Transcript Guía Modular de Estudio

Guías Modulares de Estudio
MATEMATICAS III – PARTE B
Semana 1 y 2:
Unidad 3: Circunferencia
MATEMATICAS III
Objetivo:
• Determinar el modelo matemático y la representación grafica
de una circunferencia a partir de la aplicación de la ecuación
general para la resolución de problemas teórico-prácticos
Circunferencia
Circunferencia con Centro Fuera del Origen
• La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k), distinto
del origen, se obtiene con un método muy simple:
• Reemplazamos x y y por x – h y y – k en la ecuación básica de la
circunferencia con centro en el origen.
y
C (h,k)
k----0
h
x
Así, una circunferencia con centro en (3,1) y radio r = 4, tiene por
ecuación:
Forma Básica
Ecuación buscada
x² + y² = r²
(x – h)² + (y – k)² = r ²
(x – 3)² + (y – 1)² = 4 ²
Circunferencia
Circunferencia que pasa por 3 puntos
• Por 3 puntos no colineales pasa una y sólo una circunferencia
B
A
C
• Se reemplazan las coordenadas de cada punto en la forma general
de la ecuación de la circunferencia
x² + y ² + Dx + Ey + F = 0
Circunferencia
Circunferencia y Otras Secciones Cónicas
• La circunferencia es una de las curvas que se obtienen al
seleccionar un cono.
• La figura muestra un cono y algunos de sus elementos. Vértice
La base del cono es la región delimitada por
su directriz.
La generatriz es al recta que genera a la
superficie cónica cuando recorre la curva
llamada directriz, manteniéndose fija en el
vértice (punto exterior al plano de la directriz)
Directriz
Base
Cuando la base es un circulo, el cono se llama cono circular. Si
su eje es perpendicular a la base, el cono se llama cono circular
recto.
Examen (Semana 3)
• ¿Cómo se obtiene la circunferencia con centro fuera del
origen?
• ¿Qué es la circunferencia?
• ¿Qué es la base?
• ¿Qué es la generatriz?
• ¿Cómo se le llama a la figura geométrica cuando la base es un
circulo?
Semana 3 y 4:
Unidad 4: La Parábola
MATEMATICAS III
Objetivo:
• Determinar el modelo matemático y la representación grafica
de una parábola , a partir de la ecuación general y su forma
estándar ,para la resolución de problemas teórico-prácticos
La Parábola
•
Una Parábola es una curva constituida por puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada
directriz.
•
La distancia entre el foco y la directriz se denomina parámetro.
•
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se
llama eje focal o eje de la parábola. El vértice es el punto donde el
eje corta a la parábola.
•
Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la parábola.
Cuando la cuerda pasa además por el foco y es perpendicular al eje,
recibe el nombre especial de ancho focal.
La Parábola
Construcción de la Parábola con Regla y Compás.
• Este método es por puntos, es decir, nos permite ubicar puntos aislados
que debemos unir con una línea continua. Se trazan líneas paralelas a la
directriz y se corta cada una con dos arcos, que se trazan haciendo
centro en el foco, con una abertura igual a la distancia de esa línea a la
directriz.
• Para referirnos a la distancia entre el vértice y el foco utilizaremos la
letra p.
D
V
F
-------------------p
p
D
F
---------------------2p
La Parábola
Parábola con vértice en el origen
• Si una parábola es horizontal, o vertical, y su vértice esta en el
origen, su ecuación adopta la forma mas sencilla:
y² = 4px, o x² = 4py
Parábola horizontal
y² = 4px
(p,0)
Ecuación Foco
Parábola vertical
x=-p
x² = 4py
(0,p)
y=-p
Directriz
Ecuación
Foco Directriz
La Parábola
Parábola con vértice fuera del origen
• La ecuación de una parábola, horizontal o vertical, con vértice en
un punto (h, k) distinto del origen, se obtiene así:
• Reemplazamos x y y, por x – h y y – k, en la ecuación básica de la
parábola con vértice en el origen.
• Forma Básica
y ² = 4px
Parábola horizontal
(y – k) ² = 4p (x – h)
Ecuación
(h + p, k)
Foco
x=h-p
Directriz
Parábola vertical
x ² = 4py
(x – h) ² = 4p (y – k)
Ecuación
(h, k + p)
Foco
y=k-p
Directriz
La Parábola
Ecuación General de la Parábola
• Desarrollando y simplificando las ecuaciones ordinarias de la
parábola, e igualándolas con cero, obtenemos la forma general de
la ecuación de la parábola.
Así la ecuación:
(x – 1)² = 8(y + 3)
Al desarrollar potencias y productos se tranforma en:
x ² - 2x + 1 = 8y + 24
Y al simplificar e igualar con cero en:
x ² - 2x – 8y – 23 = 0
Parábola horizontal
Parábola vertical
y ² + Dx + Ey + F = 0
x ² + Dx + Ey + F = 0
Examen (Semana 4)
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¿Qué es una parábola?
¿Qué es el parámetro?
¿A que se le llama eje focal?
¿Qué es el vértice?
¿Qué es una cuerda y cuando recibe el nombre de “ancho
focal”?
• Escribe las ecuaciones de parábola horizontal y parábola
vertical: