Transcript Решение
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
2012
Лосева
Екатерина Анатольевна
Выполненная работа
первичный балл
тестовый балл
В 2012 году на экзамене по математике максимальная сумма баллов составляет
32 балла.
Часть
B
C1
C2
C3
C4
C5
C6
14 б
2б
2б
3б
3б
4б
4б
Минимальное количество баллов по математике в 2012 году 5 первичных
( 24 тестовых) баллов. Видео-консультации по заполнению бланков,
нормативные документы и любая другая информация по ЕГЭ 2012 года на
официальном информационном портале
WWW.EGE.EDU.RU
Сайты в помощь выпускникам
www.mathege.ru – открытый банк заданий части B. Содержит
десятки тысяч заданий первой части. Также позволяет
пройти он-лайн тестирование.
WWW.reshuege.ru - авторский сайт Гущина Д.Д.Позволяет
самостоятельно генерировать варианты, тематические
работы «Изюминка» сайта : доступны краткие решения
практически всего открытого банка заданий.
www.alexlarin.net – на сайте размещены практически все
тренировочные работы последних лет с ответами и
комментариями.
B 1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов
можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20 %?
Решение: После повышения цены билет будет стоить
15 15 0,2 18 рублей
Разделим 100 на 18 и возьмем в ответ целую часть результата деления:
100
10
5
18
18
Ответ:
Значит, можно купить 5 билетов.
5
В2. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует
специальное предложение: заплатив за две шоколадки , покупатель
получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200
рублей в воскресенье?
200
5
Решение:
5
35
7 ,значит на 200 рублей можно купить две
пары шоколадок и еще одну. Поучается в подарок 2 шоколадки. Всего 7
шоколадок.
Ответ: 7
В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах
Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите на
диаграмме количество месяцев, когда средняя температура Ярославля была
отрицательной.
Ответ: 5
В 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1см 1см . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Первый способ по формуле для площади трапеции.
1 см
S
1
1
(a b) h (3 6) 4 18 (см2)
2
2
Второй способ (достроим до прямоугольника):
Sпря м. 4 6 24(см2 )
S1 =
S2 =
1
1
a h 1 4 2(см2 )
2
2
1
2 4 4 (см2 )
2
S3 = 24 2 4 18 (см2 )
Ответ: 18
В 3. Диагонали ромба ABCD 12 и 16 .
Найти длину вектора:
AB AD
Решение: Длина вектора
Длина вектора
AC
AB AD равна вектору
равна 16.
AC
В 4. Строительная фирма планирует купить 70 пеноблоков у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно
заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Поставщик
Стоимость
пеноблоков
(руб. за )
Стоимость
доставки
(руб.)
А
2 600
10 000
Б
2 800
8 000
В
2 700
8 000
Решение : Фирма А:
Дополнительные
условия доставки
Нет
При заказе товара на
сумму свыше 150 000
рублей доставка
бесплатная
При заказе товара на
сумму свыше 200 000
рублей доставка
бесплатная
2600 70 10000 192000( р)
Фирма Б:
2800 70 196000( р) за доставку платить не надо
Фирма В:
2700 70 8000 197000( р)
Ответ: 192000
В 4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на
сумму свыше 10000 рублей, он получает скидку на следующую покупку в размере
10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право
возвратить товар в магазин. Покупатель В. Хочет приобрести куртку ценой 9300
рублей, рубашку ценой 1800 рублей и перчатки ценой 1200 рублей. В каком случае
В. Заплатит за покупку меньше всего:
1. В. купит все три товара сразу.
2. В. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.
3. В. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.
В ответ запишите, сколько рублей В.заплатит за покупку в этом случае.
Решение:
1. Все три товара сразу: 9300 1800 1200 12300( руб)
2. Куртка и рубашка:
9300 1800 11100( руб)
Перчатки:
1200 11100 0,1 90( руб)
Итого:
3. Куртка и перчатки:
Рубашка :
Итого:
Ответ: 11190
11100 90 11190( руб)
9300 1200 10500( руб)
1800 10500 0,1 750( руб)
10500 750 11250( руб)
В 5. Найдите корень уравнения :
Решение:
log
2
log
2
( X 3) 3
( X 3) 3
X-3=23
X-3= 8
X=11
Ответ: 11
x
0,5 В ответе напишите наименьший
В 5. Решите уравнение: sin
3
положительный корень.
x
Решение:
( 1) k arcsin 0,5 k , k Z
3
x
3
( 1) k
6
k , k Z
x
1
( 1) k
k, k Z 3
3
6
x ( 1) k
k 1 x
1
3 0
2
1
3k , k Z
2
k 0 x
1
2
k 1 x
И далее при возрастании к, x тоже будет расти.
Ответ: 0,5
1
3 2,5
2
k 2 x
1
6 6,5
2
В 5. Решите уравнение
6 5x x Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение:
6 5 x x 2
x 2 5x 6 0
6 5x x
x 0
x 0
x1 6
x2 1 x 6
x 0
Ответ: 6
В 6. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол
ВАС равен 32 .
Решение: Угол ВАС- вписанный угол, который опирается на дугу СВ. Угол ВОСцентральный угол, который опирается на ту же дугу. По теореме о вписанном угле,
он равен половине градусной меры дуги СВ, значит дуга СВ = 64 , значит угол ВОС =64
как центральный угол, опирающийся на дугу СВ.
Ответ: 64
В 6. В треугольнике АВС угол С = 58
АD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ, ответ
дайте в градусах.
Решение:
1
1
AOB 180 (OAB OBA) 180 (A B) 180 (180 C )
2
2
1
180 (180 58 ) 180 61 119
2
Ответ: 119
В 7. Найдите
sin
, если
cos 0,6; 2
Решение: По основному тригонометрическому тождеству
sin 2 cos2 1 sin 2 1 cos2 1 0,62 0,64;
значитsin 0,8
С учетом условия
Ответ: - 0,8
2
,выбираем ответ
sin 0,8
4
9
В 7. Найдите значение выражения:
Решение:
4
9
5
18
4
9
5
18
7 49
5
2 18
4
9
10
18
4
9
5
9
9
9
7 49 7 (7 ) 7 7 7 7 7 7
Ответ: 7
9
18
7
В 7. Найдите значение выражения:
Решение:
9
18
7
7
6
7
6
1
9
7 7
7
1
6
1
18
7
7
7
1 1
9 18
7
1
6
Ответ: 1
Используем:
7
3
18
7
1
6
m
n
70 1
a
n
a
m
В 8. На рисунке изображен график дифференцируемой функции y f (x) . На оси
абсцисс отмечены 9 точек: x1, x2, x3......x9 .Среди этих точек найдите все точки, в
которых производная функции f (x ) отрицательна. В ответе укажите количество
найденных точек.
Решение: Известно, что промежутки возрастания дифференцируемой функции
соответствуют неотрицательной производной, а убывания- неположительной
производной. Значит точки, в которых производная функции отрицательна, должны
лежать на промежутках убывания функции. Это точки 3, 4, 5, 6, 9 .
x x x x x
x x
Но точки
3,
6 соответствуют нулевой
производной. Значит в ответе мы укажем
количество точек 3.
Ответ: 3
В 8. Прямая y 4 x 11 является касательной к графику функции
y x 7 x 2 7 x 6 .Найдите абсциссу точки касания.
Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной ( y( x0 ) k ) y( x0 ) 4 (из уравнения касательной). Найдем
производную функции и составим уравнение для поиска абсциссы точки касания.
y ( x 3 7 x 2 7 x 6) 3 x 2 14x 7
3
3 x 2 14x 7 4
3 x 2 14x 11 0
D 142 12 11 196 132 64
14 8
x1
1
6
14 8 22
2
x2
3
6
6
3
Значит с таким угловым коэффициентом к данной функции можно провести две
2
касательные. Одна с точкой касания x0 1 , а другая с x0 3
3
Проверим, какая из точек удовлетворяет нашим условиям.
Точка касания должна быть общей и для касательной y 4 x 11 и для функции
y x3 7 x 2 7 x 6
Проверим
x 1
y(1) 4 (1) 11 7
y(1) (1)3 7 (1) 2 7 (1) 6 7
Значит точка (-1,-7) является общей точкой для этих функций. Вторую точку
можно не проверять, так как через данную точку можно провести только одну
прямую с угловым коэффициентом k 4
Ответ: -1.
В 9. Диагонали АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 6.
Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.
Решение: Боковое ребро SB является гипотенузой прямоугольного треугольника SOB,
в котором известен катет SO=4. Осталось найти катет OB и тогда можно будет
применить теорему Пифагора. Так как по условию пирамида правильная , значит в
основании ее лежит квадрат, у которого диагонали равны и в точке пересечения
делятся пополам. Значит,
1
OB=
6 3
2
Применяя теорему Пифагора получаем:
SB2 SO2 OB2 16 9 25 SB 5
Ответ: 5
В 9. Найдите угол ABD, прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5,
AD=4, AA1 =3. Ответ дайте в градусах.
Решение:
AD1B является прямоугольным, так как AD1 AB по
теореме о 3-х перпендикулярах. Нам известен катет BA= 5. По теореме
Пифагора из прямоугольного ADD1, можно найти AD1
AD1 AD2 DD1 16 9 25 AD1 5
2
2
Значит в рассматриваемом AD1B оба катета по 5,
значит треугольник AD1B равнобедренный и
прямоугольный . Оба острых угла такого треугольника по
45
Ответ: 45
Замечание: Можно решить эту задачу через тригонометрические функции для
искомого угла. В таком случае, например тангенс угла ABD1 будет равен единице.
Отсюда мы бы также нашли сам угол.
В 10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается
вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет
из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о
грибах.
m
Решение: Вероятность такого события будем искать по формуле
P ( A) ,
n
n
m
где
- общее число исходов испытания,
- число интересующих нас исходов.
Проводится испытание- школьник достает 1 билет из 25. Всего возможно 25 исходов.
Из них нас интересует 23 исхода, значит P ( A) 23
25
Ответ: 0,92
В 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение: При бросании двух костей можно получить 36 исходов. Нас интересуют
исходы : 4+4, 5+3, 3+5, 2+6, 6+2, то есть всего 5 исходов.
P ( A)
Ответ: 0,14
5
0,13(8) 0,14
36
В 11. Объем первого цилиндра 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза
больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем
второго цилиндра (в м3 ).
Решение:
V Sосн. h
Имеем два цилиндра. Пусть R- радиус основания первого цилиндра, h- его
высота. Значит
R 2
R 2 3h 3 2
3
V1 Sосн. h R ,V2 ( ) 3h
R h V1
2
4
4
4
3
2
Значит объем второго цилиндра составляет
Ответ: 9
4
объема первого.
В 11. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них
равно 3. Найдите объем пирамиды.
Решение:
1
V S осн. h
3
Нам удобно «перевернуть» пирамиду и рассмотреть
ASB в качестве основания, а SC -как высоту
(SC ASB). Значит
V
1
S ASB CS
3
1 1
1
V ( SB AS ) CS 3 3 3 4,5
3 2
6
Ответ: 4,5
В 12. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота на которой он
находится описывается формулой h(t ) 5t 2 18t , где h-высота в метрах, t- время
в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на
высоте не менее 9 метров.
Решение: Имеем неравенство h(t ) 9 Решаем его:
5t 2 18t 9
5t 2 18t 9 0
5t 2 18t 9 0
D 324 180 144
18 12
t1, 2
3;0,6
10
t 0,6;3
продолжительность 2,4 с
Ответ: 2,4 с
В 12. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна
I
R r , где - ЭДС источника (в вольтах), r= 1 Ом- внутреннее сопротивление, Rсопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока
будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I кз ?
r
Решение: Задача сводится к решению неравенства
I 0,2 I кз
Ответ: 4
1
0,2
0,2 R 1 5 R 4
R 1
1
R 1
В 12. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле t 2V0 sin
g
При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полета будет не меньше
3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью V0 30 м с ? Считайте, что
g 10 м
с2
Решение: Задача сводится к решению неравенства t ( ) 3 на интервале
(0 ;90 ) при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного
падения.
2 30 sin
1
3 sin 30 0 90 0
10
2
Ответ: 30
2
В 13. Весной катер идет против течения реки в 1 3 раза медленнее, чем по течению.
Летом течение становится на 1 км медленнее. Поэтому летом катер идет против
ч
1
течения в 1 2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной
(в км ч ).
Решение: Обозначим V км/ч- собственную скорость катера, X км/ч - скорость
течения. Весной отношение скоростей против течения и по течению можно
1
записать в виде равенства V x 1 2 , а летом V ( x 1)
1
V x
3
V ( x 1)
2
Имеем систему уравнений:
V
V
V
V
x 5
3(V 3) 5(V x)
x 3
x 1 3
3
(
V
x
1
)
2
(
V
x
1
)
x 1 2
2V 8 x
V 5 5 x
Выражаем V из первого уравнения: V= 4x, подставляем во второе уравнение и
получаем уравнение 4x+5=5x, откуда x=5.
Скорость течения 5 км/ч
Ответ: 5
В 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которой равна 400 метров, за 1 минуту. Найти длину поезда в
метрах.
Решение: Сначала выразим скорость поезда в м/с
60 км/ч = 60 1000 м
За 60 секунд точка ,расположенная в самом
100 м
с
с
3600
6
начале состава пройдет расстояние равное сумме длины поезда и длины
лесоповала.
100 м
Точка двигается со скоростью 6 с , значит
Ответ: 600
100
60 l 400 l 600 м
6
В 13. Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда
требуется для получения 20 килограммов изюма?
Решение: Виноград
Изюм
90%влага
10% остальное
5% влага 95% остальное
При высушивании масса «остального»остается неизменным. В 20 кг изюма эта
масса равна: 20 0,95 19(кг ) , а в винограде эта масса составляет 10%, значит
общая масса винограда 19 : 0,1 190(кг)
Решение: 190
3
В 14. Найдите наибольшее значение функции y 2 cos x 3x
3
отрезке 0;
2
Решение: 1) y ( 2 co s x
3x
3
) 2 sin x
3
2) y 0
2 sin x
sin x
3
2
x ( 1) k
x
3 0
k , k Z , на 0;
и м еем
3
2
3
3) y (0) 2 cos 0
y(
y(
Ответ: 1
2
3
) 2 cos
) 2 cos
2
3
3
3
2
1
3
3
3
3
3
3
1
2
3
2
3
3
3
1
2 1
3
3
2
30
3
на
В 14. Найдите точку минимума функции y (3 x)e3 x
Решение:
3 x
3 x
3 x
1) y (3 x)e
(3 x)(e
) e
(3 x)(e3 x ) (1))
e3 x (3 x)e3 x e3 x (1 3 x) e3 x (4 x)
2) y 0
e 3 x ( 4 x ) 0
x4
3)
x=4- точка минимума
Ответ: 4