Presentación. Ejercicios resueltos. La Circunferencia y la Parábola.
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Transcript Presentación. Ejercicios resueltos. La Circunferencia y la Parábola.
LA CIRCUNFERENCIA Y
LA PARÁBOLA
UNIDAD 13
OBJETIVOS
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
Objetivo 2.
Recordarás y aplicarás la definición de
la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia
cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2,
4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de AB
h
x1 x 2
2 6
k
2
2
y1 y 2
4
2
4 2
2
2
2
2
C (2, 1)
1
2
Radio = distancia de C a A
r d CA
2 2
16 9
2
4 1
25 5
2
r 5
Cont…ejercicio resuelto 1
Ecuación de la circunferencia:
x 2
2
y 1 25
2
x 4 x 4 y 2 y 1 25 0
2
2
x y 4 x 2 y 20 0
2
2
2. Determina la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo
centro está situado en la recta x 3 y 11 0
Por la definición del lugar geométrico de una
circunferencia con centro en C(h, k): d CA d CB
h 2 2
h 2 2
h 4h 4 k
2
2
k 3
2
h 1 2
k 1
k 3 h 1 k 1
2
2
2
2
6k 9 h 2h 1 k
2
2
2k 1
6 h 4 k 11 0
6 h 4 k 11 0 ....................(1)
C(h, k) es un punto de la recta x 3 y 11 0
por lo tanto satisface su ecuación:
h 3 k 11 0 ...............(2)
Cont…..ejercicio resuelto 2.
Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)
simultáneas:
6 h 4 k 11 0
h 3 k 11 0
h 3 k 11
6 3 k 11 4 k 11 0
22 k 55
5
h 3 11
2
k
5
2
7
2
5
7
C ,
2
2
Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es
2
2
7
5
130
x y
2
2
4
o, en la forma general,
x 7x
2
49
4
y 5y
2
25
4
130
4
x y 7 x 5 y 14 0
2
2
0
3. Encuentra la ecuación de la circunferencia
inscrita en el triángulo cuyos lados son las
rectas: R : 2 x 3 y 21 0
1
R2 : 3x 2 y 6 0
R3 : 2 x 3 y 9 0
El término “inscrita” indica que la circunferencia
está dentro del triángulo y su centro, el punto
C(h, k), es el punto donde se intersectan las
bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo.
Ver la siguiente figura
Cont….ejercicio resuelto 3
Ecuación de la bisectriz
(1) del ángulo que
forman las rectas R1 y
R2 :
2 x 3 y 21
2 3
2
2 x 3 y 21
13
3x 2 y 6
2
3 2
2
2
Ecuación de la
bisectriz (2) del
ángulo que forman las
rectas R1 y R3:
2 x 3 y 21
13
2x 3y 9
13
3x 2 y 6
13
2 x 3 y 21 2 x 3 y 9
2 x 3 y 21 3 x 2 y 6
5 x 5 y 15 0
x y3 0
6 y 12 0
Cont…..ejercicio resuelto 3
Con estas dos bisectrices se
encuentra el punto
=
donde se intersectan las tres, que es el centro de la
circunferencia de coordenadas (h, k):
De la bisectriz (2):
y
6 y 12 0
12
6
En la bisectriz (1):
x y3 0
2= k
x 2 3 1 =
h
El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas,
por ejemplo a R3:
2 1 3 2 9
r
2 3
2
13
13
13
2
La ecuación de la circunferencia es:
x 1 2
y 2 13
2
x 2 x 1 y 4 y 4 13 0
2
2
x y 2x 4 y 8 0
2
2
Índice
Objetivo 3.
Recordarás las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia
y la necesidad de conocer tres constantes
independientes para determinar la
ecuación de esta curva. Utilizarás estos
conceptos para resolver problemas.
Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y
determina si representa una circunferencia real, un
punto o ningún lugar geométrico real.
1.
x y 8 x 6 y 29 0
2
2
x 8 x 16 y 6 y 9 29 16 9
2
2
x 4
2
y 3 4
2
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.
3x 3 y 6 x 6 y 6 0
2
2
x y 2x 2 y 2 0
2
2
x 2x 1 y 2 y 1 2 1 1
2
2
x 1
2
y 1 4
2
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.
3. Encuentra la forma canónica de la
ecuación de la circunferencia que pasa por
los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
1 h
2
2 k r ......................(1)
2
2
5 h
2
2 k r ......................(2)
3 h
2
4 k r ......................(3)
2
2
2
2
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
1 h
2
1 h
2
2 k 5 h 2 k
2
2
2
2 k 3 h 4 k
2
2
........(4)
2
........(5)
De (4): 1 2 h h 2 4 4 k k 2 25 10 h h 2 4 4 k k 2
8 h 24
h 3
Cont….ejercicio resuelto 3
De (5): 1 2 h h 4 4 k k 9 6 h h 16 8 k k
2
2
4 h 4 k 20
Sustituyendo h:
2
2
hk 5
3k 5
k 2
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)
2
2
En (1):
2
1 3 2 2 r
1 h 2 2 k 2 r 2
2
40 r
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica
de la ecuación es:
x 3
2
y 2 4
2
Índice
Objetivo 4.
Recordarás y aplicarás la definición
de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la
forma canónica y en la forma
general.
1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de
la directriz y la longitud del lado recto de la
parábola 3 y 2 8 x
3 y 8x
2
y
2
8
3
x 4p
8
p
2
> 0
3
3
El vértice está en el origen, el eje de la parábola
es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la
parábola tiene:
2
Vértice en (0, 0)
Foco en , 0
3
Directriz
x
Lado recto
2
Eje de la parábola
3
LR
8
3
y=0
2. Encuentra la ecuación de la parábola de
vértice en la recta 7 x 3 y 4 0 eje horizontal y
que pasa por los puntos (3, –5) y 3
Eje horizontal
→
y k 2
4 p x h
,1
2
El punto (3, –5) pertenece a la parábola
5 k
3
El punto ,1 pertenece a la parábola
2
2
1 k
V(h, k) pertenece a la recta
→
→
2
4 p 3 h
→
3
4 p h
2
7 h 3k 4 0
Cont….ejercicio resuelto 2
Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
25 10 k k 12 p 4 ph 25 10 k k 2 12 p 4 ph 0
2
1 2 k k 6 p 4 ph 1 2 k k
2
2
6 p 4 ph 0
7 h 3k 4 0
en el que dos de las ecuaciones son de segundo
grado.
Al restar una de otra se pueden eliminar los
términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado:
Cont……..ejercicio resuelto 2.
k 10 k 12 p 4 ph 25 0
2
k 2k
2
6 p 4 ph 1 0
12 k 6 p
24 0
En esta ecuación se puede despejar p en función
de k, y en la tercera ecuación del sistema
original se puede despejar h en función de k:
12 k 6 p 24 0
7 h 3k 4 0
2k p 4 0
7 h 4 3k
p 2k 4
h
4 3k
7
Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones
de segundo grado (en este caso en la
segunda) queda: k 2 k 6 2 k 4 4 2 k 4 4 3 k 1 0
2
7
4 3k
2
k 2 k 12 k 24 8 k 16
1 0
7
7 k 14 k 84 k 168 8k 16 4 3k 7 0
2
7 k 98 k 168 32 k 24 k 64 48 k 7 0
2
2
17 k 114 k 97 0
2
17 k 114 k 97 0
2
k
114
114 4 17 97
2
34
k 1
y
k 97
17
Cont….ejercicio resueltos 2.
Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a)
k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:
b)
L
k
97
17
h
119
2
Ecuación:
359
y 1 2
4p
504
17
97
504
359
y
x
17
17
119
8 x 1
3. Encuentra la altura de un punto situado a una
distancia de 8m del centro del arco parabólico
que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el
plano de manera que el
eje x sea la base del
arco y el origen el punto
medio de la base, como
la base mide 24m los
dos puntos en que el
arco cruza al eje x son
(–12, 0) y (12, 0); su
vértice está en (0, 18) y
el punto situado a 8m
del centro del arco tiene
coordenadas (8, 0)
Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma:
x h 2 4 p y k
x 0 2
4 p y 18
x 4 p y 18
2
La curva pasa por (12, 0), de modo que
12
2
4 p 0 18
144 72 p
p 2
Ecuación de la parábola: x 8 ( y 18 )
Altura del arco a 8m del centro:
2
8
2
8 y 18
8 y 144 64
y
80
10
8
Altura: 10m
Índice
Objetivo 5.
Recordarás y aplicarás las
características de los coeficientes de
una ecuación de segundo grado que
representa a una parábola, y la
necesidad de tres condiciones para
determinar su ecuación.
1. Determina el lugar geométrico que
2
representa la ecuación y 4 x 7
En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo
tanto representa a una parábola. Como el
término al cuadrado es el de y, su eje es
paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma
canónica es: y 2 4 x 7
y
2
4 x 7
y 0
de modo que el vértice es:
2
7
4 x
4
7
V ,0
4
Entonces el eje de la parábola coincide con el eje
y.
Índice