Transcript 4. 순환과 소용돌이도 (Circulation and vorticity)

4. 순환과 소용돌이도
(Circulation and vorticity)
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
순환정리
소용돌이도
소용돌이도 방정식
위치소용돌이도
천수방정식
등온위 좌표 에서의 에르텔 위치 소용돌이도
• 순환: 유체내의 페곡선에 대한 국지적 접선방향의 속도 벡터 성분에
대한 선적분
유체의 유한면적에 대한 회전의 거시적 측도
스칼라
𝐶≡
𝑈 ∙ 𝑑𝑙
www.comms.ou.edu
순압 유체: 밀도는 기압만의 함수
𝐷𝐶𝑎
𝐷𝑡
=0
𝐶𝑎 = 𝐶𝑒 + 𝐶 = 2Ω𝐴𝑒 + 𝐶
Kelvin 의 순환정리
• 경압유체
• 소용돌이도: 속도의 Curl
유체 회전의 미시적 측도
벡터
𝜔 ≡𝛻×𝑈
adg.stanford.edu
• 자연좌표계에서의 소용돌이도의 표현
ζ=−
𝜕𝑉 𝑉
+
𝜕𝑛 𝑅𝑠
시어 소용돌이도와 곡률소용돌이도
소용돌이도 방정식
발산항
뒤틀림 항
솔레노이드 항
소용돌이도 방정식의 규모분석
4.4 위치 소용돌이도
•
𝐷 𝜔𝑎 ∙𝛻𝜃
𝐷𝑡
𝜌
= 0 에르텔 위치 소용돌이도 정리
• 단열조건에서 등 온위면상에서 위치 소용돌이도가 운동
을 따라 보존됨
1
𝜌
• 𝑃 = − (𝜁𝜃 + 𝑓)
𝜕𝜃
𝜕𝑧
: 위치소용돌이도의 연직성분
• 위치 소용돌이도는 절대 소용돌이도와 정적 안정도의 곱
• 큰 위치소용돌이 값
저기압성 흐름, 높은 정적 안정도, 낮은 대류권계면, 상층 기압골
• 작은 위치소용돌이 값
고기압성 흐름, 낮은 정적 안정도, 높은 대류권계면, 상층 기압능
겨울철 PV의 기후값
http://www.eumetcal.org/euromet/english/satmet/s7310/s7310111.htm
위치소용돌이도 (Potential vorticity) 2PVU
: 대략적으로 대류권계면을 나타냄
전선구역: 강한 양의 위치소용돌이도 편차
<- 제트의 북쪽 영역의 강한 상대 소용돌이
도
제트의 북쪽 영역의 강한 정적안정도
출처: 손에 잡히는 예보 기술
𝐷Π
𝐷𝑡
=
𝜔𝑎
𝜌
∙ 𝛻𝐻
𝛻𝜃
+
𝜌
F: 마찰력, H : 엔트로피 생성원
∙ (𝛻 ×
𝐹
)
𝜌
4.5 천수 방정식
• 서풍의 경우:
산을 넘은 공기는 원래 두께에 도달했을 때 원래의 위치보다 남쪽에 위
치해 있어 양의 상대 소용돌이값을 갖게 되고 또한 원래 위도에 도달했
을 때에는 북쪽으로 향하는 성분을 갖고 있으므로 동서방향의 흐름을
갖지 못하고 다시 북쪽으로 가게 됨.
그리하여 계속 절대 소용돌이도를 보존하는 남북방향의 진동을 하게
됨
• 동풍의 경우:
산을 넘어가면서 두께가 감소됨에 따라 행성와도와 상대와도를 모두
낮춤으로써 절대와도를 감소시키고 다시 두께가 증가될 때 역방향으로
진행하여 다시 동서류의 상태를 띠게 됨
4.5.1 순압위치 소용돌이도 방정식
• 동풍이 부는 경우 :
공기괴가 북쪽으로 이동-> f 값이 증가-> 상대 소용돌이도는 음의
값으로 감소-> 시계방향 순환을 일으킴
남쪽으로 이동하는 경우-> 양의 상대소용돌이를 유발
• 서풍의 경우:
북이나 남으로 이동하는 공기괴는 절대소용돌이를 보존할 수 없음
그러므로 서풍은 남북으로 이동하지 않고 계속 서풍상태를 유지해야
함.
𝜕 2
𝛻 𝜓 = −𝑉𝜓 ∙ 𝛻(𝛻 2 𝜓 + 𝑓)
𝜕𝑡
𝑉𝜓 ≡ 𝑘 × 𝛻𝜓
4.6 등온위 좌표에서의 에르텔 위치 소용돌이도
4.6.1 등온위 좌표에서 운동방정식
𝜕𝑉
𝑉∙𝑉
𝜕𝑉
+ 𝛻𝜃
+ Ψ + 𝜁𝜃 + 𝑓 𝑘 × 𝑉 = 𝜃
+ 𝐹𝑟
𝜕𝑡
2
𝜕𝜃
𝜕𝜎
𝜕
+ 𝛻𝜃 𝜎𝑉 = − (𝜎𝜃)
𝜕𝑡
𝜕𝜃
𝜕Ψ
𝑝 𝑅𝑐
= Π(𝑝) ≡ 𝑐𝑝 ( ) 𝑝
𝜕𝜃
𝑝𝑠
등압좌표계에서의 방정식
Cf)
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝛻𝑝
𝑉∙𝑉
2
𝜕𝑉
+ Φ + 𝜁 + 𝑓 𝑘 × 𝑉 = −𝜔 + 𝐹𝑟
𝜕𝑝
𝜕Φ
𝑅𝑇
= −𝛼 = −
𝜕𝑝
𝑝
4.6.2 위치 소용돌이도 방정식
𝐷
𝜕𝑉
𝜁𝜃 + 𝑓 + 𝜁𝜃 + 𝑓 𝛻𝜃 ∙ 𝑉 = 𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × (𝐹𝑟 − 𝜃 )
𝐷𝑡
𝜕𝜃
𝐷 −1
𝜕
−1
−2
𝜎
− 𝜎 𝛻𝜃 ∙ 𝑉 = 𝜎
(𝜎𝜃)
𝐷𝑡
𝜕𝜃
𝑃 ≡ (𝜁𝜃 + 𝑓)/𝜎
𝐷Π Π 𝜕
𝜕𝑉
=
𝜎𝜃 + 𝜎 −1 𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × 𝐹𝑟 − 𝜃
𝐷𝑡 𝜎 𝜕𝜃
𝜕𝜃
경압대기에서 비단열항과 마찰항이 작으면 에테르 위치소용돌이도가
운동중 거의 보존됨
𝐷Π Π 𝜕
𝝏𝑽
=
𝜎𝜃 + 𝜎 −1 𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × 𝐹𝑟 − 𝜃
𝐷𝑡
𝜎 𝜕𝜃
𝝏𝜽
H(𝜃)>0
𝜕
𝜎𝜃 < 0
𝜕𝜃
Π 감소시킴
Π 감소시킴
𝛻𝜃 × 𝐹𝑟
𝜕
𝜎𝜃 > 0
𝜕𝜃
𝛻𝜃 > 0
L
Π 증가시킴
L
𝐹𝑟
𝑉
4.6.2 등온위 소용돌이도의 적분적 구속
𝐷
𝜕𝑉
𝜁 + 𝑓 + 𝜁𝜃 + 𝑓 𝛻𝜃 ∙ 𝑉 = 𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × (𝐹𝑟 − 𝜃 )
𝐷𝑡 𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝜁𝜃
𝜕𝑉
= −𝛻𝜃 ∙ 𝜁𝜃 + 𝑓 𝑉 + 𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × (𝐹𝑟 − 𝜃 )
𝜕𝑡
𝜕𝜃
𝑘 ∙ 𝛻𝜃 × 𝐴 = 𝛻𝜃 ∙ (𝐴 × 𝑘)
𝜕𝜁𝜃
𝜕𝑉
= −𝛻𝜃 ∙ [ 𝜁𝜃 + 𝑓 𝑉 − (𝐹𝑟 − 𝜃 ) × 𝑘]
𝜕𝑡
𝜕𝜃
온위면상에서 상대 소용돌이도는 등 온위면상에서의 수렴 발산에 의해서
만 변화함
지면과 교차하지 않는 한 등온위면에 대해 상대소용돌이도의 전구 평균은
일정함
등온위면 위치소용돌이도는 생성되거나 소멸되지 않으며 다만 등온위면
을 따른 수평 속에 의해 강화되거나 약화될 뿐임