Transcript PPT prezentace

Modely hromadné obsluhy
Modely front
Základní pojmy
Popis systémů hromadné obsluhy
Parametry/charakteristiky
Kendalova notace
Analytické a simulační řešení
Model M/M/1
Model M/M/c
Optimalizace v modelech hromadné obsluhy
1
Úvod – základní pojmy
systém hromadné obsluhy
obslužné linky
1
zdroj
požadavků
příchod
do systému
...
fronta
čekání požadavků
2
.
.
.
odchod
ze systému
c
realizace obsluhy
2
Úvod – základní pojmy
systém
obslužné linky
požadavky
ordinace lékaře
Lékař
pacienti
banka
Úředníci u přepážky
klienti
samoobsluha
pokladny, nákupní vozíky
zákazníci
výrobní linka
místa na výrobní lince
výrobky
dopravní systém
křižovatky se semafory
vozidla
benzínová pumpa
čerpací stojany
vozidla
nádraží
pokladny
cestující
pojišťovna
Úředníci
pojistné případy
telefonní centrála
telefonní linky
volající
lyžařské středisko
Vleky
lyžaři
3
Příchod požadavků
do systému
Popis
systému
hromadné obsluhy
Zpravidla jsou to náhodné veličiny s nějakým pravděpodob-nostním
rozdělením a parametry.
Příchody požadavků lze popsat buď pomocí intenzity příchodů, což
je počet požadavků, které do systému přijdou za časovou jednotku,
nebo pomocí intervalů mezi příchody, což je charakteristika,
udávající čas mezi dvěma po sobě následujícími příchody. Pro popis
intervalů mezi příchody často vyhovuje exponenciální rozdělení, jehož
střední hodnota je
E(X) = 1/λ.
λ je potom průměrný počet příchodů za jednotku času –
budeme označovat jako intenzita příchodů.
4
Popis systému hromadné obsluhy
Doba trvání obsluhy
Podobně jako pro popis náhodné veličiny intervalů mezi příchody
požadavků, i pro popis doby trvání obsluhy lze použít často
exponenciální rozdělení, jeho střední hodnota v tomto případě může
být
E(X) = 1/μ.
μ je potom průměrný počet obsloužených požadavků za
jednotku času – budeme označovat jako intenzita obsluhy.
5
Síť obslužných
linek
Popis
systému
hromadné obsluhy
jedna obslužná linka
příchod
do systému
...
fronta požadavků
obslužná linka
odchod
ze systému
paralelně uspořádané obslužné linky (jedna fronta)
obslužné linky
příchod
do systému
...
.
.
.
fronta požadavků
odchod
ze systému
sériově uspořádané obslužné linky (2 linky)
příchod
do systému
obslužné linky
...
fronta
odchod
ze systému
6
Popis
systému
hromadné
obsluhy
Režim fronty
1. FIFO (first-in / first-out) představuje situaci, kdy požadavky
přecházejí z fronty do obsluhy v tom pořadí, v jakém do systému
přišly..
2. LIFO (last-in / last-out). Požadavky jsou obsluhované v opačném
pořadí než v jakém do systému vstoupily.
3. Náhodný způsob přechodu z fronty do obsluhy – SIRO (selection
in random order).
4. Přechod z fronty do obsluhy podle zadaných priorit - režim PRI.V
tomto režimu jsou požadavky obsluhovány podle definovaných priorit.
7
Popis systému hromadné obsluhy
Zdroj požadavků
Může být v zásadě konečný (cyklické systémy) nebo nekonečný.
Speciální vlastnosti
 Systémy s omezenou nebo neomezenou trpělivostí požadavků,
 Systémy s omezenou kapacitou čekacího prostoru nebo zcela bez
čekacích míst
 Cyklické systémy
 Systémy se skupinovou obsluhou požadavků, …
8
Kendalova notace
A/B/C/D/E/F
A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující
intervaly mezi příchody požadavků do systému. Pro exponenciální
rozdělení je používán symbol M, pro konstantní intervaly mezi příchody
symbol D,
B charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující dobu
trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako při popisu intervalů
mezi příchody.
C je počet paralelně uspořádaných obslužných linek.
D je číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy - pokud není
tato kapacita omezená, použije se symbol .
E je číslo udávající početnost zdroje požadavků - pokud je zdroj
požadavků nekonečný, použije se opět symbol .
F je režim fronty (FIFO, LIFO, PRI, SIRO).
9
Analýza systémů hromadné obsluhy
Systém hromadné obsluhy závisí na jeho parametrech (intenzita
příchodů, obsluhy, počet obslužných linek, atd.). Některé parametry
jsou kontrolovatelné (manažerem ), jiné nekontrolovatelné.V
závislosti na parametrech má systém nějaké chování, které lze
popsat jeho charakteristikami. Ty lze rozdělit do několika skupin:
1. Časové charakteristiky – T (průměrný čas strávený v systému),
Tf (průměrný čas strávený ve frontě)
2. Charakteristiky počtu požadavků - N (průměrný počet jednotek
v systému), Nf (průměrný počet požadavků ve frontě)
3. Pravděpodobnostní charakteristiky – pravděpodobnost, že linka
pracuje/nepracuje, pst., že v systému je konkrétní počet
požadavků, pst. že systém je plný (u kapacitně omezených
systémů) a mnoho dalších.
4. Nákladové charakteristiky.
10
Analýza systémů hromadné obsluhy
V základních systémech hromadné obsluhy platí mezi časovými a
„délkovými „ charakteristikami následující vztahy:
N = T
Nf = Tf
T = Tf + 1/μ,
(průměrný čas strávený v systému =
průměrný čas strávený ve frontě + průměrná
doba trvání obsluhy)
11
Analytické/simulační řešení
Analytické řešení
Požadované charakteristiky jsou získány jednoduše dosazením
parametrů systému do vzorců – bohužel takové vzorce jsou k
dispozici jen pro ty nejjednodušší systémy
Simulace
Simulace spočívá v experimentování s modelem daného systému na
počítačích s využitím vhodných programových prostředků. Na
základě sběru dat v průběhu simulačního běhu lze potom
aproximativně odvodit charakteristiky simulovaného systému, které
zajímají uživatele. Tímto způsobem lze analyzovat i velmi složité
systémy hromadné obsluhy.Výhodou je, že to, co v realitě probíhá
dlouho, může být při simulaci na počítačích hotové za několik málo
sekund či minut.
12
M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model
Předpoklady modelu
 v systému je pouze jedna obslužná linka,
 intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo- nenciálním
rozdělením s parametrem ,
 doba trvání obsluhy je náhodná veličina s exponenciálním
rozdělením s parametrem ,
 neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a
režim fronty FIFO.
Podmínkou stabilizace systému M/M/1 je, že pro jeho
intenzitu provozu platí  = / < 1
13
M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model
Pravděpodobnostní charakteristiky
1.
Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj.
pravděpodobnost, že obslužná linka nepracuje
p 0 = 1   / .
Z toho plyne, že pravděpodobnost, že v systému je
alespoň jeden požadavek a tedy že linka pracuje, je
 =  / .
Charakteristika  se označuje jako intenzita provozu
systému hromadné obsluhy. Tato hodnota udává
současně pravděpodobnost, že požadavek, který do
systému přijde, bude muset na obsluhu čekat ve frontě.
2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, tj.
jeden požadavek je obsluhován a (n  1) je ve frontě
pn = p0 n = (1  )n .
14
M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model
Časové charakteristiky
Průměrný čas, který požadavek stráví v systému (T) a ve frontě (Tf)
1
 
1

Tf  T  
  (   )
T
Charakteristiky počtu jednotek
Průměrný počet požadavků v systému (N) a ve frontě (Nf)
N  T 

 
2
N f  Tf 
 (   )
15
M/M/c – Exponenciální model s paralelně
uspořádanými linkami
Předpoklady modelu
 v systému je c identických obslužných linek,
 intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo-nenciálním
rozdělením s parametrem ,
 doba trvání obsluhy na každé z c obslužných linek je náhodná
veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem ,
 neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim
fronty FIFO.
Podmínkou stabilizace systému M/M/c je, že pro intenzitu
provozu celého systému platí  = /c < 1
16
M/M/c – Exponenciální model s paralelně
uspořádanými linkami
Všechny charakteristiky jsou nesrovnatelně složitější než u modelu
M/M/1 – například:
Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tzn.
pravděpodobnost, že žádná z c obslužných linek nepracuje, je
 c1 r k 
cr c 
p0     

 k 0 k!  (c  r )c!
1
NEUČIT SE!!!
Platí ovšem vztahy:
N = T
Nf = Tf
T = Tf + 1/μ,
17
Optimalizace v modelu M/M/c
Optimalizace ve vztahu k počtu obslužných linek
k1
k2
N
c
náklady související s pobytem jednoho požadavku v
systému hromadné obsluhy za jednotku času,
náklady provozu jedné obslužné linky za jednotku času,
průměrný počet jednotek v systému a
počet paralelně řazených obslužných linek,
Nákladová funkce:
NF(c) = k1N + k2c
18
Optimalizace v modelu M/M/c
Příklad:
 = 68, k1 = 200 Kč,
μ = 25 , k2 = 500 Kč,
počet linek
c
2
3
4
5
6
pobyt
klientů
k1N

2154
714
586
556
Náklady
provoz
k2c
1000
1500
2000
2500
3000
Celkem
k1N + k2c

3654
2714
3086
3556
19