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Concetti chiave e regole
Angoli e misure
Gli angoli si possono misurare in gradi oppure in radianti:
l
se è un angolo al centro di una circonferenza di raggio r che insiste su un arco AB :
(in radianti) ¼
l
lunghezza dell’arco AB rettificato
r
se x è la misura di in radianti e y è quella in gradi, per passare da un sistema all’altro si usa la proporzione
: x ¼ 180 : y
Le funzioni goniometriche fondamentali e i grafici
Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario) ed un angolo avente
vertice nell’origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse,
si definisce:
l sin l’ordinata del punto P
l cos l’ascissa del punto P
l tan l’ordinata del punto Q
Si introduce poi la funzione cotan che rappresenta il reciproco della funzione tangente:
1
cot ¼
tan Le relazioni fondamentali
Le relazioni fondamentali che legano le funzioni goniometriche sono:
sin cos 2
l sin þ cos2 ¼ 1
l tan ¼
l cot ¼
cos sin Da esse si ricavano le formule di:
l
l
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin in funzione di cos : sin ¼ 1 cos2 cos in funzione di sin : cos ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 sin2 l
tan sin in funzione di tan : sin ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ tan2 l
1
cos in funzione di tan : cos ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ tan2 La seconda relazione fondamentale consente poi di stabilire che il coefficiente angolare di una retta rappresenta la
tangente dell’angolo che essa forma con la direzione positiva dell’asse x: m ¼ tan .
Gli archi associati
Gli angoli associati ad un angolo sono
quelli che hanno i valori delle funzioni goniometriche complessivamente uguali a
quelli di . Per ricavare i valori del seno,
del coseno e della tangente di tali angoli
basta ricordare i seguenti disegni:
Le funzioni goniometriche
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Le formule
l
Addizione
l
sin ð Þ ¼ sin cos cos sin cos ð Þ ¼ cos cos sin sin tan ð Þ ¼
l
tan tan 1 tan tan Duplicazione
sin 2 ¼ 2sin cos 2 cos2 1
2
2
cos 2 ¼ cos sin ¼
tan 2 ¼
2tan 1 tan2 1 2 sin2 Bisezione
sin
¼
2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 cos 2
cos ¼ 2
tan
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ cos 2
sin 1 cos ¼
¼
2
1 þ cos sin Le funzioni goniometriche
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