Transcript Решение

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
2012
Лосева
Екатерина Анатольевна
Выполненная работа


первичный балл


тестовый балл
В 2012 году на экзамене по математике максимальная сумма баллов составляет
32 балла.
Часть
B
C1
C2
C3
C4
C5
C6
14 б
2б
2б
3б
3б
4б
4б
Минимальное количество баллов по математике в 2012 году 5 первичных
( 24 тестовых) баллов. Видео-консультации по заполнению бланков,
нормативные документы и любая другая информация по ЕГЭ 2012 года на
официальном информационном портале
WWW.EGE.EDU.RU
Сайты в помощь выпускникам
www.mathege.ru – открытый банк заданий части B. Содержит
десятки тысяч заданий первой части. Также позволяет
пройти он-лайн тестирование.
WWW.reshuege.ru - авторский сайт Гущина Д.Д.Позволяет
самостоятельно генерировать варианты, тематические
работы «Изюминка» сайта : доступны краткие решения
практически всего открытого банка заданий.
www.alexlarin.net – на сайте размещены практически все
тренировочные работы последних лет с ответами и
комментариями.
B 1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов
можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20 %?
Решение: После повышения цены билет будет стоить
15  15 0,2  18 рублей
Разделим 100 на 18 и возьмем в ответ целую часть результата деления:
100
10
5
18
18
Ответ:
Значит, можно купить 5 билетов.
5
В2. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует
специальное предложение: заплатив за две шоколадки , покупатель
получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200
рублей в воскресенье?
200
5
Решение:
5
35
7 ,значит на 200 рублей можно купить две
пары шоколадок и еще одну. Поучается в подарок 2 шоколадки. Всего 7
шоколадок.
Ответ: 7
В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах
Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите на
диаграмме количество месяцев, когда средняя температура Ярославля была
отрицательной.
Ответ: 5
В 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1см 1см . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Первый способ по формуле для площади трапеции.
1 см
S
1
1
(a  b)  h  (3  6)  4  18 (см2)
2
2
Второй способ (достроим до прямоугольника):
Sпря м.  4  6  24(см2 )
S1 =
S2 =
1
1
 a  h  1 4  2(см2 )
2
2
1
 2  4  4 (см2 )
2
S3 = 24  2  4  18 (см2 )
Ответ: 18
В 3. Диагонали ромба ABCD 12 и 16 .
Найти длину вектора:
AB  AD
Решение: Длина вектора
Длина вектора
AC
AB  AD равна вектору
равна 16.
AC
В 4. Строительная фирма планирует купить 70 пеноблоков у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно
заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Поставщик
Стоимость
пеноблоков
(руб. за )
Стоимость
доставки
(руб.)
А
2 600
10 000
Б
2 800
8 000
В
2 700
8 000
Решение : Фирма А:
Дополнительные
условия доставки
Нет
При заказе товара на
сумму свыше 150 000
рублей доставка
бесплатная
При заказе товара на
сумму свыше 200 000
рублей доставка
бесплатная
2600 70  10000 192000( р)
Фирма Б:
2800 70  196000( р) за доставку платить не надо
Фирма В:
2700 70  8000 197000( р)
Ответ: 192000
В 4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на
сумму свыше 10000 рублей, он получает скидку на следующую покупку в размере
10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право
возвратить товар в магазин. Покупатель В. Хочет приобрести куртку ценой 9300
рублей, рубашку ценой 1800 рублей и перчатки ценой 1200 рублей. В каком случае
В. Заплатит за покупку меньше всего:
1. В. купит все три товара сразу.
2. В. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.
3. В. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.
В ответ запишите, сколько рублей В.заплатит за покупку в этом случае.
Решение:
1. Все три товара сразу: 9300 1800 1200 12300( руб)
2. Куртка и рубашка:
9300 1800 11100( руб)
Перчатки:
1200 11100 0,1  90( руб)
Итого:
3. Куртка и перчатки:
Рубашка :
Итого:
Ответ: 11190
11100 90  11190( руб)
9300 1200 10500( руб)
1800 10500 0,1  750( руб)
10500 750  11250( руб)
В 5. Найдите корень уравнения :
Решение:
log
2
log
2
( X  3)  3
( X  3)  3 
X-3=23 
X-3= 8 
X=11
Ответ: 11
x
 0,5 В ответе напишите наименьший
В 5. Решите уравнение: sin
3
положительный корень.
x
Решение:
 ( 1) k arcsin 0,5  k , k  Z
3
x
3
 ( 1) k

6
 k , k  Z  
x
1
 ( 1) k
 k, k  Z  3
3
6
x  ( 1) k
k  1  x  
1
 3 0
2
1
 3k , k  Z
2
k 0 x
1
2
k 1 x  
И далее при возрастании к, x тоже будет расти.
Ответ: 0,5
1
 3  2,5
2
k 2 x 
1
 6  6,5
2
В 5. Решите уравнение
6  5x  x Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение:
6  5 x  x 2
x 2  5x  6  0
6  5x  x  


x  0
x  0
 x1  6

 x2  1  x  6
x  0

Ответ: 6
В 6. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол

ВАС равен 32 .
Решение: Угол ВАС- вписанный угол, который опирается на дугу СВ. Угол ВОСцентральный угол, который опирается на ту же дугу. По теореме о вписанном угле,
он равен половине градусной меры дуги СВ, значит дуга СВ = 64 , значит угол ВОС =64
как центральный угол, опирающийся на дугу СВ.
Ответ: 64
В 6. В треугольнике АВС угол С = 58
АD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ, ответ
дайте в градусах.
Решение:
1
1
AOB  180  (OAB  OBA)  180  (A  B)  180  (180  C ) 
2
2
1
180  (180  58 )  180  61  119
2
Ответ: 119
В 7. Найдите
sin 
, если
cos  0,6;  2
Решение: По основному тригонометрическому тождеству
sin 2   cos2   1  sin 2   1  cos2   1  0,62  0,64;
значитsin   0,8
С учетом условия
Ответ: - 0,8
   2
,выбираем ответ
sin   0,8
4
9
В 7. Найдите значение выражения:
Решение:
4
9
5
18
4
9
5
18
7  49
5
2 18
4
9
10
18
4
9
5
9
9
9
7  49  7  (7 )  7  7  7  7  7  7
Ответ: 7
9
18
7
В 7. Найдите значение выражения:
Решение:
9
18
7
7
6
7

6
1
9
7 7
7
1
6
1
18

7
7
7
1 1

9 18
7
1
6
Ответ: 1
Используем:

7
3
18
7
1
6
m
n
 70  1
a 
n
a
m
В 8. На рисунке изображен график дифференцируемой функции y  f (x) . На оси
абсцисс отмечены 9 точек: x1, x2, x3......x9 .Среди этих точек найдите все точки, в
которых производная функции f (x ) отрицательна. В ответе укажите количество
найденных точек.
Решение: Известно, что промежутки возрастания дифференцируемой функции
соответствуют неотрицательной производной, а убывания- неположительной
производной. Значит точки, в которых производная функции отрицательна, должны
лежать на промежутках убывания функции. Это точки 3, 4, 5, 6, 9 .
x x x x x
x x
Но точки
3,
6 соответствуют нулевой
производной. Значит в ответе мы укажем
количество точек 3.
Ответ: 3
В 8. Прямая y  4 x  11 является касательной к графику функции
y  x  7 x 2  7 x  6 .Найдите абсциссу точки касания.
Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной ( y( x0 )  k )  y( x0 )  4 (из уравнения касательной). Найдем
производную функции и составим уравнение для поиска абсциссы точки касания.
y   ( x 3  7 x 2  7 x  6)  3 x 2  14x  7
3
3 x 2  14x  7  4
3 x 2  14x  11  0
D  142  12  11  196  132  64
 14  8
x1 
 1
6
 14  8  22
2
x2 

 3
6
6
3
Значит с таким угловым коэффициентом к данной функции можно провести две
2
касательные. Одна с точкой касания x0  1 , а другая с x0  3
3
Проверим, какая из точек удовлетворяет нашим условиям.
Точка касания должна быть общей и для касательной y  4 x  11 и для функции
y  x3  7 x 2  7 x  6
Проверим
x  1
y(1)  4  (1)  11  7
y(1)  (1)3  7  (1) 2  7  (1)  6  7
Значит точка (-1,-7) является общей точкой для этих функций. Вторую точку
можно не проверять, так как через данную точку можно провести только одну
прямую с угловым коэффициентом k  4
Ответ: -1.
В 9. Диагонали АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 6.
Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Решение: Боковое ребро SB является гипотенузой прямоугольного треугольника SOB,
в котором известен катет SO=4. Осталось найти катет OB и тогда можно будет
применить теорему Пифагора. Так как по условию пирамида правильная , значит в
основании ее лежит квадрат, у которого диагонали равны и в точке пересечения
делятся пополам. Значит,
1
OB=
6  3
2
Применяя теорему Пифагора получаем:
SB2  SO2  OB2  16  9  25  SB  5
Ответ: 5
В 9. Найдите угол ABD, прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5,
AD=4, AA1 =3. Ответ дайте в градусах.
Решение:
AD1B является прямоугольным, так как AD1  AB по
теореме о 3-х перпендикулярах. Нам известен катет BA= 5. По теореме
Пифагора из прямоугольного ADD1, можно найти AD1
AD1  AD2  DD1  16  9  25  AD1  5
2
2
Значит в рассматриваемом AD1B оба катета по 5,
значит треугольник AD1B равнобедренный и
прямоугольный . Оба острых угла такого треугольника по
45
Ответ: 45
Замечание: Можно решить эту задачу через тригонометрические функции для
искомого угла. В таком случае, например тангенс угла ABD1 будет равен единице.
Отсюда мы бы также нашли сам угол.
В 10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается
вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет
из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о
грибах.
m
Решение: Вероятность такого события будем искать по формуле
P ( A)  ,
n
n
m
где
- общее число исходов испытания,
- число интересующих нас исходов.
Проводится испытание- школьник достает 1 билет из 25. Всего возможно 25 исходов.
Из них нас интересует 23 исхода, значит P ( A)  23
25
Ответ: 0,92
В 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение: При бросании двух костей можно получить 36 исходов. Нас интересуют
исходы : 4+4, 5+3, 3+5, 2+6, 6+2, то есть всего 5 исходов.
P ( A) 
Ответ: 0,14
5
 0,13(8)  0,14
36
В 11. Объем первого цилиндра 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза
больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем
второго цилиндра (в м3 ).
Решение:
V  Sосн.  h
Имеем два цилиндра. Пусть R- радиус основания первого цилиндра, h- его
высота. Значит
R 2
R 2  3h 3 2
3
V1  Sосн.  h  R ,V2   ( )  3h 
 R  h  V1
2
4
4
4
3
2
Значит объем второго цилиндра составляет
Ответ: 9
4
объема первого.
В 11. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них
равно 3. Найдите объем пирамиды.
Решение:
1
V  S осн.  h
3
Нам удобно «перевернуть» пирамиду и рассмотреть
ASB в качестве основания, а SC -как высоту
(SC  ASB). Значит
V 
1
S ASB  CS
3
1 1
1
V  ( SB  AS )  CS   3  3  3  4,5
3 2
6
Ответ: 4,5
В 12. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота на которой он
находится описывается формулой h(t )  5t 2  18t , где h-высота в метрах, t- время
в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на
высоте не менее 9 метров.
Решение: Имеем неравенство h(t )  9 Решаем его:
 5t 2  18t  9
 5t 2  18t  9  0
 5t 2  18t  9  0
D  324 180  144
 18  12
t1, 2 
 3;0,6
 10
t  0,6;3 
продолжительность 2,4 с
Ответ: 2,4 с
В 12. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна

I
R  r , где  - ЭДС источника (в вольтах), r= 1 Ом- внутреннее сопротивление, Rсопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока
будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I кз   ?
r
Решение: Задача сводится к решению неравенства
I  0,2 I кз 
Ответ: 4


1
 0,2  
 0,2  R  1  5  R  4
R 1
1
R 1
В 12. Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле t  2V0  sin 
g
При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полета будет не меньше
3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью V0  30 м с ? Считайте, что
g  10 м
с2
Решение: Задача сводится к решению неравенства t ( )  3 на интервале
(0 ;90 ) при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного
падения.
2  30  sin 
1
 3  sin    30 0    90 0
10
2
Ответ: 30
2
В 13. Весной катер идет против течения реки в 1 3 раза медленнее, чем по течению.
Летом течение становится на 1 км медленнее. Поэтому летом катер идет против
ч
1
течения в 1 2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной
(в км ч ).
Решение: Обозначим V км/ч- собственную скорость катера, X км/ч - скорость
течения. Весной отношение скоростей против течения и по течению можно
1
записать в виде равенства V  x  1 2 , а летом V  ( x  1)
1
V x
3
V  ( x  1)
2
Имеем систему уравнений:
V

V

V

V
x 5

3(V  3)  5(V  x)
x 3


 x 1 3
3
(
V

x

1
)

2
(
V

x

1
)


 x 1 2
 2V  8 x

V  5  5 x
Выражаем V из первого уравнения: V= 4x, подставляем во второе уравнение и
получаем уравнение 4x+5=5x, откуда x=5.
Скорость течения 5 км/ч
Ответ: 5
В 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которой равна 400 метров, за 1 минуту. Найти длину поезда в
метрах.
Решение: Сначала выразим скорость поезда в м/с
60 км/ч = 60 1000 м
За 60 секунд точка ,расположенная в самом
100 м

с
с
3600
6
начале состава пройдет расстояние равное сумме длины поезда и длины
лесоповала.
100 м
Точка двигается со скоростью 6 с , значит
Ответ: 600
100
 60  l  400  l  600 м
6
В 13. Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда
требуется для получения 20 килограммов изюма?
Решение: Виноград
Изюм
90%влага
10% остальное
5% влага 95% остальное
При высушивании масса «остального»остается неизменным. В 20 кг изюма эта
масса равна: 20 0,95  19(кг ) , а в винограде эта масса составляет 10%, значит
общая масса винограда 19 : 0,1  190(кг)
Решение: 190
3
В 14. Найдите наибольшее значение функции y  2 cos x  3x 
3
отрезке 0;  


2

Решение: 1) y   ( 2 co s x 
3x 
3
)  2 sin x 
3
2) y   0
 2 sin x 
sin x 
3
2
x  ( 1) k
x 

3 0



 k , k  Z , на 0;
и м еем
3
2


3
3) y (0)  2 cos 0 
y(
y(
Ответ: 1

2

3
)  2 cos
)  2 cos

2

3


3
3
 2
1
3
3

3
3
3
3 


1
2
3
2
3
3
3
1

 2  1
3
3
2
30
3
на
В 14. Найдите точку минимума функции y  (3  x)e3 x
Решение:
3 x
3 x
3 x
1) y  (3  x)e
 (3  x)(e
)  e
 (3  x)(e3 x )  (1)) 
 e3 x  (3  x)e3 x  e3 x (1  3  x)  e3 x (4  x)
2) y  0
 e 3 x ( 4  x )  0
x4
3)
x=4- точка минимума
Ответ: 4