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電気回路Ⅱ演習
第2回 復習編2
電気回路Ⅰの復習の続き
交流回路の計算
特性方程式の記述の仕方
インダクタンスLとキャパシタンスCについて
演習問題
数学的な基礎
三角関数を用いた表現
d
①
sin(t )   cos(t )
dt
d
cos(t )   sin(t )
②
dt
1
cos(t )
③  sin(t )dt 

④
1
 cos(t)dt   sin(t)
複素関数を用いた表現
e jt  cos(t)  j sin(t)
d jt
e  je jt
dt
 j cos(t )   sin(t )
②
1 jt ①
jt
 e dt  j e
j
1

cos(t )  sin(t )


③
符号が面倒である
jをかけたりわったりするだけ
④
交流の回路の素子
1
交流回路で使われる素子
2
R
3
L
C
ωの角周波数をもつ正弦波の電流または電圧が与えられた場合
①
R
v(t )
i(t ) 
R
または
v(t )  Ri(t )
交流の回路の素子2
②
インダクタンス
L
di(t )
v(t )  L
dt
③
C
dv(t )
i(t )  C
dt
または
1
v(t )   i(t )dt
C
交流回路における電流と電圧
i(t )
i(t )  I m cos(t )
e(t )  v(t )
di(t )
L
 LIm sin(t )
dt


 LIm cost  
2



 Em cost  
2

e(t ) ~
L
電流に対して電圧は
π/2だけ位相が進んでいる
交流回路における電流と電圧2
i(t )
e(t )  Em cos(t )
de(t )
i(t )  C
 CEm sin(t )
dt


 CEm cost  
2

e(t ) ~
C
電圧に対して電流は
π/2だけ位相が進んでいる
複素数を用いて1
1
R
E(t)  Eme
jt
Em jt E(t )
の場合 I (t ) 
e 
R
R
E(t )
R
I (t )
I (t ) 1
Y

E(t ) R
インピーダンス　Z 
アドミタンス　2
I (t)  Ime jt の場合 E(t)  jLIme jt  jLI (t)
L
E(t )
 jL
I (t )
I (t )
1
Y

E(t ) jL
インピーダンス　Z 
アドミタンス　3
C
E(t)  Eme
jt
I (t)  jCEme jt
の場合
E(t )
1

I (t ) jC
I (t )
Y
 jC
E(t )
インピーダンス　Z 
アドミタンス　簡単な交流回路の複素数による計算 1
e(t )  Em cos(t )
i(t )
回路に流れる電流を求めよ
まず特性方程式を導出する．
di(t )
e(t )  Ri(t )  L
dt
R
e(t ) ~
L
E(t )  Eme jt , I (t )  I me jtを用いて
Em  RI m  jLImとなり
Em
Em
Eme j
Im 


を得る．
2
2
j

2
2
R  jL
R  (L) e
R  (L)
ただし
tan( ) 
L
R
R  jL
jL
I (t )  I me jt 

Eme j (t  )
R2  (L)2
よって
R
tan( ) 
L
R
i(t ) 
Em
R  (L)
2
2
cos(t  )
ただし tan( ) 
L
R
忘れずに書くこと
問題1
e(t )  5 cos(t ) [V]
f  1/ 2π[MHz]
R  10 [Ω]
L  10 [μH]
i(t )
e(t ) ~
R
L
電流i(t)を求めよ．
また有効電力，無効電力を求めよ
簡単な交流回路の複素数による計算 2
e(t )  Em cos(t )
i(t )
回路に流れる電流を求めよ
まず特性方程式を導出する．
コンデンサの電圧
1
Q(t )
vc (t )   i(t )dt 
C
C
抵抗の電圧
dQ(t )
vR (t )  Ri(t )  R
dt
したがって
e(t ) ~
1
dQ(t )
Q(t )  R
 E(t )となる
C
dt
R
C
Eme jt
E(t )
Q(t ) 

1
1
jR 
jR 
C
C
したがって，複素電流I(t)は
I (t ) 
dQ(t )
jC

E(t )
dt
1  jCR
1
e j

E(t ) 
E(t ) 
E(t )
1
j
1
2
R
R
R

jC
C
(C) 2
1
i(t ) 
1
1
R2 
(C) 2
Em cos(t   )
ただし，
tan 
1
CR
tan( ) 
R
j
C

R
j
C
1
CR
さらに簡単に
交流回路で使われる素子
R
L
C
ωの角周波数をもつ正弦波の電流または電圧が与えられた場合
各素子のインピーダンスは
R
jL
1
jC
e(t )  Em cos(t )
i(t )
回路に流れる電流を求めよ
E(t )  RI (t )  jLI (t )
よって
1
e j
I (t ) 
E(t ) 
R  jL
R2  (L)2
i(t ) 
Em
R  (L)
2
2
e(t ) ~
E(t )
cos(t  )
ただし tan( ) 
L
R
R
L
e(t )  Em cos(t )
i(t )
回路に流れる電流を求めよ
E(t )  RI (t ) 
よって
I (t ) 
1
I (t )
jC
1
1
R
jC
i(t ) 
E(t ) 
1
1
R 
(C) 2
2
e j
R2 
1
(C) 2
Em cos(t   )
R
e(t ) ~
E(t )
ただし，
C
tan 
1
CR
問題2
i(t )
e(t )  5 cos(t ) [V]
f  1/ 2π[MHz]
R  10 [Ω]
C  0.1 [μF]
e(t ) ~
電流i(t)を求めよ．
また有効電力，無効電力を求めよ
R
C
問題3
I
左の回路は直列共振回路である．
以下の手順での共振周波数fを求めよ
R
１．回路のインピーダンスZを求めよ
２．インピーダンスZの絶対値が最も
小さくなる角周波数を求めよ．また周
波数を求めよ．
３．2.の条件を満たしている場合，電
圧Eと電流Iの位相差はどうなるか考
察せよ．
E ~
C
L