Transcript 12_Staatikaga määramatud_süsteemid_2012

TUGEVUSÕPETUS
MASINAELEMENDID
12. Staatikaga määramatud süsteemid
12.1
Süsteemi staatika
analüüs
Priit Põdra
12.2
Staatikaga
määramatu pike
12.3
Staatikaga
määramatu vääne
12. Staatikaga määramatud süsteemid
12.4
Staatikaga
määramatu paine
1
Staatikaga määratud süsteem
Staatikaga määratud süsteem = toereaktsioonid ja/või sisejõud
on määratud taskaaluvõrranditega
Konsoolne varras
Toereaktsioonid
FA
MA
Kõik sisejõud ja
toereaktsioonid saab
arvutada staatika
tasakaalutingimustest
A
x
F
Aktiivne koormus
y
 Fy  0
Tasakaaluvõrrandid (2): 
 M A  0
Tundmatud (2):
Priit Põdra
B
reaktsioonid FA; MA
12. Staatikaga määramatud süsteemid
2
Staatikaga määramatu süsteem
Staatikaga määramatu süsteem = tasakaaluvõrranditest ei piisa
toereaktsioonide ja/või sisejõudude määramiseks
FA
Toereaktsioonid
MA
FC
B
A
F
C
Toereaktsioon
x
Lisatugi
y
Kõiki sisejõud ja
toereaktsioone ei saa
arvutada staatika
tasakaalutingimustest

 Fy  0
Tasakaaluvõrrandid (2): 

 M A  0
Tundmatud (3):
Aktiivne koormus
reaktsioonid FA; FC; MA
NB! Võrrandite arv peab võrduma tundmatute arvuga
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
3
Staatikaga määramatuse aste
PROBLEEM
Teada on (staatikaga määramatu) konstruktsiooni (või selle osa) tasakaaluvõrrandid;
Vaja on koostada lisavõrrandid (et võrrandite arv võrduks tundmatute arvuga).
Lisavõrrand = deformatsiooni sobivusvõrrand = konstruktsiooni
deformeerumist kirjeldav seos
Liigsidemed = sidemed, mille tõttu konstruktsioon on staatikaga määramatu
Staatikaga määramatuse aste = liigsidemete arv = vajalike lisavõrrandite arv
(ühe-, kahe-, kolme- jne. kordselt staatikaga määramatu struktuur)
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
4
Süsteemide staatika analüüs (1)
Staatikaga määratud süsteem
Staatikaga määramatu süsteem
FA
FA
Tasakaaluvõrrand (1):
A
F
Rippuv varras
FB
B
x
Tasakaaluvõrrand (1):
A
F
0
FB
Tundmatu (1):
reaktsioon FA
B
0
Tundmatud (2):
reaktsioonid FA; FC
C
Lisatugi
FC
x
x
x
Lisavarras
Tasakaaluvõrrandid (2):
Varraskonstruktsioon
N1
N2
1
1
x
F
y
Priit Põdra

 Fx  0


 F y  0
Tasakaaluvõrrandid (2):
N3
N1
1
1
N2
1
Tundmatud (2):
sisejõud N1; N2

 Fx  0


 F y  0
x
F
Tundmatud (3):
sisejõud N1; N2; N3
y
12. Staatikaga määramatud süsteemid
5
Süsteemide staatika analüüs (2)
Staatikaga määratud süsteem
FA
MA
Konsoolne
varras
A
Staatikaga määramatu süsteem
B
FA
x
FB
y
FA
A
x
C
FB

 Fy  0
Tasakaaluvõrrandid (2): 

 M A  0
reaktsioonid FA; MA
FB
B
Tundmatud (3):
C
FC
x
A
Lisatugi
FE
FB
FD
FA
Lisatugi
reaktsioonid FA; FC; MA
Lisatugi
C
D
B
E
x
FC
y

 Fy  0
Tasakaaluvõrrandid (2): 

 M A  0
Tundmatud (2):
Priit Põdra
A
y

 Fy  0
Tasakaaluvõrrandid (2): 

 M A  0
Tundmatud (2):
Tala
MA
FC
B
reaktsioonid FA; FB
y
Tasakaaluvõrrandid (2):
Tundmatud (4):
12. Staatikaga määramatud süsteemid

 Fy  0


 M A  0
reaktsioonid FA; FB; FD; FE
6
Sobivusvõrrandite koostamine
Staatikaga määramatu varras
l
lAB
Tasakaaluvõrrand (1):
lBC
FA  FC  FB  0
A
FB
C
B
Vaja on koostada üks
sobivusvõrrand
Arvutusskeem
FB
FA
A
FC
B
C
(Staatikaga määramatuse aste on 1)
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Kaks meetodit
Toesidemete kõrvaldamise meetod
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
Valik sõltub
konkreetsest
ülesandest
7
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Staatikaga määramatu varras
Deformatsioonide võrdlemise meetod = otsitakse
seoseid konstruktsiooni osade deformatsioonide vahel
l
lAB
A
lBC
FB
2. Sobivustingimus
C
B
1. Koostatakse sisejõu N epüür
Arvutusskeem
FC
FB
FA
A
Lõigu AB lühenemine = lõigu BC pikenemine
x
C
B
FA
3. Sobivusvõrrand
lAB  lBC FA lAB  FClBC
EA
EA
N epüür
FC
lAB
Priit Põdra
FA lAB

EA
lBC
FClBC

EA
l
FA  BC FC
lAB
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
lBC
FA 
FB
l
8
Toesidemete eemaldamise meetod (1)
Staatikaga määramatu varras
l
lAB
1. Kõrvaldatakse kõik liigsidemed
(tekib staatikaga määratud struktuur ehk põhiskeem)
lBC
Kõrvaldatakse liigside A
A
FB
B
Põhiskeem
FB
C
A
FC
C
N epüür
B
FB
2. Arvutatakse põhiskeemi iga liigsideme
rakenduspunkti (mõtteline) siire
Punkti A siire
uA  lBC 
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
FBlBC
EA
9
Toesidemete eemaldamise võte (2)
3. Kõrvaldatud liigsidemete punktidesse
rakendatakse (reaktsioonide sihilised) koormused
Punkti A rakendatakse koormus
FA
FA
Punkti A siire (FA toimel)
uAFA  l  
C FC
N epüür
A
4. Arvutatakse iga liigsidemete punkti
siire (rakendatud koormuste toimel)
FA l
EA
5. Sobivustingimus
Liigsidemete punktides tegelikult siirdeid pole
Sobivusvõrrand
uA  uAFA  0 FA lAB
Fl
 C BC
EA
EA
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
lBC
FA 
FB
l
10
Sümmeetriline varraskonstruktsioon
Deformatsioonide võrdlemise meetod
E1A1
E3A3


E2A2
l
Lõige
x
Priit Põdra
Kaldvarda pikenemine
l 
N1l
E1 A1
F
Lõike tasakaaluvõrrandid
y
N3h
E3 A3
h
l
F
Vertikaalvarda pikenemine:
Lõige
N2
N1
h
h 
N3
h  l cos 
Sobivustingimus:
Sobivusvõrrand
N 3h
Nl
 1 cos 
E3 A3 E1 A1

 N 2  N1


F  2 N1 cos   N 3  0 Tundmatuid on kolm: N , N ja N
1
2
3
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
N1 
E1 A1
N3
E3 A3
11
Mittesümmeetriline varraskonstruktsioon
E2A21
D
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Lõige
E1 A1
Sobivustingimus:
2
1
A
C
FAy
F
lDC
Lõige
N1
C
B
FAx
A
y
A
Priit Põdra
CC'  lDC sin  2
B’
C’
F
 0 ehk N  ACF  N 2 sin  2 
1
ABsin 1
N 2lDC

E2 A2
Varda DB pikenemine
lDB
N1lDB

E1 A1
x
Lõike tasakaaluvõrrand
M
kus:
BB'  lDB sin 1
Varda DC pikenemine
B
N2
BB' CC'

AB AC
Sobivusvõrrand
N 2lDC
N1lDB
sin 1 
sin  2 ehk
E1 A1AB
E2 A2 AC
N1
N2
tan 1 
tan  2
E
A
E
A
Tundmatuid on kaks:
1 1
2 2
N1 ja N2
12. Staatikaga määramatud süsteemid
12
Kahest materjalist tugi
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Sobivustingimus:
l  lt  lv
F
Teras
EtAt
l
Terassilindri lühenemine
N tl
lt 
Et At
Vasksüdamiku lühenemine
Nl
lv  v
Ev Av
Lõige
F
l
Lõige
Vask
EvAv
Nv
Nt
Sobivusvõrrand
Ntl
N vl
l 

Et At Ev Av
Priit Põdra
ehk
Lõike tasakaaluvõrrand
Et At
Nt  Nv
Ev Av
F  Nt  Nv  0
Tundmatuid on kaks:
Nt ja Nv
12. Staatikaga määramatud süsteemid
13
Tõmbitsatega pingutatud varras (1)
Varras
Tõmbits
EvAv Lõige
Tross
EtAt
Deformatsioonide võrdlemise meetod
l
Nt1
Tõmbitsad
lühendavad trossi
lv
ln  lt  lv
Sobivustingimus:
F
ln
Varda pikkus
vabas olekus
Lõige
Nv
Trossid
venitatakse
pikemaks
F
Nt2
l
lt
lv
Lõike tasakaaluvõrrand
2Nt  F  Nv
Priit Põdra
Tundmatuid on kaks: Nt ja Nv
12. Staatikaga määramatud süsteemid
Varras surutakse
lühemaks
14
Tõmmitsatega pingutatud varras (2)
Varras
E vA v
Tross
Tõmbits
E tA t
Lõige
Deformatsioonide võrdlemise meetod
ln  lt  lv
Sobivustingimus:
F
 lv
l
Effektiivne pindala
Priit Põdra
ln  2np
Keerme samm
Trossi elastne pikenemine
N tl
lt 
Et At
Trossi lühenemine
tõmbitsa keeramisel
Tõmbitsa pöörete arv
Varda elastne lühenemine
N vl
lv 
Ev Av
12. Staatikaga määramatud süsteemid
Sobivusvõrrand
2np 
N vl
Nl
 t
Ev Av Et At
15
Pinguga liide
Varras
Raam
EvAv
ErAr
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Lõige
Sobivustingimus:
  lr  lv
lr
Lõige
Nr1
Nv
Nrl
Er Ar
Lõike tasakaaluvõrrand
Varda lühenemine
2Nr  Nv
N vl
lv 
Ev Av
Tundmatuid on kaks: Nr ja Nv
Priit Põdra
lv
Raami
pikenemine
lr 
Nr2

12. Staatikaga määramatud süsteemid
l
Sobivusvõrrand
N vl
Nl
 r 
Ev Av Er Ar
16
Soojuse mõju vardale
Temperatuuri muutus = struktuurielemendi (varda, detaili)
joonmõõtmete (pikkuse) muutus
Temperatuuri tõus
T

Varda pikenemine
l(T)
l
Varda pikkuse muutus temperatuurimuutuse toimel:
l
 T 
 lT
Termopinge = detailide temperatuuri muutusest tekkiv pinge
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
17
Sirge varras tugede vahel
T
Toesidemete eemaldamise meetod
FB
a
B
B
Sobivustingimus:
uBFB  uB
l(T)
a
Tasakaaluvõrrand
0
FB
uBFB
B
N  FA  FB
l
A
T 
A
Tundmatuid on
kaks: N ja FA
l
A
FA
Punkti B virtuaalne siire
uBT   l T   a  lT  a
Priit Põdra
Punkti B virtuaalne
siire FB toimel
u BF B  
FBl
EA
A
Sobivusvõrrand
12. Staatikaga määramatud süsteemid
A
A
FBl
 lT  a
EA
18
Väänatud ühtlane varras
Tundmatuid on kaks:
MA ja MB
Tasakaaluvõrrand
A
M  MA  MB
M
Deformatsioonide võrdlemise meetod
Sobivustingimus:
 AC  CB
x
M
MA
Lõigu AC väändenurk
 AC
C
A
B
MB
B
TAC lAC M AlAC


GI0
GI0
Sobivusvõrrand
Lõigu CB väändenurk
 CB 
Priit Põdra
TCBlCB M BlCB

GI0
GI0
M AlAC M BlCB

GI0
GI0
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
lCB
MA 
MB
lAC
19
Väänatud astmeline varras (1)
MA ja MB
Tundmatuid on kaks:
A
Tasakaaluvõrrand
M
M  MA  MB
Toesidemete eemaldamise meetod
Sobivustingimus:
x
BM  BMB  0
M
MA I0AC
C
A
M
A
I0AC
BM
B
MB
I0CB
Side B eemaldatud
C
B
I0CB
M
Punkti B virtuaalne pöördenurk
T epüür
 BM   AC 
 epüür
TAC lAC MlAC

GI0AC GI0 AC
BM
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
20
Väänatud astmeline varras (2)
Side B eemaldatud
A
M
A
I0AC
MB
BMB
C
B
x
B
MB
I0CB
T epüür
BMB
BM  BMB  0
 epüür
Sobivusvõrrand
l I
M A  CB 0AC M B
lAC I 0BC
Priit Põdra
BMB
Punkti B pöördenurk M B toimel
T l
T l
l 
M  l
  AC  CB  AC AC  CB CB   B  AC  CB 
GI0AC GI0CB
G  I 0 AC I 0CB 
12. Staatikaga määramatud süsteemid
21
Jäigakinnitusega ühtlane tala (1)
p = const
Toesidemete eemaldamise meetod
B
A
Sobivustingimus:
vBF  vBFB  0
l
Punkti B virtuaalne siire
p
B
MA
FA
vBF
FB
pl 4

8 EI
Tasakaaluvõrrandid
 FA  FB  pl

l2

 M A  p 2  FBl
Tundmatuid on kolm:
Side B eemaldatud
p = const
x
MA; FA; FB
A
y
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
l
B v
BF
22
Konsoolkinnitusega ühtlane tala (2)
p = const
B
A
Punkti B siire FB toimel:
l
vBFB
FBl 3

3EI
Side B eemaldatud
vBF  vBFB  0
vBFB
A
y
B
x
Sobivusvõrrand
FB
pl 4 FBl 3

8EI 3EI
Priit Põdra
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
3
FB  pl
8
23
Ühtlane tala kolmel toel (1)
p = const
Toesidemete eemaldamise meetod
A
B
C
Sobivustingimus:
vCF  vCFC  0
0.6l
l
Punkti C virtuaalne siire
p
B
C
FA
Tasakaaluvõrrandid
 FA  FB  FC  pl

l2

FBl  FC 0.6l  p

2

FB
FC
Side C eemaldatud
Tundmatuid on kolm: FA ,FB ja FC
Priit Põdra
vCF
31pl 4

2500EI
p = const
A
B
C
y
12. Staatikaga määramatud süsteemid
vCF
24
Ühtlane tala kolmel toel (2)
p = const
A
B
C
Punkti C siire FC toimel
0.6l
l
Side C eemaldatud
vCFC
A
y
C FC
Sobivusvõrrand
Priit Põdra
vCFC
12FCl 3

625EI
vCF  vCFC  0
B
12FCl 3
31pl4

2500EI 625EI
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
FC 
31
pl
48
25
Kahe jäiga kinnitusega ühtlane tala (1)
Toesidemete eemaldamise meetod
F
A
Sobivustingimus:AF
B
0.5l
 AM  0
l
Punktis A virtuaalne pööre
F
MA
3
B
A
FA
FB
MB
l

x 
3
x
l
2 
vEI  v0 EI   0 xEI  FA  F 
H x  
6
6
2

Tasakaaluvõrrandid
F

 FA  FB 
2

 M A  M B
ehk
Sidemed MA ja MB eemaldatud
F
FA A
 AF
Fl 2
 0 
16EI
B FB
Tundmatuid on neli:
FA; FB; MA ja MB
Priit Põdra
y
12. Staatikaga määramatud süsteemid
AF
26
Kahe jäiga kinnitusega ühtlane tala (2)
F
A
AF  AM  0
B
0.5l
l
Sobivusvõrrand:
Sidemed MA ja MB eemaldatud
A M
A
MA y
Punktis A pööre MA ja MB toimel
Fl 2
M l
 A
16EI 2 EI
B
Fl
8
MB
x2
vEI  v0 EI   0 xEI  M A
2
v = 0, kui x = l
Priit Põdra
ehk
MA 
12. Staatikaga määramatud süsteemid
ehk
 AMA   0  
M Al
2 EI
27