Transcript Приложение 2

Модульная программа
Преобразование
тригонометрических
выражений
Учебные элементы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Синус, косинус, тангенс суммы и разности
аргументов.
Формулы двойного аргумента.(теория,
примеры, задания)
Формулы понижения степени.
Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведения.
Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы.
Преобразование выражения Asinx+Bcosx
к виду Csin(x+t)
Синус двойного аргумента
Sin 2x = 2 sin x cos x
Доказательство.
Рассмотрим выражение sin 2x.
Sin 2x = sin (x+x) = sin x cos x + cos x sin x=
= 2sin x cos x.
Тождество доказано.
Косинус двойного аргумента
Cos 2x = cos2 x – sin2 x
Доказательство.
Рассмотрим выражение cos 2x.
cos 2x = cos (x+x) = cos x cos x - sin x sin x= cos2 x – sin2 x.
Тождество доказано.
Тангенс двойного аргумента
2tgx
tg 2 x 
2
1  tg x
Доказательство.
Рассмотрим выражение tg 2x.
tgx  tgx
2tgx
tg 2 x  tg ( x  x) 

1  tgx  tgx 1  tg 2 x
Тождество доказано.
Примеры
1.
Доказать тождество 1+sin 2x = (cos x + sin x)2
Решение.
Воспользуемся тем, что 1=sin2x+cos2x, и формулой
синуса двойного аргумента. Получим,
1+sin 2x = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = (cos x + sin x)2
Примеры
2. Сократить дробь 1 sin 2 x
Решение. cos 2 x
В числителе дроби
воспользуемся тождеством
1+sin 2x = (cos x + sin x)2,
а в знаменателе
формулой косинуса
двойного аргумента.
Получим,
1  sin 2 x (cos x  sin x) 2
(cos x  sin x) 2
cos x  sin x



2
2
cos 2 x
cos x  sin x (cos x  sin x)(cos x  sin x) cos x  sin x
Примеры
3. Вычислить
sin

cos

12
12
Решение.
Заданное выражение представляет собой
правую часть формулы косинуса
двойного аргумента, но только не
хватает множителя 2. Введя его
получим:






sin cos  0,5  2 sin cos  0,5 sin( 2  )  0,5 sin  0,5  0,5  0,25
12 12
12 12
12
6
Примеры
2
4. Доказать тождество tgx  сtgx 
sin 2 x
Решение.
Преобразуем левую часть доказываемого тождества:
sin x cos x sin 2 x  cos 2 x
1
tgx  сtgx 



cos x sin x
cos x sin x
cos x sin x
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби
на 2, получим:
2
2
2 cos x sin x
Что и требовалось доказать.

sin 2 x
Примеры
5. Зная, что
3
сosx 
5
и что x  (
3
,2 ) вычислить
2
sin 2 x
Решение.
Значение cosx дано в условии, а значение sinx найдём
следующим образом: sin 2 x  1  cos 2 x  1  ( 3 ) 2  16
5
25
4
4
Это значит, что sin x 
или sin x  
5
5
Аргумент х принадлежит четвёртой четверти, а в ней синус
отрицателен. Это значит надо выбрать sin x   4
5
Теперь можно вычислить sin2x:
3
4
24
sin 2 x  2 sin x cos x  2   ( )  
5
5
25
Примеры
5. Зная, что
3
сosx 
5
и что x  (
3

,2 ) вычислить sin(
 4 x)
2
2
Решение.

Воспользуемся формулой приведения: sin(  4 x)  cos 4 x
2
Применим к выражению cos4x формулу косинуса двойного
2
2
аргумента: cos 4 x  cos x  sin x
Из предыдущих примеров нам известны значения cos2x и sin2x.
Вычисляем:
cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x  ( 
7 2
24 2
527
)  (
) 
25
25
625
Примеры
6. Решить уравнение sin4x-cos2x=0
Решение.
sin4x-cos2x=0
2 sin2x cos2x – cos2x=0
cos2x (2sin2x-1)=0
cos2x=0 или 2 sin2x-1=0
cos2x=0
2x 

2
 n; x 

4

n
2
.
2sin2x-1=0
1
1
sin 2 x  ; 2 x  (1) n arcsin  n;
2
2
2 x  (1) n
x  (1) n
Ответ: x 

4

n
2
; x  (1) n

12

n
2
.

6

12
 n

n
2
.
Задания. 1 блок.
sin 2t
 sin t
cos t
1. Упростите выражение
Ответы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что
sin t 
5 
,
t 
13 2
Найдите tg2t
Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение
Ответы: a)
 3
4
;
4
b)
cos 2 x  cos 2 x
2 4
;
3 3
c)
n
d)

2
Задания. 2 блок.
Вычислите
1  cos 25  cos 50
 tg 65
sin 50  sin 25
Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Задания. 3 блок.
Решите уравнение
26sinx cosx – cos4x +7=0
Ответы: a)
b)

2
 2n;
(1) k 1
c)
( 1) k

6

12

 k .

k
2
4
 n;
(1) k 1
d)
.



2

6
 k .
 2n;
УРА!!!
ПРАВИЛЬНО .
УВЫ,
НЕПРАВИЛЬНО .
Творческое задание.
Решите уравнение
sin2x + 2sinx =2-2cosx
Задания. 1 блок.
1. Упростите выражение cos 2 t  cos 2t
Ответы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что
sin t 
5 
,
t 
13 2
Найдите sin 2t
Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение sin 2 x   cos 2 x
Ответы: a)
 3
4
;
4
b)
2 4
;
3 3
c)
 3
2
;
2
d)

2
Задания. 2 блок.
Вычислите
1  cos 40  cos 80
 tg 40
sin 80  sin 40
Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Задания. 3 блок.
Решите уравнение
Ответы: a)
b)

2
 2n;
(1) k 1
c)
2-cos2x+3sinx=0


2

6

 k .
 2n;
( 1) k

6
 k .

4
 n;
(1) k 1
d)


2

6
 k .
 2n;
(1) k 1

6
 k .