Transcript План конспект открытый урок в 10 классе по математике

План открытого урока учителя
Абрамовой С.И.в виде
презентации 10 классе – 90 минут
Тема:
Решение тригонометрических уравнений (методы решения)
Цель урока:
Рассмотреть виды тригонометрических уравнений и методы и х решения. Учебник
Колмогоров.
Цели:
1. Образовательная
А. Выработать прочные навыки тригонометрических уравнений.
Б. Отработать алгоритм решения различных видов тригонометрических уравнений.
2. Развивающая
А. Способствовать формированию умений классифицировать тригонометрические
уравнения по методу их решения.
Б. Развивать умения, обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод.
В. Активизировать самостоятельную деятельность, развивать познавательный интерес и
развивать творческое воображение.
3. Воспитывающая цель
А. Содействовать понимание значимости этого урока на данном этапе
Б. Воспитание чувства коллективизма и ответственности
Знать и уметь
• Методы решения тригонометрических
уравнений, сравнивать уравнения и
находить отличия и уметь их решать.
Оборудование урока
• Компьютер
• Проектор
Ход урока
• Оргмомент
• Проверка домашнего задания (с целью
восприятия нового материала и успешной
работе на уроке)
1 задание классу: заполнить таблицы (на столах у
каждого готовая таблица для заполнения).
Заполнить таблицу значений
тригонометрических функций
α
Sin α
Cos α
Tg α
Ctg α
π
𝟔
π
𝟒
π
𝟑
π
𝟐
π
𝟐
π
𝟑
𝟑
π
𝟒
𝟓
π
𝟒
𝟓
π
𝟐
2π
Дать определение sin x, cos x, tg x,
ctg x, используя, единичную
окружность
y
𝑃π (0,1)
𝟐
Sin x
M(Xa, Ya)
Ya
Pπ(-1,0)
K
a
tg a
x
P0(1,0)
Xa
3π
(0,-1)
𝟐
Cos x
Проверочная работа с целью
подготовки восприятия нового
материала
• Записать формулу решения уравнений
Вариант №1
Вариант №2
• Cos x = a
sin x = a
• При какой значении а уравнения имеет
решения
• Построить единичную окружность укажите на
какой оси откладывается а при решении
уравнения
• Cos x = а
sin x = а
• Дать определения tg x, ctg x, записать формулы
решения уравнений в таблицы.
• Написать частные случаи решения уравнений.
Заполнить таблицу
Задание
Формулы для решения
тригонометрических
уравнений
Частные случаи решения
тригонометрических
уравнений
Sin x = A
Sin x = -1
Sin x = 0
Sin x = 1
Cos x = A
cos x = -1
cos x = 0
cos x = 1
Tg x = A
Tg x = 0
Tg x = 1
Tg x = -1
Ctg x = A
сtg x = 0
сtg x = 1
сtg x = -1
Ответы
Проверим таблицу
Задание
Формулы для решения
тригонометрических
уравнений
Частные случаи решения
тригонометрических
уравнений
Ответы
Sin x = A
X = (−1𝑘 )arcsin A + π*k, kЄZ
Sin x = -1
Sin x = 0
Sin x = 1
X = - + 2π*k, kЄZ
𝟐
X = π*k, kЄZ
π
X = + 2π*k, kЄZ
+
π
𝟐
Cos x = A
X= arccos A + 2π*k, kЄZ
cos x = -1
cos x = 0
cos x = 1
X = π+2π𝑛, nЄZ
π
X = 𝟐 + π𝑛, nЄZ
X= +2π𝑛, nЄZ
Tg x = A
X = arctg A + π*k, kЄZ
Tg x = 0
Tg x = 1
Tg x = -1
X = π𝑚, mЄZ
π
X= 𝟒+π𝑚, mЄZ
Ctg x = A
X = arctg A + π*k, kЄZ
сtg x = 0
сtg x = 1
сtg x = -1
π
X=- 𝟒+π𝑚, mЄZ
Не существует
π
X= 𝟒+π𝑚, mЄZ
π
X=- 𝟒+π𝑚, mЄZ
Задание №3
• Дать определение обратных
тригонометрических функций, указать область
определения и область значений функции.
• Что такое arcsin а
arccos а
• В каком промежутке находится значение а
• Что называется arctg а и arcctg а , в к аком
промежутке находятся число а
Задание №4 Найти значения arcsin,
arccos,arctg, arcctg.
•
1
arcsin
𝟐
1
аrccos
𝟐
•
• arctg 3
arccos (arccos (arcsin 3
1
3
• arctg 1
• arcsin -45°
arctg
arctg 0
•
arcsin 0
•
1
arcsin 𝟐
1
arccos 𝟐
arccos 0
3
)
𝟐
2
)
𝟐
Проверка решений
1
𝟐
• arcsin =
•
•
•
π
𝟔
1
𝟐
π
аrccos =
𝟑
π
arctg 3 =
𝟑
π
arctg 1 =
𝟒
• arcsin -45° нет
•
•
1
π
arcsin (- ) = 𝟐
𝟔
1
2π
arccos (- ) =
𝟐
𝟑
arccos (-
3
𝟐
arccos (-
2
)
𝟐
5
𝟔
)= π
=
arcsin 3 нет
arctg
1
3
=
π
𝟔
arctg 0 = 0
arcsin 0 = 0
arccos 0 =
π
𝟐
3
π
𝟒
Задание №5 – установить
соответствие
•
•
•
•
•
Установить соответствие между (уравнение <-> решение)
π
Cos x = - 1
x = + πn, nЄZ
𝟐
Sin x = 0
x = πn, nЄZ
Sin x = - 1
x= π + 2πn, nЄZ
Cos x = 1
x = 2 πn, nЄZ
2
𝟐
3
𝟐
• Cos x =
• Sin x =
• Tg x = 1
• Cos x = 0
• cos x =
1
𝟐
Sin x = 1
π
𝟐
x = - + 2πn
π
𝟑
x = (−1)𝑘 * + πn, nЄZ
π
𝟐
π
x = + πn
𝟒
+π
x=
+ 2πn
𝟑
+π
x=
+ 2πn
𝟒
x = + 2πn
Ответы к заданию
• Установить соответствие между (уравнение <->
решение)
π
• Cos x = - 1
x = + πn, nЄZ
𝟐
• Sin x = 0
x = πn, nЄZ
• Sin x = - 1
x= π + 2πn, nЄZ
• Cos x = 1
x = 2 πn, nЄZ
2
𝟐
3
𝟐
• Cos x =
• Sin x =
• Tg x = 1
• Cos x = 0
• cos x =
1
𝟐
Sin x = 1
π
𝟐
x = - + 2πn
π
𝟑
x = (−1)𝑘 * + πn, nЄZ
π
𝟐
π
x = + πn
𝟒
+π
x=
+ 2πn
𝟑
+π
x=
+ 2πn
𝟒
x = + 2πn
Основная часть урока
• Определить по типу уравнения и указать формулы
для решения данных уравнений.
• Тип №1
• 𝑠𝑖𝑛2 x = a
формула: X= ±arcsin 𝑎 + πk, kЄZ
• 𝑐𝑜𝑠 2 x = a
• формула: X= ±arccos 𝑎 + πk, kЄZ
• 𝑡𝑔2 x = a
• Формула:
X= ±arctg 𝑎 + πk, kЄZ
• 𝑐𝑡𝑔2 x = a
• Формула:
X= ±arcctg 𝑎 + πk, kЄZ
Задание классу
2
• Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠 3x =
• Решение: 3x= ±arccos
• X= ±
π π
+ *
𝟏𝟐 𝟑
k, kЄZ
1
𝟐
1
𝟐
+ πk, kЄZ
Определить тип уравнения
• A 𝑠𝑖𝑛2 x + b sin x + с = 0
• Вопрос классу: какое это уравнение по
виду? Как его решить ?
• Ответ: решаем как квадратное уравнение.
Задание классу №7
• Решить уравнения 2𝑐𝑜𝑠 2 x + cos x – 1 = 0
• Проверяем фронтально
Определить тип уравнения
• Какой вид этого уравнения?
• Ответ: уравнения с разными тригонометрическими
функциями, но с одном аргументом
• Вопрос: как решить уравнение данного типа?
• Ответ : выразим через одну тригонометрическую
функцию, решаем как предыдущее.
• Решить уравнение 𝑐𝑜𝑠 2 x + sin x + 1 = 0
Решение уравнения
•
•
•
•
•
𝑐𝑜𝑠 2 x + sin x + 1 = 0 < 𝑐𝑜𝑠 2 x = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 <
1 - 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + sin x + 1 = 0 >>>>>
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 - sin x – 2 = 0 < sin x = t |t| ≤ 1<
𝑡 2 - t – 2 = 0  t1 = 2
t2 = -1
Sinx=2 – решений нет
• Sinx = -1 x= -
π
𝟐
+ 2 πn, nЄz
Уравнения, левая часть которых
разлагается на множители
• Как решить такое уравнение?
• 1 + sinx*cosx-sinx-cosx=0
• ответ: сгруппировать и разложить на
множители.
• учитель: решить это уравнение.
• Проверяем фронтально.
Определить тип уравнения
•
•
•
•
•
•
•
•
•
4 𝑠𝑖𝑛2 x + 3sinx*cosx-7 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
Какое это уравнение?
Это уравнение однородное
как решается однородное уравнение?
Ответ: нужно разделить левую часть на 𝑐𝑜𝑠 2 x
≠0
Какое получим уравнение ?
Квадратное относительно тангенса
4 𝑡𝑔2 𝑥 + 3 tgx-7=0
Решите его
Как решить такое уравнение?
• a 𝑠𝑖𝑛2 x+b*sinx*cosx+c* 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=в
• Ответ: необходимо привести данное
уравнение к однородному, записать
• b=b*(𝑠𝑖𝑛2 x+𝑐𝑜𝑠 2 x) и решать как решается
однородное уравнение.
Решить уравнение, решаем у доски с
разбором
•
𝑥
2cosx-4cos +3=0
𝟐
• Вопрос: чем это уравнение отличается от
предыдущих уравнений.
• Ответ: разные аргументы.
• Как привести к одному
аргументу(проблема)
• выражаем cosx по формуле двойного угла
• Cosx=
2𝑥
𝑐𝑜𝑠
𝟐
−
2𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝟐
=2
2𝑥
𝑐𝑜𝑠
𝟐
-1
• Преобразуем данное уравнение , получаем
•
2𝑥
4𝑐𝑜𝑠
𝟐
• (2 cos
2
𝟑
𝑥
𝟐
-
𝑥
4cos
𝟐
2
+ 1= 0
−1) =0
• x= ± π+4 πn
Уравнение вида
• sin5x + sin3x = 0 (рассмотрим как сумму
синусов)
• sin5x + sin3x = 2sin4x*cosx = 0
• Sin4x=0
cosx=0
π
𝟒
• X= * π n,nЄz
π
𝟐
x= + π n,nЄz
Решить самостоятельно
• Решить sin6x – sin2x=0
• Работа в группах
2 урок
• Решение тригонометрических уравнений с
отбором корней и уравнение вида
a*sinx+b*cosx
• Цель: научить отбирать корни на промежутке
• Решать уравнения с помощью введения
дополнительно угла
• Метод урока – проблемно –
поисковый(учитель рассказывает, привлекает
учеников к решению проблемы).
Решение тригонометрических
уравнений с отбором корней
• Проверить усвоение методов решения
тригонометрических уравнений
• Решить уравнения и отобрать корни на
1
отрезке [0; π] Sin a * cos 2a + cos a*sin 2a =
𝟐
РЕШЕНИЕ
1
𝟐
• Sin (x + 2x) = (применяем формулу sin (a + b))
• Sin 3x =
•
•
1
𝟐
𝑘π
3x = (−1) + πk, kЄZ
𝟔
π
𝑘 π
X = (−1)
+ k, kЄZ
𝟏𝟖 𝟑
• Для отбора корней принадлежащих [0; π]
рассмотрим решение этого уравнения на
тригонометрическом круге
•
1
Решим на круге уравнение sin 3x = , на оси Y
𝟐
1
отметим точку с координатами (0: )через эту
𝟐
точку проведём прямую параллельную оси x,
Y
Sin x
найдём
5
π
π
𝟔
точки пересечения с
𝟔
P (-1,0)
x
P (1,0)
кругом
.Зафиксируем
Cos x
π
0
π
𝟔
точки. 3x = + 2πn
3π
(0,-1)
𝟐
• X=
π
𝟏𝟖
2
𝟑
+ πn и x =
5
𝟔
и 3x = π + 2πn
5
𝟏𝟖
π+
2
𝟑
πn
• Поместим первый корень в отрезок [0; π]
решим двойное неравенство
0≤
-
-
π
𝟏𝟖
2
𝟑
5
2
0≤
π + πn ≤ π
𝟏𝟖
𝟑
5π
2
5π
- ≤ πn ≤ π 𝟏𝟖
𝟑
𝟏𝟖
5π 2
13
- ≤ πn ≤
π
𝟏𝟖 𝟑
𝟏𝟖
5
13
- ≤n≤
𝟏𝟐
𝟏𝟐
+ πn ≤ π
π
2
π
≤ πn ≤ π𝟏𝟖 𝟑
𝟏𝟖
π
2
17
≤ πn ≤ π
𝟏𝟖
𝟑
𝟏𝟖
1
17
≤n≤
𝟒
𝟏𝟐
n=0
X1 =
π
𝟏𝟖
n=1
X2 =
13
𝟏𝟖
n=0
π
Ответ: общее решение x = X
π
𝟏𝟖
13
𝟏𝟖
X1 =
X2 =
На отрезке [0; π]
и
π
5
x3 = π
18
𝑘 π
= (−1)
𝟏𝟖
5
x3 = π
18
n=1
x4 =
π
𝟑
17
18
π
+ k, kЄZ
x4 =
17
18
π
Решить уравнение
вызываю второго ученика к доске
2
2
2
𝟐
• 𝑐𝑜𝑠 4x - 𝑠𝑖𝑛 4x = - (вспомним формулы
двойного угла cos2a = 𝑐𝑜𝑠 2 a − 𝑠𝑖𝑛2 a)
Проверка решения
• cos 8x = -
2
𝟐
3
𝟒
• 8x = ± π + 2 πn (x = ±(π – arccos a) + 2 πn,nЄZ)
-1 < a < 0
X=±
3
𝟑𝟐
π
Ответ: X =
πn
+ ,nЄZ
𝟒
3
πn
± π+
𝟑𝟐
𝟒
,nЄZ
Разберём уравнение с1 с ЕГЭ
• 5 sin 2x – 11 (sinx + cosx) + 7 = 0
• Решить уравнение и отобрать корни на отрезке
от 0 до π. Для решения вызываю сильного
• Решаем по стандартной схеме
• Вводим новую переменную t
• Наше уравнение с помощью замены
переменной приводим к квадратному
уравнению
• 5 sin 2x – 11 (sinx + cosx) + 7 = 0
• Решаем данное уравнение стандартным
методом. Обозначим sinx+cosx =t
• Выразим sin2x через t
•
•
•
•
2
(Sinx+cosx) = t 2
Sin2x = t 2 - 1
5 t 2 -11t+2=0
D=121-40=81
• T1=2
t2=
2
𝟏𝟎
1 + sin2x= t 2
• Вернёмся к исходной переменной и решим два
уравнения
2
• Sinx+cosx=
Sinx+cosx= 2
𝟏𝟎
• Уравнения вида asinx+bcosx=с решаем с
помощью введения дополнительно угла α
• Найдём 𝑎2 + 𝑏2 для нашего уравнения a = 1 и b = 1
• значит 𝑎2 + 𝑏 2 = 2
• Умножим левую часть уравнения на 2 и
разделим её на 2.
1
1
2
• Получим 2*( ∗ sinx + * cosx) =
2
• Мы знаем что
1
2
2
π
4
= sin = cos
𝟏𝟎
π
4
• Подставим уравнение этим значением,
π
4
π
4
получим 2 * (sin * sinx + cos * cosx) =
• Разделим обе части уравнения на 2
π
4
π
4
получим sinx* sin + cos * cosx =
2
𝟏𝟎
2
10
• Cos(x ) =
2
𝟏𝟎
π
4
2
𝟏𝟎
+ 2 πn, nЄZ
π
4
2
𝟏𝟎
+ 2 πn, nЄZ
x1= + arccos
π
4
• X - = ± arccos
2
𝟏𝟎
+ 2 πn >>
x2= - arccos
• Мы нашли корни, то есть общее решение, у нас есть ещё одно
задание: отобрать корни данного уравнения на отрезке
• от 0 до π.
• Делаем это на тригонометрическом круге. На оси x
π
2
+ arccos
4
𝟏𝟎
π
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
0,14
0
2
откладываем ≈ 0,14
𝟏𝟎
2
𝟏𝟎
мы видим что x1=
𝑐𝑜𝑠𝑥
π
2
− arccos
4
𝟏𝟎
−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2
𝟏𝟎
π
4
+ arccos
2
𝟏𝟎
принадлежит отрезку от [0; π] .
ответ: x1и x2 см. выше и
π
x= 4 + arccos
2
𝟏𝟎
Є [0; π]
Срез знаний
• Самостоятельно решить одно из уравнений
Оценки
На «3»
1 вариант
2 вариант
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 = 0
«4»
Cos2x+cosx=0
«5»
𝑥
Cosx=(cos 𝟐
3sinx-2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0
Cos2x+sinx=0
𝑥 2
sin 𝟐 ) -1
−
Указать корни на отрезке
от π𝟐 до π
𝑥
Cosx=(cos 𝟐
𝑥 2
sin 𝟐 ) -1
−
Указать корни на отрезке
от 0 до 2π
Рефлексивно – оценочная часть
урока
• Собираем тетради и оценочные листы
• Даю качественную оценку каждому ученику
• Оценку получает каждый ученик за первый и
второй урок.
• Домашнее задание №170 a,b(171a,b)
• Дополнительно рассмотреть методы решения
sinx+cosx=1
• Подумайте сколькими способами можно
решить это уравнение.