Transcript Tema_9.-_La_Parabolax

TEMA 9
LA PARÁBOLA
Segunda Ecuación Ordinaria
Eje focal = X
(y – k)2 = 4p(x - h)
Segunda Ecuación Ordinaria
Eje focal = Y
(x – h)2 = 4p(y - k)
Y
l
Y
V(h,k)

p
Lado Recto
Directriz
p
F
Eje Focal
 P(x,y)
A 
Eje Focal
Lado Recto

F
p
 P(x,y)
V(h,k)
X
p
l
Directriz
X

A
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS.
DEFINICIÓN: Una transformación es una operación por la cual una relación,
expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. La ley se expresa
por medio de las ecuaciones de Transformación. La transformación de
coordenadas tiene por objeto eliminar los términos de primer grado.
TEOREMA: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O’(h,k) y si las
coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y
(x’,y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al
nuevo sistema de coordenadas son: x = x’ + h y y = y’ + h
Hipótesis
X y Y son ejes primarios
X’ y Y’ los nuevos ejes
O’(h,k) coordenadas del nuevo origen
y’
O’(h, k)

x’
k
Por construcción se trazan desde un pto
P(x,y), 2 perpendiculares a ambos ejes.
x = x’ + h
y = y’ + k

y
Tesis
x = x’ + h
y = y’ + k
P(x,y) antes
y’
Y
por
Suma de segmentos
Suma de segmentos
x’
h
x
X
FORMAS DE REALIZAR UNA TRANSFORMACIÓN
1.- Ubicando los nuevos ejes x’ e y’ en un punto conocido P(x1,y1), en cuyo caso
se sustituyen las variables x e y por :
x = x’ + x1; y = y’ + y1.
Ejemplo 1.
Transformar la ecuación x2 + y2 + 2x – 6y + 4 = 0, trasladando los ejes coordenados al
punto (-1,3).
y
x = x’ + h  x = x’ – 1
y = y’ + k  y = y’ + 3
.
(x’ - 1)2 + (y’ + 3)2 + 2(x’ – 1) – 6(y’ + 3) + 6= 0
x’2
– 2x’ + 1 +
x’2 + y’2 = 4
y’2
+ 6y’ + 9 + 2x’ – 2 – 6y’ – 18 + 6 = 0
3
O’(-1,3)
-1
O
x
2.- Determinando las coordenadas del punto donde se ubicará el nuevo
origen. Esto puede hacerse de dos formas:
Primer Método: Sustituyendo x e y por x = x’ + h , y = y’ + k, para luego igualar
los coeficientes de los términos de primer grado a 0, para determinar h y k,
hallando así las ecuaciones de traslación.
Ejemplo 2. Por una traslación de ejes, transfórmese la ecuación 2x2 + y2 + 16x
– 4y + 32 = 0, en otra que carezca de términos de primer grado.
x = x’ + h
y
y = y’ + k Ecuaciones de traslación
2(x’ + h)2 + (y’ + k)2 + 16(x’ + h) – 4(y’ + k) + 32 = 0
2x’2 + 4hx’ + 2h2 + y’2 + 2y’k + k2 + 16x’ + 16h – 4y’ –
4k + 32 = 0
2x’2 + y’2 + (4h + 16)x’ + (2k – 4)y’ + 2h2 + + k2 + 16x’
+ 16h – 4k + 32 = 0
4h + 16 = 0 
h = -4
2k – 4 = 0 
k=2
2x’2 + y’2 + 2(-4)2 + 4 +16(-4) -8 + 32 = 0
2x’2 + y’2 = 4
.
2
O’(-4,2)
-4
O
x
2.- Determinando las coordenadas del punto donde se ubicará el nuevo
origen. Esto puede hacerse de dos formas:
Segundo Método: Completando cuadrados para conocer los valores de h y k y
luego sustituirlos en las ecuaciones de traslación x = x’ + h, y = y’ +k
Ejemplo 3. Por una traslación de ejes, transfórmese la ecuación 4x2 + 4y2 + 32x –
4y + 45 = 0, en otra que carezca de términos de primer grado.
4x2 + 4y2 + 32x – 4y + 45 = 0
dividiendo la ecuación entre 4
4
x2 + y2 + 8x – y + 45/4 = 0
(x + 4)2 – 16 + (y – ½)2 – ¼ + 45/4 = 0 completando cuadrados
x + 4 = x’  x = x’ - 4
y – ½ = y’  y = y’ + 1/2
y
Ecuaciones de traslación
Radio= 5
x’2 + y’2 = 5 y O’ = (-4, 1/2)
.
-4
O’(-4,1/2)
1/2
O
x
LA PARÁBOLA
Definición: Una PARÁBOLA es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija,
situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del
plano y que no pertenece a la recta.
l
La recta fija Directriz l
El punto fijo es el Foco F
Y
Directriz
P(x,y)
Radio vector

F Foco
X
Si P(x,y) es un Pto.
cualquiera
de
la
parábola la distancia de
P a F es igual a la
distancia de P a la
Directriz,
y
esta
distancia se denomina
radio focal de P o radio
vector de P
LA PARÁBOLA
Definición: Una PARÁBOLA es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija,
situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del
plano y que no pertenece a la recta.
l
B
Y
C
L
P(x,y)
Radio vector
Directriz
A
V
p
p  F
Foco
C’
L’
B’
X
p = distancia del vértice a
la directriz y del vértice al
foco
A = Punto de intersección
entre la directriz y el eje X
V = Punto medio entre AF
= Vértice
BB’ = Cuerda, segmento
que corta a la parabola en
dos puntos
CC’ = Cuerda Focal (pasa
por el foco)
LL’
=
Cuerda
focal
perpendicular al foco =
Lado recto o
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Y
l
A
P(x,y)


y
PF  PA
(1)
PA  x  p
(2)
FP 
Distancia entre P y A
x  p 2  y 2 (3)
x  p 2  y 2  x  p
x  p2  x-p2  y 2
Directriz
V

-X
x x- p
F:foco
p
Distancia entre F y P
Igualación entre (2) y (3)
Elevando ambos miembros al cuadrado
x 2  2 px  p 2  x 2  2 px  p 2  y 2
y 2  4 px  1 era ecuación Ordinaria o Canónica
x 2  4 py  1 era ecuación Ordinaria o Canónica
X
TEOREMA: La ecuación de una parábola de vértice en el origen,
y eje en el eje X es:
y2 = 4px,
donde el foco es el punto P(p,0) y la ecuación de la Directriz es
x = -p.
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.
Si el eje coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen su
ecuación es
x2 = 4py
en donde el foco es el punto (0,p) y la ecuación de la Directriz es
y = -p.
Si p > 0, la parábola abre hacia arriba
Si p < 0, la parábola abre hacia abajo
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor
absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.
Estudio de la Ecuación Canónica
Si p es positiva  la parábola
abre a la derecha
l
Y
Y
y2 = 4px
A
Si p es negativa  la parábola abre
a la izquierda
V
 F(p,0)
y2 = - 4px
F(-p,0)
X(+)
X(-)

V

l
Si p es positiva  la parábola abre hacia arriba
Y(+)
F(-0,p)

V
X
l
A
x2 = 4py
Si p es negativa  la parábola abre hacia abajo
Y(+)
A
l
V

F(-0,p)
X
x2 = - 4py
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los
ejes coordenados
(y – k)2 = 4p(x - h)
Segunda Ecuación Ordinaria
Eje focal = X
Y
l
A
 P(x,y)
Directriz
p
p

F
Lado Recto
.
V(h,k)
Eje Focal
X
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los
ejes coordenados
(x – h)2 = 4p(y - k)
Segunda Ecuación Ordinaria
Eje focal = Y
Eje Focal
Y
Lado Recto

F
p
.
V(h,k)
l
Directriz
 P(x,y)
p
X

A
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los
ejes coordenados
(y – k)2 = 4p(x - h)
(x – h)2 = 4p(y – k)
Segunda Ecuación Ordinaria
TEOREMA: La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje
x, es de la forma:
(y – k)2 = 4p(x - h)
siendo  p la longitud del eje comprendido entre el foco y el vértice.
•Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
•Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.
La ecuación de la parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje y, es de la
forma:
(x – h)2 = 4p(y – k)
siendo  p la longitud del eje comprendido entre el foco y el vértice.
•Si p > 0, la parábola abre hacia arriba
•Si p < 0, la parábola abre hacia abajo
TEOREMA: Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que
carezca del término en xy puede escribirse en la forma:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
-Si A = 0 , C  0 y D  0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje X.
-Cy2 + Dx + Ey + F = 0
-Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas coincidentes
paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raices de
Cy2 + Ey + F = 0
sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
-Si A  0, C = 0 y E  0, la ecuación representa una parabola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje Y.
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
-Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes
paralelas al eje Y, o ningún lugar geométrico, según que las raices de
Ax2 + Dx + F = 0
sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.