Transcript PAINE-DEFORMATSIOON_Keerukas_koormus

TUGEVUSÕPETUS
MASINAELEMENTIDE ja PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL
PAINE-DEFORMATSIOON:
Keerukas koormus
p = 15 kN/m
300
F = 20 kN
500
Priit Põdra
p = 15 kN/m
1000
1600
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
1
1. Algandmed ja ülesande püstitus
Priit Põdra
1.1. Ühtlane konsooliga tala
Arvutada INP140-profiiliga tala läbipaine ja pöördenurk
konsoolses otsas ning suurim läbipaine tugede vahel !
p = 15 kN/m
66
p = 15 kN/m
140
5,7
y
500
1000
8,6
300
F = 20 kN
1600
z
Materjal: teras S355
Elastsusmoodul: E = 210 GPa
Nõutav varutegur: [s] = 2,5
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
3
1.2. Toereaktsioonid (1)
p = 15 kN/m
C
FRes1
500
F = 20 kN
FA
A
FB
p = 15 kN/m
H
G
300
FRes2
B
1000
1. tasakaaluvõrrand
A 
M
 0
Kõikide
momentide
summa punkti
A suhtes
1600
CA 2
GH 

F  CA  p
 p  GH   AG 
  FB  AB  0
2
2 

CA 2
GH 

F  CA  p
 p  GH   AG 

2
2 

FB 

AB
2
0,5
1

20  0,5  15
 151  0,3  
2
2


 12,57  12,6 kN
1,6
Priit Põdra
Pöördemomentide summa on
otstarbekas arvutada sellise
punkti suhtes, mida läbib
mõne tundmatu väärtusega
jõu mõjusirge (punktid A ja B)
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
4
1.2. Toereaktsioonid (2)
p = 15 kN/m
FA
A
C
FRes1
500
F = 20 kN
FB
p = 15 kN/m
H
G
300
FRes2
B
2. tasakaaluvõrrand
B
M
 0
1000
1600
Kõikide
momentide
summa punkti
B suhtes
 CA

 GH

F  CB  p  CA  
 AB  FA  AB  p  GH  
 HB  0
 2

 2

 CA

 GH

F  CB  p  CA  
 AB  p  GH  
 GB 
 2

 2

FA 
AB
 0,5

1

20  2,1  15  0,5  
 1,6   15  1    0,3 
 2

2
  10,07  10,1 kN

1,6
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
5
1.3. Paindemomendi epüür
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
FB = 12,6 kN
H
G
J
K
300
x
Ohtlik ristlõige on K
1000
MK = 9,1 kNm
1600
F = 20 kN
z
C
B
840
500
Siire
üles (-)
Paindemomendi M
epüür on ühemärgiline
M kNm
3,8
4,6
8,2
8,9
Kogu tala on ühte pidi kõver
(alumised kiud on tõmmatud)
9,1
A
B
Siire alla (+)
Priit Põdra
Sisejõudude analüüsi
tulemused
p = 15 kN/m
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
Konsoolse otsa C
siire on üles
Tugede vahel on
siire alla
6
2. Painde universaalvõrrandid
Priit Põdra
2.1. Painde universaalvõrrandid (1)
Läbipaine kohal x

v
Pöördenurk kohal x
A
C
B
x
z
x
Elastne joon
Elastse joone puutuja kohal x
Läbipainde universaalvõrrand
 x  aM 2

Pöördenurga universaalvõrrand vEI  v0 EI   0 xEI   M
 Hx  a M  
2


EI   0 EI   M x  a  Hx  aM  
M
 x  a F 3

2
  F
 Hx  a F  
 x  a F 

6
  F
 H x  a F  


2


 x  a p 4

3
 p
 Hx  a p 
 x  ap

24


 p
 H x  ap 
6


Priit Põdra







PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
8
2.1. Painde universaalvõrrandid (2)
Pöördenurga universaalvõrrand

 Hx  a 
Läbipainde universaalvõrrand
 x  aM 2

M
vEI  v0 EI   0 xEI   M
 Hx  a M  
2
 x  a F 

2


  F
 H x  a F  
3


2


x

a


F
Läbipaine
  F
 Hx  a F  
kohal x = 0
 x  a p 3

6


 p
 Hx  a p 
4
 x  a p 

6
Pöördenurk


 p
 Hx  a p 
kohal x = 0
24


Koormuste mõju
EI   0 EI   M x  a
M
x
M
Heaviside’i funktsioon
p
F
x
M(x)
y
aM
aF
Priit Põdra
ap
0, kui x  a
Hx  a   
1, kui x  a
Kõik sellise suunaga koormused on võrrandites märgiga ”+”
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
9
2.2. Ekvivalentne arvutusskeem
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
H
G
B
x
Paindedeformatsioonide
väärtused sõltuvad nii
joonkoormuse algus- kui
ka lõppkohast
F = 20 kN
PROBLEEM: Universaalvõrranditesse läheb vaid iga
joonkoormuse alguskoha
koordinaat
z
Ekvivalentne arvutusskeem
p3 = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
FA = 10,1 kN
p1 = 15 kN/m
G
C
H
B
x
A
F = 20 kN
z
Priit Põdra
p2 = 15 kN/m
Tala joonkoormusi tuleb
muuta nii, et:
• kõik ulatuksid kuni tala
lõpuni ning
• joonkoormuste painutav
mõju ei muutu
p4 = 15 kN/m
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
10
2.3. Universaalvõrrandite parameetrid
Ekvivalentne arvutusskeem
p3 = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
FA = 10,1 kN
p1 = 15 kN/m
G
C
H
B
x
A
F = 20 kN
z
p2 = 15 kN/m
p4 = 15 kN/m
aFA = ap2
ap3
Universaalvõrrandite
parameetrid
F   a F  0
FA   a FA  0,5 m
FB  
p1  
p 2  
p3  
a FB
a p1
a p2
a p3
 2,1 m
0
 0,5 m
 0,8 m
p 4   a p 4  1,8 m
ap4
aFB
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
11
2.4. Pöördenurga võrrand

EI   0 EI   M x  a
M
 Hx  a 
M
 x  a F 

  F
 H x  a F  
2


3
 x  a p 

 p
 Hx  a p 
6


2
EI   0 EI 
aFB = xmax

FB jääb välja alati
ap1 = 0

H(x - 0) = 1 alati

H(x - 0) = 1 alati
aF = 0
aF = 0
Heaviside’i funktsioon
0, kui x  a
Hx  a   
1, kui x  a
FA
F
2
x  a F  H x  a F   x  a FA 2 H x  a FA  
2
2
H(x - xmax) = 0, kui x < xmax
FB
2
x  a FB  H x  a FB  
ap1 = 0
2
p1
p2
3
x  a p1  H x  a p1   x  a p 2 3 H x  a p 2  
6
6
p3
x  a p3 3 H x  a p3   p4 x  a p 4 3 H x  a p 4 
6
6
F 2 FA
x  0,52 H x  0,5  p1 x 3  p2 x  0,53 H x  0,5 
x 
2
2
6
6
p
p
3
3
 3 x  0,8 H x  0,8  4 x  1,8 H x  1,8
6
PAINE-DEFORMATSIOON --6keerukas koormus
EI   0 EI 
Priit Põdra
12
2.5. Läbipainde võrrand
 x  aM 2

vEI  v0 EI   0 xEI   M
 Hx  a M  
2


3
 x  a F 

  F
 Hx  a F  
6


 x  a p 4

 p
 Hx  a p 
24


H(x - 0) = 1 alati
aF = 0
aF = 0
Heaviside’i funktsioon
0, kui x  a
Hx  a   
1, kui x  a
F
x  a F 3 H x  a F   FA x  a FA 3 H x  a FA  
6
6
aFB = xmax
H(x - xmax) = 0, kui x < xmax
F
3
FB jääb välja alati
 B x  a FB  H  x  a FB  
ap1 = 0
6
ap1 = 0
p1
p2
4
x  a p 2 4 H x  a p 2  
 x  a p1  H x  a p1  
24
24
H(x - 0) = 1 alati
p3
p4
4
x  a p3  H x  a p3   x  a p 4 4 H x  a p 4 

24
24
vEI  v0 EI   0 xEI 
p1 4 p 2
F 3 FA
3




x  0,54 H x  0,5 
vEI  v0 EI   0 xEI  x 
x  0,5 H x  0,5 
x 
6
6
24
24
p
p
4
4
 3 x  0,8 H x  0,8  4 x  1,8 H x  1,8
24
24 koormus
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas
Priit Põdra
13
2.6. Võrrandite algkujud
Pöördenurga universaalvõrrand
F 2 FA
x  0,52 H x  0,5  p1 x 3  p2 x  0,53 H x  0,5 
x 
2
2
6
6
p
p
3
3
 3 x  0,8 H x  0,8  4 x  1,8 H x  1,8
6
6
EI   0 EI 
Läbipainde universaalvõrrand
F 3 FA
x  0,53 H x  0,5  p1 x 4  p2 x  0,54 H x  0,5 
x 
6
6
24
24
p
p
4
4
 3 x  0,8 H x  0,8  4 x  1,8 H x  1,8
24
24
vEI  v0 EI   0 xEI 
Nende võrrandite abil saab arvutada iga ristlõike
(mille koordinat on x) pöördenurga ja läbipainde
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
14
2.7. Parameetrid v0 ja 0 (1)
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
H
G
B
x
F = 20 kN
z
Siin ei saa olla
läbipainet
Siin ei saa olla
läbipainet
Tugedel ei saa olla
läbipainet
kummaski suunas,
s.t. tugedel v = 0
Ääretingimused läbipainde võrrandile
Kui
x  CA  0,5 m , siis v  vA  0
Kui
x  CB  2,1 m , siis v  vB  0
F 3 FA
x  0,53 H x  0,5  p1 x 4  p2 x  0,54 H x  0,5 
x 
6
6
24
24
p
p
4
4
 3 x  0,8 H x  0,8  4 x  1,8 H x  1,8
24
24
vEI  v0 EI   0 xEI 
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
15
2.7. Parameetrid v0 ja 0 (2)
Kui
0, kui x  a
Hx  a   
1, kui x  a
x  CA  0,5 m , siis v  0
=0
F
p
p
F
3
4
0,53  A 0,5  0,5 H 0,5  0,5  1 0,5 4  2 0,5  0,5 H 0,5  0,5 
6
6
24
24
=0
p3
p4
4
4









0,5  0,8 H 0,5  0,8 
0,5  1,8 H 0,5  1,8
24
24
0  v0 EI   0  0,5EI 
=0
=0
REEGEL: Universaalvõrrandisse jäävad vaid need koormused,
mis mõjuvad antud koordinaadist x vasakul
20  103
15  103
3
0  v0 EI  0,5 0 EI 
 0,5 
 0,5 4
6
24
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
v0 EI  0,50 EI  378
16
2.7. Parameetrid v0 ja 0 (3)
Kui
0, kui x  a
Hx  a   
1, kui x  a
x  CA  2,1 m , siis v  0
=1
F 3 FA
2,1  0,53 H 2,1  0,5  p1 2,14  p2 2,1  0,54 H 2,1  0,5 
2,1 
6
6
24
24
p3
=1
p4
4
4









2,1  0,8 H 2,1  0,8 
2,1  1,8 H 2,1  1,8
24
24
0  v0 EI   0  2,1EI 
=1
=1
20  103 3 10,1  103
15  103 4
3
2,1  0,5 
0  v0 EI  2,1 0 EI 
2,1 
2,1 
6
6
24
3
3
15  10
15  10
15  103
4
4
2,1  0,5 
2,1  0,8 
2,1  1,84

24
24
24
v0 EI  2,10 EI  14136
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
17
2.8. Võrrandite lõppkujud
0 EI  8599
v0 EI  0,50 EI  378
v0 EI  2,10 EI  14136
0 on pöördenurk kohal x = 0 ehk 0 = C
v0 EI  3922
v0 on läbipaine kohal x = 0 ehk v0 = vC
Pöördenurga universaalvõrrand
EI  8599  10000x 2  5050x  0,52 H x  0,5  2500x 3  2500x  0,53 H x  0,5 
 2500x  0,8 H x  0,8  2500x  1,8 H x  1,8
3
3
Läbipainde universaalvõrrand
vEI  3922 8599x  3330x 3  1683x  0,5 H x  0,5  625x 4  625x  0,5 H x  0,5 
3
4
 625x  0,8 H x  0,8  625x  1,8 H x  1,8
4
Priit Põdra
4
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
18
3. Konsoolse otsa siirded
Priit Põdra
3.1. Tala ristlõike parameetrid
Telg-tugevusmomnt
Wx  81,9 cm3
Tabeli Wx vastab selles
ülesandes Wy-le
Telg-inertsimomnt
I x  573cm4
Tabeli Ix vastab selles
ülesandes Iy-le
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
20
3.2. Konsoolse otsa läbipaine ja pöördenurk
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
p = 15 kN/m
H
G
B
x
y
F = 20 kN
z
Elastse joone
puutuja kohal C
Elastne joon
Konsoolse otsa läbipaine
v0 EI  3922
5,7
vC  v0 
8,6
C
66
FB = 12,6 kN
140
vC = v0
INP140 ristlõige
z
 3922
 3922

 0,00325 m  3,3 mm
9
8
EI
210  10  573  10
”-” näitab, et siire on z-telje negatiivses suunas, ehk üles
Konsoolse otsa pöördenurk
0 EI  8599
Priit Põdra
C  0 
8599
8599



0
,
00714

0
,
0071
rad

0
,
41
EI
210  10 9  573  10 8
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
21
4. Suurim läbipaine tugede vahel
Priit Põdra
4.1. Suurima läbipainde asukoha määrang
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
G
H
B
F = 20 kN
vmax
x
Elastne joon
z
PROBLEEM: Suurima läbipainde
asukoht telgede vahel ei ole teada
Läbipaine tugede vahel on SUURIM
seal, kus elastse joone puutuja on
horisontaalne ehk kohal, kus  = 0
Tuleb varda lõigul GH
otsida üles koht, kus
elastse joone
pöördenurk  = 0
PROGNOOS: Suurima läbipainde
asukoht telgede vahel paikneb lõigul GH
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
23
4.2. Elastse joone võrrand lõigul GH
p3 = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
REEGEL: Universaalvõrrandisse
jäävad vaid need koormused,
mis mõjuvad antud
koordinaadist x vasakul
FA = 10,1 kN
p1 = 15 kN/m
G
C
H
B
x
A
F = 20 kN
Lõigu GH jaoks tulevad
võrrandisse koormused
p2 = 15 kN/m
(mille H = 1)
p4 = 15 kN/m
z
F; FA; p1; p2; p3
EI  8599  10000x 2  5050x  0,52 H x  0,5  2500x 3  2500x  0,53 H x  0,5 
 2500x  0,8 H x  0,8  2500x  1,8 H x  1,8
3
3
 GH EI  8599  10000x 2  5050x  0,52  2500x 3  2500x  0,53 
Otsida selline
x lõigul GH,
mille korral
GHEI = 0
 2500x  0,8
3
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
24
4.3. Suurima läbipainde asukoht (1)
Pöördenurga võrrand lõigule GH
 GH EI  8599  10000x  5050x  0,5  2500x  2500x  0,5
2
2
3
 2500x  0,8
3
Kuupvõrrandit saab lahendada
Cardano valemitega
3
Juhul, kui selline x, mille
 korral GHEI = 0, lõigul GH
puudub, ei asu suurim
läbipaine sellel lõigul GH
LIHTSAM on lahendit otsida proovimise teel
HÜPOTEES: Suurim läbipaine on tugede vahel keskel, kus x = 1,3 m
GH EI  8599  100001,32  50501,3  0,52  25001,33  25001,3  0,53  25001,3  0,83  544
-544  0; märk ”-” näitab, et otsitav koht on antud kohast vasakul
Kui x = 1,2 m
GH EI  8599  100001,22  50501,2  0,52  25001,23  25001,2  0,53  25001,2  0,83  296
296  0; märk ”+” näitab, et otsitav koht on antud kohast paremal,
s.t. lõigul x = (1,2 ... 1,3) m ning lähemal kohale x = 1,2 m
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
25
4.3. Suurima läbipainde asukoht (2)
Kui x = 1,23 m
 GH EI  8599  10000 1,232  50501,23  0,52  2500 1,233  25001,23  0,53 
 25001,23  0,8  39,5
3
39,5  0; märk ”+” näitab, et otsitav koht
on antud kohast paremal
Kui x = 1,24 m
 GH EI  8599  10000 1,242  50501,24  0,52  2500 1,243  25001,24  0,53 
 25001,24  0,8  45,16
3
-45,16  0; märk ”-” näitab, et otsitav koht
on antud kohast vasakul
Tala suurima läbipainde asukoht on piirkonnas: x = (1,23 ... 1,24) m ligikaudu keskel
Suurima läbipainde koordinaat lõigul GH
xv  max
Priit Põdra
1,23  1,24
 vL 
 1,235 m
2
Asukoha täpsemaks tuvastamiseks
puudub praktiline vajadus
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
26
4.4. Tala suurim läbipaine tugede vahel (1)
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
p = 15 kN/m
H
G
K
840
Arvutada tala
läbipaine
kohal L
1000
500
z
x
L
F = 20 kN
300
B
vmax
C
FB = 12,6 kN
1600
1235
Suurima läbipainde asukoht
(xL = 1,235 m)
vEI  3922 8599x  3330x 3  1683x  0,5 H x  0,5  625x 4  625x  0,5 H x  0,5 
3
4
 625x  0,8 H x  0,8  625x  1,8 H x  1,8
4
Priit Põdra
4
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
27
4.4. Tala suurim läbipaine tugede vahel (1)
vEI  3922 8599x  3330x 3  1683x  0,5 H x  0,5  625x 4  625x  0,5 H x  0,5 
3
4
 625x  0,8 H x  0,8  625x  1,8 H x  1,8
4
4
=1
v L EI  3922 8599 1,235  3330 1,2353  16831,235  0,5 H 1,235  0,5  625 1,2354 
3
=1
 6251,235  0,5 H 1,235  0,5  6251,235  0,8 H 1,235  0,8
4
4
 6251,235  1,8 H 1,235  1,8
4
=1
=0
Läbipaine ristlõikes L
vL EI  2365,3  2365
2365
2365
vL 

 0,00196 m  2,0 mm
9
8
EI
210  10  573  10
”+” näitab, et siire on z-telje positiivses suunas, ehk alla
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
28
5. Tala tugevuse kontroll
Priit Põdra
5.1. Tala tugevusvarutegur
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
H
G
J
Ühtlase tala ohtlik ristlõige on K
B
x
K
F = 20 kN
Q
kN
Suurim paindepinge
z
12,6
2,4
 max
12,5
20
M kNm
M
9,1  103



6
W 81,9  10
 111,1  106 P a  112 MPa
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
Tugevuse kontroll paindel
 MPa
66
112
140
5,7
INP140
8,6
y
y
355
S 

 3,16  3,1  S   2,5
 max 112
Ristlõike K tugevus paindel on tagatud
112
z
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
30
6. Jätkuülesanne
Priit Põdra
6.1. Jätkuülesande püstitus
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
A
C
H
G
B
x
2,0
L
300
y
8,6
F = 20 kN
5,7
140
3,3
66
1000
1600
500
z
1235
z
Kontrollida läbipainete väärtusi
ristlõigetes C ja L Mohr’i algoritmi abil !
Materjal: teras S355
Elastsusmoodul: E = 210 GPa
Ristlõike profiil: INP140
Ristlõike inertsimoment: I = 573 cm4
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
32
6.2. Mohr’i algoritm paindesiirete arvutamiseks
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
A
C
p = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
1. Koostatakse tala paindemomendi M epüür
H
G
J
B
x
K
F = 20 kN
Q
kN
z
12,6
2,4
12,5
20
M kNm
2. Paindemomendi M epüür jagatakse
pidevateks lõikudeks
3. Tala selles kohas, mille läbipainet on tarvis
arvutada, rakendatakse ühikjõud F = 1
4. Koostatakse ühikjõule vastav tala
paindemomendi epüür m
3,8
4,6
5. Paindemomendi m epüür jagatakse
pidevateks lõikudeks
6. Paindemomentide M ja m funktsioonid viiakse Mohr’i algoritmi
8,2
8,9
9,1
l
Läbipaine
antud kohas
l1
l2
vEI   Mmdx   M 1 m1 dx   M 2 m2 dx  ... 
0
0
l1
l = tala pikkus
Tala paindejäikus
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
ln
M
n
mn dx
l ( n 1)
n = paindemomentide M ja m
ühiste pidevusvahemike arv
33
6.3. Paindemomendi M pidevusvahemikud
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
Paindemomendi M
pidevusvahemikud
1. Lõik CA:
paindemomendi
funktsioon on
parabool
H
G
J
K
300
B
x
840
1000
500
1600
F = 20 kN
M kNm
z
2. Lõik AG:
paindemomendi
funktsioon on
sirge
3. Lõik GH: paindemomendi
funktsioon on parabool
Priit Põdra
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
3,8
4,6
8,2
Parabool
8,9
9,1
Sirge
Parabool
Sirge
4. Lõik HB: paindemomendi
funktsioon on sirge
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
34
6.4. Ristlõike C läbipaine
Priit Põdra
6.4.1. Ristlõike C ühikjõu paindemoment
FB = 12,6 kN
Ristlõikes C on tarvis
arvutada läbipainde
väärtus
F=1
A
C
B
x
1600
500
0,5
Ristlõikes C
rakendatakse
ühikjõud F = 1
m m
z
Sirge
Paindemomendi m väärused
mC  0
mA  F  CA  1  0,5  0,5 m -
mB  0
Priit Põdra
Negatiivsed kiud
on tõmmatud
Sirge
Paindemomendi m pidevusvahemikud
1. Lõik CA: paindemomendi funktsioon
on sirge
2. Lõik AB: paindemomendi funktsioon
on sirge
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
36
6.4.2. Ristlõike C läbipainde Mohr’i valem
C
A
J
M kNm
G
H
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
0,5
m m
Ristlõike C läbipaine
B
A
G
H
B
C
C
A
G
H
vC EI   Mm dx   M CA mCA dx   M AG mAG dx   M GH mGH dx   M HB mHB dx
Pidevusvahemik CA
Priit Põdra
Pidevusvahemik AG
Pidevusvahemik GH
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
Pidevusvahemik HB
37
6.4.3. Mohr’i integraal pidevusvahemikule CA
J
C
G
A
M kNm
B
H
Simpson’i valem
x
3,8
4,6
1/2
8,2
1/2
8,9
0,5
9,1
(numbriline integreerimine)
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
x2
 Mm dx 
m m
x1
Parameetrid Simpson’i valemisse
x1  xC  0 x2  xA  0,5 m x3  xJ  0,25 m
1/2
M;m
M1
M 2  M A  8,2 kNm m2  mA  0,5
M 3  M J  4,6 kNm m3  mJ  0,25
 M CA mCA dx 
C

Priit Põdra
M2
M3
M 1  M C  0 m1  mC  0
A
1/2
m1
x1
m3
x3
m2
x2
x
x A  xC
M C mC  4M J mJ  M A mA  
6
0,5  0
0  0  4  4600  0,25  8200  0,5  725 Nm3
6
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
38
6.4.4. Mohr’i integraal pidevusvahemikule AG (1)
C
J
M kNm
G
A
H
Lineaarfunktsioone saab integreerida
analüütiliselt (võib ka Simpson’i valemiga)
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
0,5
Sirge võrrandi tuletamine
9,1
m m
Paindemomendi M funktsioon lõigus AG
M;m
x1  xA  0,5 m x2  xG  0,8 m
M 1  M A  8,2 kNm M 2  M G  8,9 kNm
x  0,5
M  8200

0,8  0,5 8900 8200
x  x1
M  M1

x2  x1 M 2  M 1
M AG  2333x  7033
M1
m1
x  x1
m  m1

x2  x1 m2  m1
M2
m2
x1
x2
x
Paindemomendi m funktsioon lõigus AB
x1  xA  0,5 m x2  xB  2,1 m
m1  mA  0,5 m m2  mB  0
Priit Põdra
x  0,5 m   0,5

2,1  0,5 0   0,5
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
mAB  0,3125x  0,6562
39
6.4.4. Mohr’i integraal pidevusvahemikule AG (2)
C
J
M kNm
G
A
H
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
Analüütiline integreerimine
9,1
0,5
m m
2




2333
x

7033
0
,
3125
x

0
,
6562
dx

729
x
 667x  4615dx 


G
0 ,8
0 ,8
A
0,5
0,5
2 0 ,8
 M AG mAB dx 
0 ,8

0 ,8
0 ,8
2
729
x
dx   667xdx   4615dx  729

0,5
0,5
3
0,5
2
3 0 ,8
x
3
0,5
 667
x
2
 4615x 0,5 
0 ,8
0,5
0,8 3  0,5
0,8  0,5 2
 729
 667
 46150,8  0,5  1160,3  1160 Nm 3
3
2
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
40
6.4.5. Mohr’i integraal pidevusvahemikule GH (1)
C
J
G
A
M kNm
N
H
B
x
Simpson’i valem (numbriline integreerimine)
3,8
4,6
x2
8,2
8,9
0,5
9,1
1/2
 Mm dx 
1/2
m m
x1
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
Parameetrid Simpson’i valemisse
x1  xG  0,8 m x2  xH  1,8 m x3  1,3 m
M 1  M G  8,9 kNm m1  mG  0,3125 0,8  0,6562 0,406 m
1/2
M;m
1/2
M2
M3
M1
m1
x1
m2
m3
x3
x2
x
M 2  M H  3,8 kNm m2  mH  0,3125 1,8  0,6562 0,0937 m
p = 15 kN/m
MN
FB = 12,6 kN
H
N
B
p0,5 2
15  0,5 2
M 3  M N  FB 0,8 
 12,6  0,8 
 8,205  8,20 kNm
2
2
x
500
m3  mN  0,31251,3  0,6562 0,2499 0,25 m
800
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
41
6.4.5. Mohr’i integraal pidevusvahemikule GH (2)
J
C
G
A
M kNm
N
H
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
0,5
9,1
1/2
m m
1/2
Numbriline integreerimine
Simpson’i valemiga
x H  xG
G M GH mAB dx  6 M G mG  4M N mN  M H mH  
1,8  0,8
M1  M C  0
8900  0,406  4  8200  0,25  3800

  0,0937  2028 Nm 3
6
H
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
42
6.4.6. Mohr’i integraal pidevusvahemikule HB
J
C
M kNm
G
A
H
R
B
x
Simpson’i valem (numbriline integreerimine)
x2
3,8
4,6
8,2
8,9
0,5
9,1
1/2
1/2
 Mm dx 
x1
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
1/2
M;m
m m
M2
1/2
M3
M1
Parameetrid Simpson’i valemisse
x1  xH  1,8 m x2  xB  2,1 m x3  xR  1,95 m
m1
x1
m2
m3
x3
x2
x
M 1  M H  3,8 kNm m1  mH  0,0937 m M 2  M B  0 m2  mB  0
M 3  M R  1,9 kNm m3  mR  0,3125 1,95  0,6562 0,04682 0,0468m
B
 M HB mAB dx 
H

Priit Põdra
xB  xH
M H mH  4M R mR  M B mB  
6
2,1  1,8
3800  0,0937  4  1900  0,0468  0  0  35,58  35,6 Nm3
6
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
43
6.4.7. Läbipaine ristlõikes C
A
C
FB = 12,6 kN
66
p = 15 kN/m
H
G
B
x
y
2,0
8,6
L
F = 20 kN
300
5,7
140
3,3
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
1000
z
1600
500
1235
z
B
A
G
H
B
C
C
A
G
H
vC EI   Mm dx   M CA mCA dx   M AG mAG dx   M GH mGH dx   M HB mHB dx 
 725 1160 2028 35,6  3948,6  3950 m
Ristlõike C (konsoolse otsa) läbipaine
vC
 3950
 3950


 0,00328 m  3,3 mm
9
8
EI
210  10  573  10
Ristlõike C
läbipaine on
arvutatud õigesti
”-” näitab, et siire on z-telje negatiivses suunas, ehk üles
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
44
6.5. Ristlõike L läbipaine
Priit Põdra
6.5.1. Ristlõike L ühikjõu paindemoment
FB = 12,6 kN
Ristlõikes L on tarvis
arvutada läbipainde väärtus
C
F=1
FA = 0,541
L
A
B
x
Ristlõikes L rakendatakse
ühikjõud F = 1
Toereaktsioon FA
FA  F
1600
500
1235
m m
z
0,5  1,6  1,235  0,5406  0,541
LB
 1
AB
1,6
Paindemomendi m väärused
0,398
Paindemomendi m pidevusvahemikud
mA  0
mL  FA  AL  0,541 1,235 0,5  0,3976 0,398 m
mB  0
Priit Põdra
1. Lõik AL: paindemomendi
funktsioon on sirge
2. Lõik LB: paindemomendi
funktsioon on sirge
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
46
6.5.2. Ristlõike C läbipainde Mohr’i valem
G
A
C
M kNm
L
B
H
x
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
m m
0,398
= 0, sest m = 0
Ristlõike L läbipaine
B
A
G
L
H
B
C
C
A
G
L
H
vL EI   Mm dx   M CA mCA dx   M AG mAG dx   M GL mGL dx   M LH mLH dx   M HB mHB dx
Pidevusvahemik CA
Priit Põdra
Pidevusvahemik AG
Pidevusvahemik GL
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
Pidevusvahemik LH
Pidevusvahemik HB
47
6.5.3. Mohr’i integraal pidevusvahemikule AG (1)
A
C
M kNm
G
L
H
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
m m
Lineaarfunktsioone saab integreerida
analüütiliselt
0,398
Sirge võrrandi tuletamine
Paindemomendi M funktsioon lõigus AG
M AG  2333x  7033
Paindemomendi m funktsioon lõigus AL
x1  xA  0,5 m x2  xL  1,235 m
m1
m2
x1
m1  mA  0 m2  mL  0,398 m
x  0,5
m0

1,235  0,5 0,398  0
Priit Põdra
x  x1
m  m1

x2  x1 m2  m1
m
x2
x
mAL  0,5415x  0,2707
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
48
6.5.4. Mohr’i integraal pidevusvahemikule AG (2)
A
C
M kNm
G
H
L
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
Analüütiline integreerimine
m m
0,398
2




2333
x

7033
0
,
5415
x

0
,
2707
dx

1263
x
 3177x  1904dx 


G
0 ,8
0 ,8
A
0,5
0,5
 M AG mAB dx 
0 ,8
0 ,8
0 ,8
  1263x 2 dx   3177xdx   1904dx  1263
0,5
0,5
3
0,5
2
3 0 ,8
x
3
 3177
0,5
2 0 ,8
x
2
 1904x 0,5 
0 ,8
0,5
0,8 3  0,5
0,8  0,5 2
 1263
 3177
 19040,8  0,5  211,2  211 Nm 3
3
2
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
49
6.5.5. Mohr’i integraal pidevusvahemikule GL (1)
G
A
C
P
M kNm
L
B
H
x
Simpson’i valem (numbriline integreerimine)
x2
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
1/2
1/2
 Mm dx 
x1
m m
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
1/2
M;m
1/2
M2
M3
M1
0,398
Parameetrid Simpson’i valemisse
x1  xG  0,8 m x2  xL  1,235 m x3  xP  1,02 m
m1
x1
m3
x3
m2
x2
x
M 1  M G  8,9 kNm m1  mG  0,5415 0,8  0,2707  0,1625m
ML
p = 15 kN/m
FB = 12,6 kN
H
L
x
565
865
Priit Põdra
B
pLH2
15  0,5652
M 2  M L  FB LB 
 12,6  0,865 

2
2
 8,504  8,50 kNm
m2  mL  0,398 m
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
50
6.5.5. Mohr’i integraal pidevusvahemikule GL (2)
MP
Simpson’i valem (numbriline integreerimine)
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
x2
H
P
 Mm dx 
B
x
L
x1
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
1/2
M;m
782
1/2
M2
M3
M1
1082
pPH2
15  0,7822
M 3  M P  FB PB 
 12,6  1,082 
 9,046  9,05 kNm
2
2
m3  mP  0,54151,02  0,2707 0,2816m
m1
x1
m3
x3
m2
x2
x
Numbriline integreerimine
Simpson’i valemiga
x L  xG
G M GL mAL dx  6 M G mG  4M P mP  M L mL  
1,235  0,8
8900 0,1625 4  9050 0,2816 8500 0,398  1089 Nm3

6
L
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
51
6.5.6. Mohr’i integraal pidevusvahemikule LH (1)
A
C
M kNm
G
L
Q
H
B
x2
 Mm dx 
x
3,8
4,6
x1
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
M
1/2
M;m
8,2
8,9
9,1
M3
M1
0,398
m1
x1
Parameetrid Simpson’i valemisse
x1  xL  1,235 m x2  xH  1,8 m x3  xQ  1,517 m
M 1  M L  8,5 kNm m1  mL  0,398 m
MQ
FB = 12,6 kN
H
Q
582
Priit Põdra
B
x
282
2
1/2
1/2
m m
p = 15 kN/m
1/2
m3
x3
m2
x2
x
M 2  M H  3,8 kNm
m2  mH  0,398
HB
300
 0,398
 0,138 m
LB
865
pQH 2
15  0,2822
M 3  M Q  FB QB 
 12,6  0,582 

2
2
 6,736  6,74 kNm
m3  mQ  0,398
QB
582
 0,398
 0,2678 m
LB
865
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
52
6.5.6. Mohr’i integraal pidevusvahemikule LH (2)
A
C
M kNm
G
L
Q
H
B
x
3,8
4,6
8,2
8,9
9,1
1/2
1/2
m m
Numbriline integreerimine
Simpson’i valemiga
0,398
H
 M LH mLBdx 
L

Priit Põdra
xH  xL
M L mL  4M Q mQ  M H mH  
6
1,8  1,235
8500 0,398 4  6740 0,2678 3800 0,138  1048 Nm3
6
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
53
6.5.7. Mohr’i integraal pidevusvahemikule HB
M kNm
G
A
C
H
L
R
Simpson’i valem (numbriline integreerimine)
B
x
4,6
8,2
8,9
1/2
9,1
x2
 Mm dx 
3,8
1/2
x1
m m
x2  x1
M 1m1  4M 3 m3  M 2 m2 
6
1/2
M;m
1/2
M2
M3
M1
0,398
Parameetrid Simpson’i valemisse
m1
x1  xH  1,8 m x2  xB  2,1 m x3  1,95 m
M 1  M H  3,8 kNm m1  mH  0,138 m
x1
m3
x3
m2
x2
x
M 2  M B  0 m2  mB  0
M 3  M R  1,9 kNm m3  mR  0,069 m
B
 M HB mLBdx 
H

Priit Põdra
xB  xH
M H mH  4M R mR  M B mB  
6
2,1  1,8
3800 0,138 4  1900 0,069  0  0  52,44  52,4 Nm3
6
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
54
6.5.8. Läbipaine ristlõikes L
A
C
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
66
H
G
B
x
L
8,6
2,0
y
F = 20 kN
300
5,7
140
3,3
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
1000
1600
500
z
1235
z
B
A
G
L
H
C
C
A
G
L
B
vL EI   Mm dx   M CA mCA dx   M AG mAG dx   M GL mGL dx   M LH mLH dx   M HB mHB dx 
 0  211 1089 1048 52,4  2400,4  2400 Nm
Ristlõike L läbipaine
2400
2400
vL 

 0,00199 m  2,0 mm
9
8
EI
210  10  573  10
H
3
Ristlõike L
läbipaine on
arvutatud õigesti
”+” näitab, et siire on z-telje positiivses suunas, ehk alla
Priit Põdra
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
55
7. Tulemus
Priit Põdra
INP140 profiiliga ühtlane tala
A
C
66
FB = 12,6 kN
p = 15 kN/m
H
G
B
x
y
2,0
8,6
L
5,7
140
3,3
FA = 10,1 kN
p = 15 kN/m
F = 20 kN
300
1000
z
1600
500
1235
z
Läbipaine konsoolses otsas
vC  3,3 mm
vL  2,0 mm (alla)
(üles)
Pöördenurk konsoolses otsas
C  0,0071rad  0,41
Priit Põdra
Suurim läbipaine tugede vahel
Vähim normaalpinge
tugevusvarutegur
PAINE-DEFORMATSIOON -- keerukas koormus
S  3,1
57