Transcript 017 - Bilgisayarlı Hesaplama Modelleri, Random Walk

FIRAT ÜNİVERSİTESİ
TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ
KONU : BİLGİSAYARLI HESAPLAMA MODELLERİ, RASTGELE YÜRÜTÜM BENZETİMİ
DERLEYENLER:
Ahmet Can ÇAKIL
Ali Murat GARİPCAN
Özgür AYDIN
Şahin KARA
KONTROL : Prof. Dr. Asaf VAROL
İçerik
2

Random Walk / Rastgele Yürüyüş Teoremi

Çekirge Kaç Sıçrar ya da Rastgele Yürüyüş Problemi ve Çözümü
Rassal Yürüyüş (Random Walk)
Kuramı
3

Rastgele yürüyüş terimi ilk olarak 1905 yılında Karl Peason tarafından ortaya
atılmıştır.

Bir ekonomik terim olan bu kuram; ilk olarak 1964 yılında Paul H. Cootner tarafından
yazılan “The Random Character of Stock Market Prices” isimli kitapta tanıtılmıştır.

Fiyatların kendi gerçek değerleri etrafında rastlantısal olarak salındığını savunan
“etkin piyasa hipotezi’ ne dayanır. Kuram aynı zamanda, “piyasayı bozabilecek”
herhangi bir girişime karşı izlenecek en iyi piyasa stratejisini de belirlemeye yarar.

Rassal Yürüyüş Kuramı, fiyat değişikliklerinin “seri olarak bağımsız” olduğunu ve
fiyatın, gelecekteki fiyatın yönü için güvenilir bir gösterge olmadığını savunur. Diğer
bir deyişle, fiyat hareketi tamamen raslantısaldır. Bu nedenle önceden tahmin
yapılamaz.
Rassal Yürüyüş (Random Walk)
Kuramı
4

Bu kuram, bilgisayar, ekoloji, fizik, ekonomi, olasılık gibi zaman içerisinde rastgele
süreçlerden oluşan alanlarda kullanılmaktadır.

Örneğin; sıvı veya gaz moleküllerinin hareketi, bazı hayvanların yiyecek bulmak için
kullandıkları yol dalgalı bir hisse senedinin fiyat ve bir kumarbazın mali durumu gibi
rastlantısal süreçler bu modelle açıklanabilir.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi

Düz ve uzun bir yol üzerinde çekirge öne ya da arkaya sadece 1 m
sıçrayabiliyor. Belli bir olasılıkla öne, belli bir olasılıkla arkaya
sıçrayabiliyor.
–
Çekirgenin sonlu bir zaman içinde, fakat zaman limiti olmaksızın 1000 m
ileri gitme olasılığı kaçtır?
q
–
Diyelim ki ;
çekirge p olasılıkla ileri,
5
p
p+q=1
q olasılıkla geri sıçrasın.
Ayrıca başlangıç noktasının sağındaki ilk noktaya +1, solundaki noktaya -1
diyelim.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi

Elbette p ne kadar büyükse, çekirgenin 1000 metre sağa gitme
olasılığı da o kadar büyüktür..



6
Örneğin, p=1 ise, çekirge hep sağa doğru ilerliyor demektir ve çekirge
%100 olasılıkla 1000 sıçrayışta başlangıç noktasının 1000 m ilerisinde
olur.
P=0 ise, çekirge hep sola gidiyor demektir ve hiçbir zaman başlangıç
noktasının 1000 metre ilerisine gelemez.
Problemin çözümünde asıl sorunlar;

P=1/2 ve q=1/2 yani ileri ve geri yönde ilerleme olasılıkları birbirine eşit olma
durumunda çözüm nasıl olur.

P (ileri yönde ilerleme olasılığının) 0 ile 1 arasında herhangi bir değerse
çekirgenin başlangıç noktasından 1000 m ileri ulaşma olasılıklarının
hesaplanmasıdır.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi
a) İlk sıçrayışı sağa doğru (pozitif yönde) ise;

Çekirgenin n birim uzaklığa ulaşma olasılığına
xn diyelim.

x1000’i sorduk. Eğer n > 0 ise, xn = x1n olur.
Çünkü çekirgenin n metre sağa gidebillmesi için,
çekirgenin n kez 1 m sağa gitmesi gerekir. Bu
nedenle x1 ‘ hesaplamak yeterlidir.
b) İlk sıçrayış sola doğru (negatif yönde) ise;

7
Çekirge q olasılıkla ters yönde -1 noktasına
geldiği düşünülürse, +1 noktasına gelmesi için 2
defa ilk atlayışının tersi yönde hareket etmelidir.
q=1-p’ dir.
x1 = p + (1  p)x2 eşitliği ortaya çıkar
x2 = x12
x1 = p + (1  p)x12
+1
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi

x1 = p + (1  p)x12
bir ikinci dereceden denklemdir.

(1  p)x12  x1 + p = 0

0 = (1  p)x12  x1 + p = (1  x1)(p  (1  p)x1) olur.
x1 = 1 ya da x1 = p / (1-p)
Sonuç olarak eğer p ≥ 1/2 ise (yani p ≥ q ise), p / (1-p) ≥ 1 olduğundan
çekirgenin belirsiz bir süre sonra pozitif yönde 1m noktasına gelme
olasılığı yüzde yüzdür dolayısıyla 1000 m varma olasılığı da bu değere
eşittir.
8
.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi

Eğer p ≤ 1/2 ise, yani p ≤ q ise bu olasılık kaçtır?

Yine x1’i (başlangıç noktasından 1 birim uzaklığı) hesaplamak yeterlidir.
Ayrıntılı bir çözüm için şekle bakarsak,
En alt sol noktadan, yani (0, 0) noktasından
başlayarak, çekirge doğru üzerinde sola
sıçradığında yukarıdaki şekilde bir adım yukarı
çıkalım (  ), sağa sıçradığında yukardaki
şekilde bir adım sağa gidelim (  ).
9
.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş”
Problemi
(1, 0), (2, 1), (3, 2) gibi, şekilde koyu renkle belirtilmiş noktalara varılırsa, çekirgenin doğru üzerinde
+1 noktasına ulaştığı anlaşılır.

Örneğin yukarıdaki şekilde (1, 0) noktasına varılırsa, çekirge hemen, daha ilk hamleden 1
noktasına sıçramış demektir.


Eğer (2, 1) noktasına varılırsa, çekirge doğru üzerinde önce
bir adım sola (  ), sonra iki adım sağa (  ) sıçramış
demektir.


10
Eğer (3, 2) noktasına varılırsa, çekirge doğru üzerinde

ya sol-sağ-sol-sağ-sağ yapmıştır

ya da sol-sol-sağ-sağ-sağ.
Yani (3, 2) noktasına iki değişik biçimde ulaşılabilir. (4, 3)
noktasına da beş değişik biçimde ulaşır:
sol-sağ-sol-sağ-sol-sağ-sağ = 
sol-sağ-sol-sol-sağ-sağ-sağ = 
sol-sol-sağ-sağ-sol-sağ-sağ = 
sol-sol-sağ-sol-sağ-sağ-sağ = 
sol-sol-sol-sağ-sağ-sağ-sağ = 
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele
Yürüyüş” Problemi
.

Genel olarak, çekirge (0, 0) noktasından başlayarak kaç çeşitli
yoldan (n + 1, n) noktasına ulaşabilir?
f(0) = 1
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 5

(0, 0) noktasından (n + 1, n) noktasına giden her yolda,
çekirge n kez sola (  ), n+1 kez sağa (  ) gitmelidir.


Bunun da olasılığı qnpn+1 dir.
O halde çekirgenin n kez sola, n + 1 kez sağa
giderek +1 noktasına ulaşma olasılığı,


11
f(n)qnpn+1 ‘dir.
Dolayısıyla, çekirgenin 1 noktasına ulaşma olasılığı,
.
Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Proble

Denklem çözülürse,

p ≤ q ise, q ≥ p olduğundan ve bu durumda olas(q, p) = 1 olduğundan,
bulunur.
12

Demek ki, p ≤ q olduğunda, x1 = p/q imiş. Dolayısıyla x1000 = (p/q)1000’ dir,
genellikle oldukça küçük bir olasılıktır.
Kaynaklar
[1] http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-00introduction-to-computer-science-and-programming-fall-2008/lecture-videos/
[2] http://www.alinesin.org/04.htm
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
[4] http://webphysics.davidson.edu/webtalks/clark/onedimensionalwalk.html
13