Transcript Презентация к уроку.

y
0

2
x
Работа учеников
11 «А» класса
гимназии №5
Научный руководитель,
учитель высшей категории,
Калинина Елена Петровна
Содержание.
1.Теоретический материал.
2.Основные методы решения.
3.Нестандартные методы решения.
4.Тренировочный материал по теме.
Основные формулы решения
тригонометрических уравнений.
Определения arccos, arcsin
Определения arctg, arcctg
Формулы для решения
тригонометрических уравнений
Тождественные преобразования
Частные случаи
Определение
arcsin a,
arccos a
• Пусть число |a| не
превосходит 1. arcsin
числа а называется
угол х, лежащий в
пределах [-π/2;π/2],
sin которого равен а
• x=arcsin a, где
x⍷[π/2;π/2] и
sinx=a, |a|<1
• Пусть число |a| не
превосходит 1. arccos
числа а называется
угол х, лежащий в
пределах [0;π],cos
которого равен а
• x=arccos a, где
x⍷[0;π] и cosx=a,
|a|<1
Определение
arctg
arcctg
• arctg числа а
называется угол
х, лежащий в
пределах
(-π/2;π/2),tg
которого равен а
• x=arctg a, где
x⍷(π/2;π/2) и
tgx=a.
• arcctg числа а
называется угол
х,лежащий в
пределах
(0;π),ctg
которого равен а
• x=arcctg a, где
x⍷(0;π) и ctgx=a,
Формулы для решения
тригонометрических уравнений
• Sin x  a, x  (-1 ) arcsin a   n, n Z
n
• cos x  a, x   arccos a  2  n , n  Z
•tg x  a, x  arctg a  n, n Z
•ctg x  a, x  arcctg a  n, n Z
Тождественные преобразования
• Sin (arcsin a)  a, | a | 1
• Arcsin(sin x)  x, x    2;  2
• Arcsin(-a) -arcsina
• Cos(arccosa)  a, | a | 1
• arccos(cosx)  x, x  0;  
• Arccos(-a)  - arccosa
• t g (arct ga)  a,
• Arct g(t gx)  x,
• Arct g(-a) -arct ga
• Ct g(arcct ga)  a,
• arcct g(ct gx)  x,
Arcct g(-a)  - arcct ga
Частные случаи
•
•
•
•
•
•
•
•
Sin x=1,x=π/2+2πn
Sin x=-1,
x=-π/2+2πn
Sin x=0,x=πn
cos x=1,x=2πn
cos x=-1,
x=2πn+ π
cos x=0,x=π/2+πn
• Во всех случаях n  Z
tg x=0,x=πn
• ctg x=0,x=π/2+πn
 y
2

0
3
2
x
2.СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
1).Уравнения приводимые к алгебраическим.
2). Уравнения решаемые приведением
к виду f ( x) g ( x)  0
3).Однородное уравнение.
4). Понижение степени. Уравнения с использованием
1  cos 2 x
и sin x 
.
2
5). Уравнения содержащие различные функции
6).Уравнения с условиями
1  cos 2 x
формул cos x 
2
2
2
1).Уравнения приводимые к алгебраическим.
2
Уравнения вида sin x  sin x  c  0 решаются
заменой sin x на a при a  1 ,далее решение сводится
к решению квадратного уравнения относительно a ,затем
происходит отбор полученных корней с учетом a  1
 Пример: 2 sin 2 x  3sin x  2  0
заменим sin x на a при a  1
2
2a  3a  2  0
D  25
a  0,5; a  2
a  2 не удовлетворяет условию
sin x  0,5; x  (1)
n
Ответ: x  ( 1)
n

6

6
 n; n  Z
 n; n  Z
2).Уравнения решаемые приведением к
виду f ( x) g ( x)  0
 Пример: sin x  sin 2 x  sin 3x  0
2 sin 2 x cos x  sin 2 x  0
sin 2 x(2 cos x  1)  0
sin 2 x  0
n
x
;n  Z
2
2 cos x  1  0
1
cos x  
2
1
x   ar cos( )  2n; n  Z
2
2
x
 2n; n  Z
3
3).Однородное уравнение
a sin x  b cos x  0 однородное уравнение первого порядка
однородное уравнение
второго порядка.
Данные уравнения решаются делением каждого члена
2
2
sin
x
cos
x , так как sin x  0 и
уравнения на
или на
cos x  0 .Если быsin x  0 , то это противоречило основному тригонометрическому тождеству sin 2 x  cos2 x  1
 Пример: sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos2 x
2
2
делим на cos x , получим  3  2tgx  tg x  0
2
a
 2a  3  0; D  4  12  16
tgx
заменим
на a
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0
вернемся к замене
a1  1; a2  3
tgx  3
или tgx  1
x  arctg3  n;
x   / 4  n; n  Z .
4).Понижение степени. Уравнения с использованием
1  cos 2 x .
1  cos 2 x и 2
формул
2
sin x 
cos x 
2
2
 Пример: cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  0
применим формулу
1  cos 2 x
cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x
cos x 
(
)0
2
2
2
далее группируем и по формулам
ab
a b
cos a  cos b  2 sin
sin
 sin 6 x sin 2 x  sin 4 x sin 2 x  0
2
2
ab
a  b sin 2 x(sin 6 x  sin 4 x)  0
cos a  cos b  2 cos
cos

2
2
sin 2 x  0 или sin 6 x  sin 4 x  0
ab
a b
применяем sin a  sin b  2 sin 2 cos 2
получим
2 sin 5 x cos x  0  cos x  0 или sin 5 x  0.
5).Уравнения содержащие различные функции.
 Пример: tgx(sin x  1)  0

область определения уравнения x   n; n  Z
2
sin x  1
tgx  0
или
3
x  n; n  Z
x
 2n; n  Z
2
не удовлетворяет
x

2
 n; n  Z
Значит решением уравнения является
x  n; n  Z .
6).Уравнения с условиями
Найти число корней на интервале ( ;  )
8 cos4 x  11cos 2 x  1
заменим
8 cos4 x  11(2 cos2 x  1)  1
4t 2  11t  6  0 
t1 
cos2 x на t где 0  t  1
3
; t2  2
4
3
3
вернемся к замене cos x 
или cos x  
2
2
Получим 4 серии корней
x  ( / 6)  2n; n  Z
x  (5 / 6)  2n; n  Z
Объединим 4 серии корней в 2 серии
x  ( / 6)  n, n  Z
Отберем корни принадлежащие интервалу
 


6
  
 n   ; n  Z
7
5
n
6
6
n   1;0; x 


6
;x  
5
6

6
 n   ; n  Z
5
7
n
6
6
n  0;1; x  

6
;x 
5
6
2) СПОСОБ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ
Мы видим, что ( ;  )

4 корня
2
5
6
y

6


5

6
0


2


6
x
3.Нестандартные методы решения.
а) Использование ограниченности функций.
б)Использование производной для решения
уравнений.
в) Использование свойств синуса и косинуса.
г) Использование числовых неравенств.
д) Решение тригонометрических систем с
параметром.
е) упражнения и ответы.
а).Использование ограниченности функций.
 Пример № 1:
7
5
Решим уравнение cos x  sin x  1
Поскольку cos2 x  sin 2 x  1 то,
cos7 x  sin 5 x  cos2 x  sin 2 x тогда




cos x cos x  1  sin x 1  sin x
2
5

cos
x
cos
x  1  ,0
Для любых x имеем
2
3
а sin x1  sin x   0 поэтому уравнение
2
5
2
3
равносильно системе уравнений
cos2 x cos5 x  1  0 множество решений которой
 2
3
sin
x
1

sin
x  0 совпадает с множеством решений

совокупности систем уравнений
cos x  0 cos x  1 Ответ:   2n, n  Z ; 2 n, n  Z
.
2


 sin x  1 и sin x  0




б).Использование производной для решения
уравнений.
При решении уравнений часто бывает полезно доказать
возрастание (убывание) на некотором промежутке
функций, в него входящих.При этом часто пользуются
производной.
 Пример №1. Решить уравнение
20x7  28x5  210x  35sin 2 x  0
7
5
f
(
x
)

20
x

28
x
 210x  35sin 2x
Рассмотрим функцию
Поскольку эта функция на интервале X  (;) , имеет
производную f ' ( x)  140x6  140x 4  210 70cos2x,
которая положительна на этом интервале, то функция
f (х) возрастает на интервале Х. Так как функция f
непрерывна на Х, то каждое своё значение она принимает
только в одной точке. Значит f (х)=0 имеет не более
одного корня. Число х1=0 является корнем f (х)=0.
Поскольку функция f непрерывна и возрастает, то f (х)=0
при х=0.
Ответ:0.
г).Использование свойств синуса и косинуса.
 Пример№1. Решим уравнение sin x cos 4 x  1
Если число х 0 - решение уравнения, то либо sin x0  1 ,
либо sin x0  1 . Действительно, если бы было
справедливо неравенство sin x0  1 , то из уравнения
следовало бы, что cos4x0  1 , что естественно, невозможно. Но если sin x0  1 , то cos 4 x0  1; если же sin x0  1 ,
то cos 4 x0  1. Следовательно, любое решение уравнения
является решением совокупности двух систем уравнений
Первое уравнение первой
 sin x 0  1
 sin x0  1
и 
системы имеет решения

cos
4
x

1
0

xk  ( / 2)  2 ,   Z
cos 4 x0  1
Все они удовлетворяют второму уравнению. То есть
являются решениями системы. Первое уравнение второй
системы имеет решения xk  ( / 2)  2,   Z . Ни одно из
этих чисел не удовлетворяет второму уравнению второй
системы. Поэтому система не имеет решений.
Ответ: xk  ( / 2)  2 ,   Z .
xk 

 2 ,   Z
Решением первой системы является
2
решением второй системы является xn  2n, n  Z
Все эти решения являются решениями совокупности
систем.
Ответ: x k    2 ,   Z ; x k    2 ,   Z .
2
,
.
2
 Пусть множество М есть общая часть (пересечения)
областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для
любого x  M справедливы неравенства f(x)  А и
g(x)  А, где А - некоторое число. Тогда неравенство
f(x)  g(x) равносильно системе уравнений  f ( x)  A

 g ( x)  A
 Пример № 2. Решим уравнение 3 cos4 2 x  2 sin 5 x  5
Если число х0 - решение уравнения, то cos2x0  1 , так как
в противном случае было бы справедливо неравенство
sin 5x0  1 , что невозможно. Но если cos2x0  1 , то из
уравнения следует, что sin x0  1 . Поэтому любое
решение уравнения является решением системы
уравнений  sin x  1
Первое уравнение системы

 cos 2 x  1
xk  

 2 ,   Z
имеет решения
.
2
Все они удовлетворяют второму уравнению системы, т.е.
являются всеми решениями системы и равносильного ей
уравнения.

x k    2 ,   Z
Ответ:
.
2
д). Использование числовых неравенств.
Иногда применение того или иного числового
неравенства к одной из частей уравнения позволяет
заменить его равносильной системой уравнений.
Часто применяется неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим :
ab
 ab , где a  0, b  0
2
(причём равенство здесь возможно лишь при a=b),
и его следствие: a  1  2, где a  0 (1)
a
2x
x
x

x
Пример № 1. Решить уравнение 2  2
 2 cos
(2)
6
Решение. Область определения:x-любое.
Применив неравенство (1),получим, что справедливо
x
x
неравенство 2  2  2 (3) .
x2  x
 2 (4)
Для любого x справедливо неравенство 2 cos
6
Из справедливости неравенств (3) и (4) следует, что
уравнение (2) превращается в верное равенство лишь для
тех х для которых обе части уравнения (2)равны 2, т.е. для
х удовлетворяющих системе:
2 x  2  x  2


x2  x
cos
1
6

x  0

(5).  
 x  0.
x2  x
1
cos
6

1
2  x  2; замена 2 x  a, a  0; a 2  2a  1  0, 2 x  1  x  0.
2
Ответ:х=0.
x
cos 2 x
x 2
Пример №2.
2sin x
1 4 2
2
2
(6)
Решить уравнение 2
Применяя неравенство между средним арифметическим
и средним геометрическим 2 раза получим что для любого
х справедливы неравенства:
2
2
2
sin 2 x
2
2 2
2
2 2
(cos 2 x ) / 2
2 2
sin 2 x (cos 2 x ) / 2
2
sin 2 x
2 2
 2 (cos 2 x ) / 2
2 21 / 2

1
4
1 4 2
 22  2
Значит уравнение (6)превращается в верное равенство лишь
для тех х, для которых применённое неравенство
выполняется оба раза со знаком равенства, т.е. при условии
2
sin 2 x
2
(cos 2 x ) / 2
 sin x  (cos2 x)2
2
т.к. sin 2 a  (1  cos 2a) / 2, т о cos 2 x  1 / 2
Решением уравнения cos2x=1/2 (7) есть числа
x

6
  n, n  Z .
Уравнение (6) равносильно уравнению (7)значит все
решения уравнения (7) являются решениями уравнения (6).

Ответ: x     n, n  Z .
6
2
cos2 x sin 8 x

2
2


2
cos

x
(8).
8
2
sin x cos x
4
Пример №3.
Решить уравнение
Пусть число x0 есть любое решение уравнения (8). Тогда
2
8
2
cos
x
sin
x

2
справедливо
2
0
0
8
sin x0

2
cos x0
 2 cos
4
 x0 .
Применяя неравенство (1), получим что справедливо
неравенство
2
8
cos x0 sin x0
. В то же время справедливо


2
8
2
sin x0 cos x0
2
2
2
2
cos
(

/
4
)

x
0  2 .Следовательно,
неравенство
любое решение уравнения (8)
2
8

cos
x
sin
x
является решением системы
2
 8 
2
 sin x cos x
cos2 ( 2 / 4)  x 2



(9).
x  и x2  
Решая систему получим 1 2
2 .
Уравнение (8) равносильно системе (9) и имеет те же
решения.


;

Ответ:
2
2
е) Решение тригонометрических систем с
параметром.
 Пример: Установить, при каких значениях а система
2
2
уравнений имеет решение. 
sin x cos 2 y  a  1  1

Найти все решения.




cos x sin 2 y  a  1
Так как левые части уравнений не превышают 1, то
2
2
можно иметь решение только при а,

 a 1 1  1
удовлетворяющих системе неравенств. 

 a 1  1
Этой системе удовлетворяет только а=  1 .
Итак, система принимает вид:  sin x cos2 y  1



cos x sin 2 y  0

Складывая и вычитая почленно уравнения системы
sin x  2 y   1


cos x sin 2 y  sin x cos2 y  1 sin x  2 y   1
   n 



y

x




n

Решением системы является:
;
получаем:sin x cos2 y  cos x sin 2 y  1
2
2
ж).Упражнения и ответы.
Решите уравнение:
1)
2)
cos x  sin x  1
xn  2n, n  Z
Ответ:
;

x k   2 ,   Z
2
 
8
7
2 sin 2 x  5 cos 4 x  7 Ответ:  ,   Z
5
3
4
2

3) 3 sin 2 x  7 cos 4 x  10
Ответ:  4   ,   Z

 2 ,   Z
4) sin x cos 8 x  1
Ответ:
2
3
4
2
cos2 2 x sin 8 x

2
2
5)


2
cos

x
4
sin 8 x cos2 2 x
Решите неравенство:
12x 5  10x 3  35x  17sin 2 x  0
 
Ответ:
 ;
2 2
Ответ:
0;
4.Тренировачный материал по теме.
 1 вариант.
 2 вариант.
 3 вариант.
 4 вариант.
Ответы к тестам.
3 вариант.
2
1. 2 cos x  5 sin x  4  0



n 
а) (1)  n, n  z ;б)  n, n  z ;в)  2n, n  z ;г)  n, n  z
3
6
6
6
2
4
sin
x  sin 2 x  3
2.
 arctg3  k , k  z
arctg3  2k , k  z


а)  n, n  z
;б)   n, n  z ; в) 
;


n
,
n

z
4
4
4

г)   n, n  z .
4
2 x
3. 2 cos 2  sin x  0

в) 2  n, n  z ;


2

n
,
n

z
  k , k  z
а) 2
;б) 
; г)   n, n  z .
  2k , k  z
   n, n  z
2
4.
sin x  sin 3x  sin 5 x  sin 7 x  0
n
а) 2 , n  z ;б) 
n
k
,n z

n
 n, n  z
4
, k  z ;в) 4
;г) 
2
 2k , k  z
k , k  z
2
5. Число корней уравнения cos 2 x  sin 4 x  cos x  sin 5 x
на интервале ( ;  ) равно: а) 5; б) 4; в) 3; г) 7;
6.
Найдите наименьший положительный корень
уравнения cos 2 x  5 sin x  3  0
а)

3
;б)

6
;в)

4
;г).

2 вариант.
2
3
sin
2 x  7 cos2 x  3  0
n
1.
n 
(

1
)

n,

 n

4 2
а)  n, n  z ;б)  , n  z ;в)   2n, n  z ;г)
4
4
4
2
n z
2. sin x  sin 2 x  3 cos x
2
2
arctg3  n, n  z
а) 

4
 k , k  z
;б)arctg5  n, n  z ;в)
г) arctg 3  n, n  z


 2n, n  z
4
 2k , k  z
;

3. 3 cos x  2 sin 2 x  0


 2k , k  z .
4
 n, n  z
3
 arccos  2k , k  z;
а)
;б)
;в)
3
k

1
3
4
( 1) k arcsin  k , k  z (1) arcsin 4  k , k  z
2
4
2
г)

2
 n, n  z
.
4. cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x  cos2 4 x  2
k



n
,k  z
а)

, n  z ;б)  k , k  z ;в) 4
10 5
6

5

n
2
k
;г)4 , k  z

n
,n z
10

5.Число корней уравнения 2 sin x  ctgx  0
 3
(

; )
на интервале
равно:
2 2
а).
1
б).
0
в).
2
г).
6.
Найдите наибольший отрицательный корень
уравнения cos 2 x  3 cos x  1


2
5




а). 3
б).
в).
г).
3
6
6
5
,n z
3
1 вариант.
1.2 cos x  2 2 sin x  3  0

n 
n 
 n, n  z
 n, n  z в).(1)
а).   n, n  z б). (1)
3
6
6

г).  2n, n  z
6
2
2
2
3
cos
x

5
sin
x  sin 2 x  0
2.
а).
3
arctg  k , k  z
5


4
 n, n  z
3
 2n, n  z
б). arctg  2k , k  z в). 4
5
arctg0,6  2k , k  z
г). 
x
  2n, n  z
1
4
x
4
cos

sin
3.
3
3
2

3
1
 2k , k  z 3n, n  z
а).6n, n  z б). 4
в).
г). 3 n, n  z
3
3n, n  z
 3k , k  z
2
4. cos 7 x  sin 8 x  cos 3x  sin 2 x
k
k
,k  z

,k  z
k
5
,k  z
5
а).  2n
б).10
в). 

,n z
  n, n  z

10
5
2
 n, n  z


2

 2m, m  z
2n
,n z
5
2



20

2m
,m z
5
 k , k  z
г). 20
4
5.Число корней уравнения sin 3 x  cos3 x  1  sin x  cos x
на интервале (2 ;  ] равно:
а).
9
б).
4
в).
6
г).
3
6.
Найдите наименьший положительный корень
уравнения 3  cos2 x  3 2 cos x  0
1
3
а). 
б).
в). 
г).
4
4
4

( 1) k
4 вариант.
1. cos 2 x  5 sin x  3  0
а). (1)
г).


n

3
 n, n  z б).(1)
n 1

6
 n, n  z в). 

6
 2n, n  z
 n, n  z
3
2
2. 2 sin 4 x  3sin 2 x  1
1
1 n
1
а).2arctg2  n, n  z б).  arctg 2  n, n  z в). 2 arctg 2  2 , n  z
2
1
г).  arctg 2  2n, n  z
2
x
x
sin
 cos  1
2
2
3.
  n, n  z


2

n
,
n

z
а).
б).   2n, n  z в).
4  4k , k  z
2  4k , k  z г).2  4n, n  z
2
4. sin 2 3x  sin 2 4 x  sin 2 5x  sin 2 6 x
k
n
n
а).
9
, n  z б). 2
,k  z
n, n  z
г).
k
,n z
в). 4
n
k
,n z
,k  z
9
9
9
,k  z
4
4
sin
x

cos
x 1
5. Число корней уравнения
на интервале (0;3 ) равно:
а).
5
б).
2
в).
6
6.
Вычислите сумму корней уравнения,
sin 2 x  cos 5 x  sin 3x  cos 4 x  0
лежащих на отрезке [ ;  ]
а).

б). 2
в). 0
г).

г).
3
Ответы к тестам.
Вариант1 Вариант2 Вариант3 Вариант4
№1
б)
Б
А
Б
№2
А)
А
А
В
№3
В)
Б
Б
А
№4
А)
Г
В
Б
№5
Б
В
Г
Г
№6
г
А
б
В