Transcript Parábola - A la Sala
Slide 1
Geometría Analítica
Parábola
(versión preliminar)
Matemáticas Preuniversitarias
M. C. Consuelo Díaz Torres
contenido
salir
>
Slide 2
Función de Ingresos
La función de ingresos de cierto producto está representada
por la expresión
R 125 45 x 0 . 01 x
2
donde x es la cantidad de unidades de producto que se
fabrican.
¿Cuál es el ingreso máximo?
¿Cuál es el nivel de producto para el cual se obtiene el
ingreso máximo?
contenido
salir
<
>
Slide 3
Tiro parabólico
Una flecha disparada con ballesta se encuentra a s metros
sobre el piso, t segundos después del disparo. Su altura
está representada por
s 16 t 375 t 81
2
Determina la altura de la flecha 6 segundos y 14 segundos
después de haberla disparado?
¿Cuánto tarda la flecha en llegar al piso?
contenido
salir
<
>
Slide 4
Puentes colgantes
En un puente colgante la distancia entre sus torres es de
200 metros y la altura de las torres es de 100 metros.
Describe la ecuación del cable que soporta al puente.
¿A qué distancia del centro está un puntal de 50 metros de
longitud?
contenido
salir
<
>
Slide 5
Diseño de Faros
Un diseñador de automóviles desea diseñar un faro que
tenga 16 centímetros de diámetro. La bombilla que va a
utilizar en él tiene el filamento a 2 centímetros del cuello.
¿Qué profundidad debe tener el faro para que el filamento
quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla se
coloca a la altura del vértice del faro?
contenido
salir
<
>
Slide 6
Definición de Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos del plano que
equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en
ella. La recta fija se llama directriz de la parábola y el
punto fijo se llama foco.
directriz
oco
contenido
salir
<
>
Slide 7
Ejemplo
Encontrar el conjunto de puntos que equidistan del punto
F(1,0) y la recta l cuya ecuación es x = -1.
Solución:
Sea Q(x, y) un punto de este conjunto, entonces debe cumplir
Ax By C
(x x 0 ) (y y 0 )
2
2
A B
2
2
Sustituyendo
( x 1) ( y 0 ) x 1
2
2
Elevando al cuadrado
( x 1) ( y 0 ) ( x 1)
2
2
2
Simplificando
y 4x
2
contenido
salir
<
>
Slide 8
Deducción de la Ecuación
Consideremos una parábola cuyo foco está sobre el eje X
en el punto F(p,0), donde p>0, y su directriz es la recta L
cuya ecuación es x = -p.
Un punto P(x, y) que pertenezca a la parábola debe
satisfacer la ecuación
d (P, F) d (P, L )
( x p) ( y 0)
2
2
xp
1
2
Elevando al cuadrado
(x p) y (x p)
2
Simplificando
contenido
2
2
y 4 px
2
salir
<
>
Slide 9
Elementos de la parábola
Uno de los puntos de la parábola es el punto medio entre el
foco y la directriz, este punto es el vértice. En este caso el
vértice es el origen.
La distancia que hay entre el vértice y el foco, así como
entre el vértice y la directriz es p. La recta que une al
vértice con el foco y que es perpendicular a la directriz se
conoce como el eje de simetría.
contenido
salir
<
>
Slide 10
Un segmento de recta que une dos puntos de una parábola se
conoce como cuerda de la parábola. La cuerda que pasa por
el foco y es paralela a la directriz, y por tanto perpendicular al
eje de simetría es el lado recto.
La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia
del foco al vértice. Esta longitud indica qué tan abierta o
cerrada es la parábola.
contenido
salir
<
>
Slide 11
Construcción de la Parábola con papel doblado
Con una hoja de papel encerado.
Marca un punto F cerca de un lado, aproximadamente a la mitad de la
hoja.
Dobla el papel de manera que un punto del lado inferior coincida con
el punto F.
Marca el doblez y desdobla.
Sigue haciendo dobleces de manera que los puntos del lado inferior
coincidan con el punto F.
contenido
salir
<
>
Slide 12
Construcción de la Parábola con papel doblado
Si haces suficientes dobleces observarás que la curva que se
forma es una parábola.
Considera que el borde de la hoja es la directriz y el punto F es
el foco. Verifica que el vértice es el punto medio entre la directriz
y el foco.
Toma un punto sobre la parábola y verifica que la distancia del
foco al punto es igual a la distancia del punto a la directriz.
contenido
salir
<
>
Slide 13
Si ahora se tiene el caso de una parábola con vértice en el
origen, el foco está en la parte negativa del eje X y la directriz
es una recta vertical que corta a este eje en la parte positiva,
entonces el foco es F(-p, 0), la directriz es x = p y un punto
P(x, y) sobre la parábola satisface la ecuación
(x p) ( y 0) x p
2
2
Y simplificando
y 4 px
2
contenido
salir
<
>
Slide 14
Se observa que el signo del coeficiente de x indica el lado
hacia el que abre la parábola:
Si el signo del coeficiente de x es positivo, la parábola
se abre hacia la derecha.
Si el signo del coeficiente de x es negativo, la parábola
se abre hacia la izquierda.
contenido
salir
<
>
Slide 15
En el caso en que el foco de
la parábola está sobre el eje
X y la directriz es una recta
vertical se tiene una
parábola horizontal.
En el caso en que el foco de
la parábola está sobre el eje
Y y la directriz es una recta
horizontal se tiene una
parábola vertical.
contenido
salir
<
>
Slide 16
Parábolas verticales
Una parábola con vértice en
el origen, el foco en el punto
F(0, p) y cuya directriz es
y = -p tiene ecuación
x 4 py
2
Una parábola con vértice en
el origen, el foco en el punto
F(0, -p) y cuya directriz es
y = p tiene ecuación
x 4 py
2
contenido
salir
<
>
Slide 17
Resumen
El siguiente cuadro contiene el resumen de los elementos de
una parábola que tiene vértice en el origen.
E C U A C IÓ N
PO S IC IÓ N
E JE D E
S IM E T R ÍA
X
FO C O
H o rizo ntal
ABRE
H A C IA
D erecha
(p, 0)
E C U A C IÓ N
D IR E C T R IZ
x = -p
y 4 px
y 4 px
H o rizo ntal
Izqu ierda
X
(-p, 0)
x=p
x 4 py
V ertical
A rriba
Y
(0, p)
y = -p
x 4 py
V ertical
A bajo
Y
(0, -p)
y=p
2
2
2
2
contenido
salir
<
>
Slide 18
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y
la ecuación de la directriz es y = -2.
Solución
La directriz es una recta horizontal, por lo que el eje de
simetría es el eje Y y la parábola es vertical. La distancia de la
directriz al vértice y del vértice al foco es p = 2.
Por tanto la ecuación de la parábola es
x 4(2) y
2
x 8y
2
contenido
salir
<
>
Slide 19
Ejemplo
Encuentra el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es
x 12 y
2
Solución
El eje de simetría de la parábola es el eje Y, ya que la variable
x es la que está elevada al cuadrado, el signo indica que la
parábola se abre hacia abajo.
La directriz es perpendicular al eje de simetría, por lo tanto
es paralela al eje X y la distancia del origen a la directriz y
del origen al foco es
p
12
3
4
Por tanto el foco y la directriz de esta parábola son
F ( 0 , 3)
y
y3
contenido
salir
<
>
Slide 20
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen
y foco en el punto F(5, 0).
Solución
El foco de la parábola está sobre el eje X, en la parte
positiva, por lo que éste es el eje de simetría y en
consecuencia la parábola es horizontal y se abre hacia la
derecha.
La distancia del foco al vértice es p = 5.
Por tanto la ecuación es de la forma
y 4 px
2
Sustituyendo
y 4 ( 5 ) x 20 x
2
Es decir, la ecuación de la parábola es
y 20 x
2
contenido
salir
<
>
Slide 21
Gráfica de la Parábola
Para trazar la gráfica de una parábola se recomienda seguir
este procedimiento:
1. Localizar el vértice.
2. Determinar el valor de p, la distancia del vértice al foco y
del vértice a la directriz.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determinar si la parábola es horizontal o vertical.
Determinar hacia que lado abre la parábola.
Localizar el foco.
Trazar el eje de simetría de la parábola.
Trazar la recta que contiene el lado recto.
Localizar los extremos del lado recto a 2p unidades del foco.
contenido
salir
<
>
Slide 22
Ejemplo
Trazar las gráficas de las parábolas
2
a) x 8 y
b) x 2 12 y
c)
y 20 x
2
contenido
salir
<
>
Slide 23
Forma estándar de la
Ecuación de la Parábola
Hasta ahora se ha considerado que la parábola tiene vértice en el
origen. ¿Que pasa cuando el vértice no está en el origen?
En este caso no es posible aplicar directamente las ecuaciones
que ya hemos visto. ¿Cuales son los cambios?
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto
V(3 ,4) y su foco es F(3,6).
contenido
salir
<
>
Slide 24
Solución
Como el foco se encuentra
arriba del vértice, la parábola
se abre hacia arriba.
La distancia entre el vértice y
el foco es p = 2, así que la
directriz está 2 unidades
abajo del vértice y es paralela
al eje X.
Si consideramos los ejes X’ y Y’ como en la figura, la ecuación
2
sería
(x ' ) 8y'
Pero ¿qué relación hay entre los planos X’Y’ y XY?
Observa que x ' x 3 y y ' y 4
2
( x 3) 8 ( y 4 )
Por tanto al ecuación de la parábola es
contenido
salir
<
>
Slide 25
Resumen
En general, cuando el vértice de la parábola está en el punto
V ( x 0 , y 0 ), las ecuaciones de las parábolas en su forma
estándar y sus elementos, en los diferentes casos, son las
siguientes
E C U A C IÓ N
P O S IC IÓ N
(y y0 ) 4p(x x 0 )
H o rizo nta l
ABRE
H A C IA
D erecha
(x 0 p, y 0 )
E C U A C IÓ N
D IR E C T R IZ
x x0 p
(y y 0 ) 4p(x x 0 )
H o rizo nta l
Izqu ierda
(x 0 p, y 0 )
x x0 p
(x x 0 ) 4p(y y0 )
V ertica l
A rriba
(x 0 , y0 p)
y y0 p
(x x 0 ) 4p(y y 0 )
V ertica l
A ba jo
(x 0 , y0 p)
y y0 p
2
2
2
2
contenido
salir
FO C O
<
>
Slide 26
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene foco F(1, -2) y
vértice V(4, -2) y traza su gráfica.
Solución
En este caso el foco está a la izquierda del vértice, por lo que la
parábola se abre hacia la izquierda, la distancia entre el foco y
el vértice es p = 3. Entonces se tiene que la ecuación es de la
forma
2
( y y ) 4p(x x )
0
Sustituyendo
0
( y ( 2 )) 4 ( 3 )( x 4 )
2
Desarrollando se tiene
y 4 y 12 x 44 0
2
¿Cómo es su gráfica?
contenido
salir
<
>
Slide 27
Ejemplo
Encuentra el foco, el vértice y la directriz de la parábola que
tiene como ecuación
x 2 x 20 y 119 0
2
Solución
Para encontrar fácilmente los elementos de la parábola se debe
escribir en su forma estándar, para lo cual es necesario
completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es,
( x 2 x 1) 1 20 y 119 0
2
( x 1) 20 y 120 20 ( y 6 )
2
( x 1) 4 ( 5 )( y 6 )
2
Entonces, el vértice es el punto V(1, -6) y como p = 5, el
foco es F(1, -1) y la directriz tiene como ecuación y 11 .
¿Cómo es su gráfica?
contenido
salir
<
>
Slide 28
Recta Tangente a la Parábola
Dados una recta y una parábola puede suceder:
La recta no corta a la parábola.
La recta corta a la parábola en
dos puntos.
La recta corta a la parábola en un solo punto:
Recta paralela al eje de simetría
contenido
salir
Recta tangente
<
>
Slide 29
¿Como podemos encontrar la ecuación de la recta tangente
a la parábola en un punto dado?
Observemos en la figura que, dado un punto P en la parábola,
se forma un triángulo isóseles con vértices en los puntos P, F
y Q. La recta T es la bisectriz del ángulo QPF y también es
la mediatriz del segmento QF.
T
Q
directiz
contenido
salir
<
>
Slide 30
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola
2
y 4 x en el punto (2,3).
Solución
P
De la gráfica podemos ver
Q
que los puntos Q y F tienen
coordenadas (-1, 3) y (1, 0)
F
respectivamente.
El punto medio del segmento
QF es (0, 3/2).
La recta que pasa por P y el punto medio del segmento QF
es
3
3
2
( y 3)
20
( x 2)
o
y
3
4
x
3
2
Que es la recta tangente a la parábola en el punto P.
contenido
salir
<
>
Slide 31
Consideremos una parábola horizontal que se abre hacia la
derecha cuyo foco es el punto F(p, 0) y sea P ( x 1 , y 1 ). Entonces
el punto Q tiene coordenadas ( p , y 1 ) .
El punto medio del segmento QF
es el punto y
T
Q
0,
2
1
Y la recta T que pasa por P y el
el punto medio del segmento
QF es
y
1
y1
( y y1 ) 2
0 x1
Simplificando
contenido
directiz
( x x 1 )
y1
( y y1 )
(x x1)
2x1
salir
<
>
Slide 32
Mediante el mismo razonamiento es posible determinar la
ecuación de la recta tangente en el punto P ( x 1 , y 1 ) a una parábola
con vértice en el punto V( x 0 , y 0 ) .
Si la parábola es horizontal, la ecuación de esta recta es
( y y1 )
y1 y 0
2(x1 x 0 )
(x x1)
Y si la parábola es vertical, la ecuación es
( y y1 )
contenido
salir
2( y1 y 0 )
x1 x 0
(x x1)
<
Geometría Analítica
Parábola
(versión preliminar)
Matemáticas Preuniversitarias
M. C. Consuelo Díaz Torres
contenido
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Función de Ingresos
La función de ingresos de cierto producto está representada
por la expresión
R 125 45 x 0 . 01 x
2
donde x es la cantidad de unidades de producto que se
fabrican.
¿Cuál es el ingreso máximo?
¿Cuál es el nivel de producto para el cual se obtiene el
ingreso máximo?
contenido
salir
<
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Slide 3
Tiro parabólico
Una flecha disparada con ballesta se encuentra a s metros
sobre el piso, t segundos después del disparo. Su altura
está representada por
s 16 t 375 t 81
2
Determina la altura de la flecha 6 segundos y 14 segundos
después de haberla disparado?
¿Cuánto tarda la flecha en llegar al piso?
contenido
salir
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Slide 4
Puentes colgantes
En un puente colgante la distancia entre sus torres es de
200 metros y la altura de las torres es de 100 metros.
Describe la ecuación del cable que soporta al puente.
¿A qué distancia del centro está un puntal de 50 metros de
longitud?
contenido
salir
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Slide 5
Diseño de Faros
Un diseñador de automóviles desea diseñar un faro que
tenga 16 centímetros de diámetro. La bombilla que va a
utilizar en él tiene el filamento a 2 centímetros del cuello.
¿Qué profundidad debe tener el faro para que el filamento
quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla se
coloca a la altura del vértice del faro?
contenido
salir
<
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Slide 6
Definición de Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos del plano que
equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en
ella. La recta fija se llama directriz de la parábola y el
punto fijo se llama foco.
directriz
oco
contenido
salir
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Ejemplo
Encontrar el conjunto de puntos que equidistan del punto
F(1,0) y la recta l cuya ecuación es x = -1.
Solución:
Sea Q(x, y) un punto de este conjunto, entonces debe cumplir
Ax By C
(x x 0 ) (y y 0 )
2
2
A B
2
2
Sustituyendo
( x 1) ( y 0 ) x 1
2
2
Elevando al cuadrado
( x 1) ( y 0 ) ( x 1)
2
2
2
Simplificando
y 4x
2
contenido
salir
<
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Slide 8
Deducción de la Ecuación
Consideremos una parábola cuyo foco está sobre el eje X
en el punto F(p,0), donde p>0, y su directriz es la recta L
cuya ecuación es x = -p.
Un punto P(x, y) que pertenezca a la parábola debe
satisfacer la ecuación
d (P, F) d (P, L )
( x p) ( y 0)
2
2
xp
1
2
Elevando al cuadrado
(x p) y (x p)
2
Simplificando
contenido
2
2
y 4 px
2
salir
<
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Slide 9
Elementos de la parábola
Uno de los puntos de la parábola es el punto medio entre el
foco y la directriz, este punto es el vértice. En este caso el
vértice es el origen.
La distancia que hay entre el vértice y el foco, así como
entre el vértice y la directriz es p. La recta que une al
vértice con el foco y que es perpendicular a la directriz se
conoce como el eje de simetría.
contenido
salir
<
>
Slide 10
Un segmento de recta que une dos puntos de una parábola se
conoce como cuerda de la parábola. La cuerda que pasa por
el foco y es paralela a la directriz, y por tanto perpendicular al
eje de simetría es el lado recto.
La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia
del foco al vértice. Esta longitud indica qué tan abierta o
cerrada es la parábola.
contenido
salir
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Slide 11
Construcción de la Parábola con papel doblado
Con una hoja de papel encerado.
Marca un punto F cerca de un lado, aproximadamente a la mitad de la
hoja.
Dobla el papel de manera que un punto del lado inferior coincida con
el punto F.
Marca el doblez y desdobla.
Sigue haciendo dobleces de manera que los puntos del lado inferior
coincidan con el punto F.
contenido
salir
<
>
Slide 12
Construcción de la Parábola con papel doblado
Si haces suficientes dobleces observarás que la curva que se
forma es una parábola.
Considera que el borde de la hoja es la directriz y el punto F es
el foco. Verifica que el vértice es el punto medio entre la directriz
y el foco.
Toma un punto sobre la parábola y verifica que la distancia del
foco al punto es igual a la distancia del punto a la directriz.
contenido
salir
<
>
Slide 13
Si ahora se tiene el caso de una parábola con vértice en el
origen, el foco está en la parte negativa del eje X y la directriz
es una recta vertical que corta a este eje en la parte positiva,
entonces el foco es F(-p, 0), la directriz es x = p y un punto
P(x, y) sobre la parábola satisface la ecuación
(x p) ( y 0) x p
2
2
Y simplificando
y 4 px
2
contenido
salir
<
>
Slide 14
Se observa que el signo del coeficiente de x indica el lado
hacia el que abre la parábola:
Si el signo del coeficiente de x es positivo, la parábola
se abre hacia la derecha.
Si el signo del coeficiente de x es negativo, la parábola
se abre hacia la izquierda.
contenido
salir
<
>
Slide 15
En el caso en que el foco de
la parábola está sobre el eje
X y la directriz es una recta
vertical se tiene una
parábola horizontal.
En el caso en que el foco de
la parábola está sobre el eje
Y y la directriz es una recta
horizontal se tiene una
parábola vertical.
contenido
salir
<
>
Slide 16
Parábolas verticales
Una parábola con vértice en
el origen, el foco en el punto
F(0, p) y cuya directriz es
y = -p tiene ecuación
x 4 py
2
Una parábola con vértice en
el origen, el foco en el punto
F(0, -p) y cuya directriz es
y = p tiene ecuación
x 4 py
2
contenido
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<
>
Slide 17
Resumen
El siguiente cuadro contiene el resumen de los elementos de
una parábola que tiene vértice en el origen.
E C U A C IÓ N
PO S IC IÓ N
E JE D E
S IM E T R ÍA
X
FO C O
H o rizo ntal
ABRE
H A C IA
D erecha
(p, 0)
E C U A C IÓ N
D IR E C T R IZ
x = -p
y 4 px
y 4 px
H o rizo ntal
Izqu ierda
X
(-p, 0)
x=p
x 4 py
V ertical
A rriba
Y
(0, p)
y = -p
x 4 py
V ertical
A bajo
Y
(0, -p)
y=p
2
2
2
2
contenido
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<
>
Slide 18
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y
la ecuación de la directriz es y = -2.
Solución
La directriz es una recta horizontal, por lo que el eje de
simetría es el eje Y y la parábola es vertical. La distancia de la
directriz al vértice y del vértice al foco es p = 2.
Por tanto la ecuación de la parábola es
x 4(2) y
2
x 8y
2
contenido
salir
<
>
Slide 19
Ejemplo
Encuentra el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es
x 12 y
2
Solución
El eje de simetría de la parábola es el eje Y, ya que la variable
x es la que está elevada al cuadrado, el signo indica que la
parábola se abre hacia abajo.
La directriz es perpendicular al eje de simetría, por lo tanto
es paralela al eje X y la distancia del origen a la directriz y
del origen al foco es
p
12
3
4
Por tanto el foco y la directriz de esta parábola son
F ( 0 , 3)
y
y3
contenido
salir
<
>
Slide 20
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen
y foco en el punto F(5, 0).
Solución
El foco de la parábola está sobre el eje X, en la parte
positiva, por lo que éste es el eje de simetría y en
consecuencia la parábola es horizontal y se abre hacia la
derecha.
La distancia del foco al vértice es p = 5.
Por tanto la ecuación es de la forma
y 4 px
2
Sustituyendo
y 4 ( 5 ) x 20 x
2
Es decir, la ecuación de la parábola es
y 20 x
2
contenido
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<
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Gráfica de la Parábola
Para trazar la gráfica de una parábola se recomienda seguir
este procedimiento:
1. Localizar el vértice.
2. Determinar el valor de p, la distancia del vértice al foco y
del vértice a la directriz.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determinar si la parábola es horizontal o vertical.
Determinar hacia que lado abre la parábola.
Localizar el foco.
Trazar el eje de simetría de la parábola.
Trazar la recta que contiene el lado recto.
Localizar los extremos del lado recto a 2p unidades del foco.
contenido
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Ejemplo
Trazar las gráficas de las parábolas
2
a) x 8 y
b) x 2 12 y
c)
y 20 x
2
contenido
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Forma estándar de la
Ecuación de la Parábola
Hasta ahora se ha considerado que la parábola tiene vértice en el
origen. ¿Que pasa cuando el vértice no está en el origen?
En este caso no es posible aplicar directamente las ecuaciones
que ya hemos visto. ¿Cuales son los cambios?
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto
V(3 ,4) y su foco es F(3,6).
contenido
salir
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Solución
Como el foco se encuentra
arriba del vértice, la parábola
se abre hacia arriba.
La distancia entre el vértice y
el foco es p = 2, así que la
directriz está 2 unidades
abajo del vértice y es paralela
al eje X.
Si consideramos los ejes X’ y Y’ como en la figura, la ecuación
2
sería
(x ' ) 8y'
Pero ¿qué relación hay entre los planos X’Y’ y XY?
Observa que x ' x 3 y y ' y 4
2
( x 3) 8 ( y 4 )
Por tanto al ecuación de la parábola es
contenido
salir
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Slide 25
Resumen
En general, cuando el vértice de la parábola está en el punto
V ( x 0 , y 0 ), las ecuaciones de las parábolas en su forma
estándar y sus elementos, en los diferentes casos, son las
siguientes
E C U A C IÓ N
P O S IC IÓ N
(y y0 ) 4p(x x 0 )
H o rizo nta l
ABRE
H A C IA
D erecha
(x 0 p, y 0 )
E C U A C IÓ N
D IR E C T R IZ
x x0 p
(y y 0 ) 4p(x x 0 )
H o rizo nta l
Izqu ierda
(x 0 p, y 0 )
x x0 p
(x x 0 ) 4p(y y0 )
V ertica l
A rriba
(x 0 , y0 p)
y y0 p
(x x 0 ) 4p(y y 0 )
V ertica l
A ba jo
(x 0 , y0 p)
y y0 p
2
2
2
2
contenido
salir
FO C O
<
>
Slide 26
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene foco F(1, -2) y
vértice V(4, -2) y traza su gráfica.
Solución
En este caso el foco está a la izquierda del vértice, por lo que la
parábola se abre hacia la izquierda, la distancia entre el foco y
el vértice es p = 3. Entonces se tiene que la ecuación es de la
forma
2
( y y ) 4p(x x )
0
Sustituyendo
0
( y ( 2 )) 4 ( 3 )( x 4 )
2
Desarrollando se tiene
y 4 y 12 x 44 0
2
¿Cómo es su gráfica?
contenido
salir
<
>
Slide 27
Ejemplo
Encuentra el foco, el vértice y la directriz de la parábola que
tiene como ecuación
x 2 x 20 y 119 0
2
Solución
Para encontrar fácilmente los elementos de la parábola se debe
escribir en su forma estándar, para lo cual es necesario
completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es,
( x 2 x 1) 1 20 y 119 0
2
( x 1) 20 y 120 20 ( y 6 )
2
( x 1) 4 ( 5 )( y 6 )
2
Entonces, el vértice es el punto V(1, -6) y como p = 5, el
foco es F(1, -1) y la directriz tiene como ecuación y 11 .
¿Cómo es su gráfica?
contenido
salir
<
>
Slide 28
Recta Tangente a la Parábola
Dados una recta y una parábola puede suceder:
La recta no corta a la parábola.
La recta corta a la parábola en
dos puntos.
La recta corta a la parábola en un solo punto:
Recta paralela al eje de simetría
contenido
salir
Recta tangente
<
>
Slide 29
¿Como podemos encontrar la ecuación de la recta tangente
a la parábola en un punto dado?
Observemos en la figura que, dado un punto P en la parábola,
se forma un triángulo isóseles con vértices en los puntos P, F
y Q. La recta T es la bisectriz del ángulo QPF y también es
la mediatriz del segmento QF.
T
Q
directiz
contenido
salir
<
>
Slide 30
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola
2
y 4 x en el punto (2,3).
Solución
P
De la gráfica podemos ver
Q
que los puntos Q y F tienen
coordenadas (-1, 3) y (1, 0)
F
respectivamente.
El punto medio del segmento
QF es (0, 3/2).
La recta que pasa por P y el punto medio del segmento QF
es
3
3
2
( y 3)
20
( x 2)
o
y
3
4
x
3
2
Que es la recta tangente a la parábola en el punto P.
contenido
salir
<
>
Slide 31
Consideremos una parábola horizontal que se abre hacia la
derecha cuyo foco es el punto F(p, 0) y sea P ( x 1 , y 1 ). Entonces
el punto Q tiene coordenadas ( p , y 1 ) .
El punto medio del segmento QF
es el punto y
T
Q
0,
2
1
Y la recta T que pasa por P y el
el punto medio del segmento
QF es
y
1
y1
( y y1 ) 2
0 x1
Simplificando
contenido
directiz
( x x 1 )
y1
( y y1 )
(x x1)
2x1
salir
<
>
Slide 32
Mediante el mismo razonamiento es posible determinar la
ecuación de la recta tangente en el punto P ( x 1 , y 1 ) a una parábola
con vértice en el punto V( x 0 , y 0 ) .
Si la parábola es horizontal, la ecuación de esta recta es
( y y1 )
y1 y 0
2(x1 x 0 )
(x x1)
Y si la parábola es vertical, la ecuación es
( y y1 )
contenido
salir
2( y1 y 0 )
x1 x 0
(x x1)
<