá a fronta a tím i náklady na pobyt
klientu neomezeně rostou.
Z tabulky plyne, že vzhledem k předpokládaným
nákladovým položkám je optimální provozovat „jen“
4 přepážky.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Pro 4 přepážky bude průměrný počet klientů
N F(c) = k1 * N + k2 * c
N = 3,57.
Tato hodnota, stejně jako hodnoty N pro ostatní
položky, se vypočítají dosazením do uvedeného
vztahu.
březen 2010
Optimalizace v modelech HO
Zajímavá je otázka, nakolik by se musely snížit náklady na pobyt klientů v bance, aby byl optimální
původně uvažovaný model se 3 přepážkami.
NF(3) < NF(4)
10,77 * k1+ 3 * 500 < 3,57 * k1+ 4 * 500,
odtud k1 < 69,44.
Optimální systém se třemi přepážkami musí mít
pobyt klientů ohodnocen částkou
nižší než 69,44 Kč za hodinu.
březen 2010
Systém bez čekání v modelech HO
Systém bez čekání se ztrátami obsluhy
Obsluhující soustava sestává z n stanic obsluhy.
Přijetí požadavků vstupujících k obsluze je podmíněno tím, že některá z obsluhujících stanic je volná.
Jsou-li všechny stanice obsazeny, požadavek nečeká, ale je odmítnut a odchází neobsloužen.
březen 2014
Systém bez čekání v modelech HO
Každá stanice může obsloužit zároveň pouze jeden
požadavek.
březen 2010
Systém s čekáním v modelech HO
Systém s čekáním a ohraničeným zdrojem
požadavků
Jedná se o systém, který se skládá z n stanic obsluhy, každá muže obsluhovat pouze jeden požadavek.
Předpoklad - doba obsluhy je náhodná veličina s
exponenciálním zákonem rozdělení s parametrem μ.
březen 2010
Systém s čekáním v modelech HO
Ze zdroje požadavků obsahujícího ohraničený počet
m požadavků přicházejí do systému požadavky na
obsluhu s proměnou intenzitou závislou na počtu
požadavku ve zdroji.
Doba do výskytu poruchy jednotlivého požadavku je
náhodná veličina, o níž předpokládáme, že má exponenciální rozdělení s parametrem , který je roven
převrácené hodnotě střední doby do poruchy.
březen 2010
Systém s čekáním v modelech HO
Jestliže je některá ze stanic volná, pak vstupující
požadavek je obsloužen a po skončení obsluhy se
opět vrací do zdroje požadavků.
Jsou-li všechny stanice obsazené, vstupující požadavek je zaražen do fronty a čeká na uvolnění některé
stanice.
březen 2010
Systém s čekáním v modelech HO
Schéma činnosti tohoto systému.
březen 2010
Systém s čekáním v modelech HO
Příklady takových systémů:
– skupina kombajnů při žních, k jejichž opravě
je určen pojízdný opravářský vůz
– stroje v továrně, k jejichž údržbě je určena
četa opravářů.
březen 2010
Systém simulační analýzy v modelech HO
Systém simulační analýzy v systému
hromadné obsluhy
V reálných systémech hromadné obsluhy nelze zpravidla odvodit základní charakteristiky systému analytickým způsobem.
Analytické řešení je k dispozici pouze u nejjednodušších modelu, které jsou v reálných podmínkách
aplikovatelné bez dodatečných omezení jen zřídka.
březen 2010
Systém simulační analýzy v modelech HO
Jedinou cestou pro získání hledaných charakteristik
je vytvoření simulačního modelu daného systému.
Na základe vhodné realizace experimentu s tímto
modelem lze potom odvodit odhady požadovaných
charakteristik.
Simulace se definuje jako experimentování s modelem reálného systému na počítači.
březen 2010
Systém simulační analýzy v modelech HO
Experimentováním se rozumí napodobování chodu
sledovaného systému.
Aby byly odhady hledaných charakteristik dostatečně
přesné, je třeba provázet tyto experimenty dostatečne dlouho.
Se zvyšováním poctu experimentu lze očekávat
zpřesňování odhadu hledaných charakteristik.
březen 2010
Systém simulační analýzy v modelech HO
Při simulační analýze systému stačí sledovat v diskrétních časových okamžicích změny a provádět v
nich potřebný sběr dat.
Po skončení simulace jsou na základě údajů získaných v průběhu simulace odvozeny odhady jednotlivých charakteristik.
K základním problémům, které je třeba řešit v průběhu simulace systému hromadné obsluhy, patří generování výskytu událostí, které ovlivňují stav systému.
březen 2011
Teorie front - HO
……………
CW05 – p. 19
březen 2014