Transcript cos x = 1 - petrova.21419s02.edusite.ru

Восемь способов решения
тригонометрического уравнения
sin x – cos x = 1
Проект составил ученик 10п класса
МОУ «Бичурга – Баишевская СОШ»
Мишкин Михаил
2007 г.
Цель:
Лучше подготовится к ЭГЕ.
1-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ
ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА.
sin x – cos x =1
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а
правую часть заменим тригонометрической единицей:
2sin x/2 * cos x/2 – cos² x/2 +sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2
2sin x/2 * cos x/2 – 2cos² x/2 = 0
cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю,
а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или
sin x/2 – cos x/2 = 0
cos x/2 = 0; x/2 = π/2 + πk; x = π + πk; k Є Z;
sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе
его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 =
0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1).
Получим
tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn;
x = π/2 + 2πn; n Є Z.
x = π + 2πk; k
Ответ:
Є
Z или x = π/2 + 2πn, n
Є
Z.
2-й способ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ.
sin x – cos x =1
sin x – (1 + cos x) = 0;
Так как 1 + cos x = 2cos² x/2, а sin x = 2sin x/2 * cos x/2,
то
2sin x/2 * cos x/2 – 2cos² x/2 = 0;
cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) = 0
cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или
sin x/2 – cos x/2 = 0
cos x/2 = 0; x/2 = π/2 + πk; x = π + πk; k Є Z;
sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе
его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 =
0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1).
Получим
tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn;
x = π/2 + 2πn; n Є Z.
Ответ:
x = π + 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.
3-й способ. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА (ЧИСЛА).
sin x – cos x = 1
В левой части уравнения вынесем √2 за скобку (корень квадратный из суммы
квадратов коэффициентов при sin x и cos x). Получим
√2(sin x * 1/√2 – cos x * 1/√2) = 1;
sin x cos π/4 – cos x sin π/4 = 1/√2;
sin (x – π/4) = √2/2
x – π/4 = (-1)k arcsin √2/2 + πk, k Є Z.
Ответ:
x = π/4 + (-1)k * π/4 + πk, k Є Z.
С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение
x = π/4 + (-1)k * π/4 + πk
распадается на два случая
x = π + 2πk,
x = π/2 + 2πk;
x – π/4 = π/4 + 2πn,
sin (x – π/4) = √2/2 =>
=>
x – π/4 = 3π/4 + 2πk;
x = π/2 + 2πn, n Є Z,
x = π + 2πk, k Є Z.
4-й способ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ)
ТРИГОЯНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
sin x – cos x = 1
Запишем уравнение в виде
sin x – sin (π/2 – x) = 1.
Применяем формулу разности двух синусов, получим
2sin (x – π/4) cos π/4 = 1
2sin (x – π/4) * √2/2 = 1
sin (x – π/4) = 1/√2
x – π/4 = (-1)k arcsin √2/2 + πk, k Є Z.
Ответ:
x = π/4 + (-1)k * π/4 + πk, k Є Z.
С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение
x = π/4 + (-1)k * π/4 + πk
распадается на два случая
x = π + 2πk,
x = π/2 + 2πk;
x – π/4 = π/4 + 2πn,
x = π/2 + 2πn, n Є Z,
sin (x – π/4) = √2/2 =>
=>
x – π/4 = 3π/4 + 2πk;
x = π + 2πk, k Є Z.
5-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ ФУНКЦИЙ.
sin x – cos x = 1
Так как sin² x + cos² x = 1, то
sin x = ± √1 – cos² x ,
sin x – cos x = 1  ± √1- cos² x – cos x = 1 ,
± √1 – cos² x = 1 + cos x.
Возведём обе части полученного уравнения в квадрат:
1 – cos² x = 1 + 2cos x + cos²x ,
2cos² x + 2cos x = 0 ,
cos x = 0
cos x (cos x + 1) = 0 =>
cos x + 1 = 0
cos x = 0; x = π/2 + πk, k Є Z
cos x + 1; cos x = -1; x = π + 2πn, n Є Z
В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести у появлению
посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним её.
Полученные решения эквиваленты объединению трёх решений:
x = π/2 + 2πk,
x = π + 2πn,
x = - π/2 +2πm.
Первое и второе решения совпадают с ранее полученными,
поэтому не являются посторонним.
Проверим
x = - π/2 + 2πm, m Є Z.
Левая часть: sin (-π/2 + 2πm) – cos (-π/2 + 2πm) = sin (-π/2) – cos (-π/2) = -1 – 0 = -1.
Правая часть: 1.
Следовательно, x = - π/2 + 2πm, m Є Z – постороннее решение.
Ответ:
x = π/2 + 2πk, k Є Z или x = π + 2πn, n Є Z.
6-й способ. ВОЗВЕДЕНЕИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В
КВАДРАТ.
sin x – cos x = 1
sin² x – 2sin x cos x + cos² x = 1;
1 – sin 2x = 1;
sin 2x = 0;
2x = πk; x = πk/2, k Є Z.
Полученное решение эквивалентно объединению четырех
решений:
x = 2πk, k Є Z,
x = π/2 + 2πn, n Є Z,
x = π + 2πm, m Є Z,
x = - π/2 + 2πl, l Є Z.
Проверка показывает, что первое и четвертое решения –
посторонние.
Ответ:
x = π/2 + 2πn, n Є Z, или x = π + 2πm, m Є Z.
7-й способ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ tg x (УНИВЕРСАЛЬНАЯ
ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ:
sin x = 2tg x/2 / 1 + tg² x/2;
cos x = 1 – tg² x/2 / 1 + tg² x/2;
tg x = 2tg x/2 / 1 – tg² x/2.
С учетом приведенных формул уравнение
запишем в виде
sin x – cos x = 1
2tg x/2 / 1 + tg² x/2 – 1 – tg² x/2 / 1 + tg² x/2 = 1.
Умножим обе части уравнения на 1 + tg² x/2 (1 + tg² x/2 ≠ 0, так как tg² x/2 ≥ 0):
2tg x/2 – 1 + tg² x/2 = 1 + tg² x/2;
2tg x/2 = 2; tg x/2 = 1;
x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.
ОДЗ первоначального уравнения – все множество R. При переходе к tg x/2 из
рассмотрения выпали значения, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е. x/2 =
π/2 + πk, или x = π + 2πk, k Є Z. Следует проверить, не является ли x = π + 2πk
решением данного уравнения.
Левая часть: sin (π + 2πk) – cos (π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1.
Правая часть: 1.
Значит, x = π + 2πk, k Є Z – решение уравнения.
Ответ: x = π/2 + 2πn, n Є Z,
или x = π + 2πk, k Є Z.
8-й способ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ.
sin x – cos x = 1
Рассматриваемое уравнение запишем в виде
sin x = 1 + cos x.
На одном и том же чертеже построим графики функций,
соответствующих левой и правой частям уравнения.
Абсциссы точек пересечения графиков являются
решениями данного уравнения.
y = sin x – график: косинусоида;
y = cos x + 1 – график: косинусоида y = cos x смещенная на 1
вверх.
Ответ: x = π/2 + 2πk, k Є Z или x = π + 2πn, n Є Z.
Литература:
1. Газета «Математика» №40,октябрь 1995г.
2. Учебник «Алгебра и начала анализа» 10 –
11 классы, Москва «Просвещение» 2004г.