Transcript 선형대수학(연립일차방정식)_김경태

선형대수학
LINEAR ALGEBRA
연립일차방정식 2.1,2.3
2.1 연립일차방정식의 소개
- n개의 미지수 x1,x2,…xn에 대해 a1x1+a2x2+…+anxn = b 의 형태로
표현되는 방정식을 일차방정식이라 한다. 여기서 계수 a1,a2,…,an와
상수항 b 는 상수이다.
-
연립일차방정식이 같은 해집합을 가질 때 동치(equivalent)라고
한다. 예를 들어
x–y=1
x + y =3
와
x–y=1
y=1
두 연립방정식 모두 [2,1]의 해를 가진다.
2.2 연립일차방정식의 직접 풀이법
x-y-z =2
3x - y + 2z = 16
2x - y + z = 9
𝟏 −𝟏 − 𝟏
𝟑 −𝟑
𝟐
𝟐 −𝟏 𝟏
계수행렬
(coefficient
matrix)
𝟏 −𝟏 − 𝟏
첨가 계수행렬
𝟐
𝟑 −𝟑
(augmented
−𝟏 𝟏
𝟐 matrix)
𝟐
𝟏𝟔
𝟗
2.2 연립일차방정식의 직접 풀이법
< 예제 >
x-y-z =2
3x -3y + 2z = 16
2x - y + z = 9
해 : [3,-1,2]
2.2 연립일차방정식의 직접 풀이법
< 행사다리꼴 정의 >
- 모든 성분이 0인 행은 아래쪽에 있다.
- 0이 아닌 행에서, 처음 0이 아닌 성분(을 선행성분이라 부른다.)은 아래
행에 있는 선행성분의 왼쪽에 있다.
선행성분
선행성분
2.2 연립일차방정식의 직접 풀이법
<기본 행 변환>
위 예제에서 연립일차방정식을 동치
인 연립일차방정식으로 변형시키는 과
정을 기본 행 변환(elementary row
operation)이라고 한다.
1. 두 행을 교환한다.
2. 한 행에 0이 아닌 상수배한다,
3. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더
한다.
그리고 기본 행 변환을 적용하는 과정
(행사다리꼴 만드는 과정)을 행 줄임
(row reduction)이라고 한다.
우리가 행사리꼴을 만들 때는 선행성
분을 만들고 그 아래 성분들은 모두 0
으로 만드는 것이 핵심이다.
선행성분이 되도록 선택된 성분을 피
보트(pivot)라 하고, 그 과정을 피보팅
(pivoting)이라 한다.
2.2 연립일차방정식의 직접 풀이법
< 행동치 >
정의 : 두 행렬 A와 B에 대하여, A를 B로 바꾸는 일련의 기본 행변환이 있으
면, A와 B는 행동치(row equivalent)라 한다.
위의 예제 :
2.3 생성원 집합과 일차독립
우리가 단원 1장(백터)에서 일차결합에 대해 내용이 잠깐 나온다.
일차결합은 백터 형태로 스칼라배의 합으로 되어있는 것이다. 다시 말해, 백
터들이 많이 존재할 때 그 백터들을 합치면 1개의 백터로 표현이 가능하다.
Ex)
au
w
au
Q
bv
bv
일차결합이다.
일차결합이 아니다.
w=au+bv 만족형태
Q≠au+bv 만족
2.3 생성원 집합과 일차독립
3개의 예를 들어보자. 1번재 해가 하나일 때,
2번째 해가 무수히 많을 때,
3번째 해가 없을 때
< 해가 1개 존재 할때 >
각각의 백터의 값들의 합이 상수항의 백터의 합과
같을 때 해가 1개 존재한다.
2.3 생성원 집합과 일차독립
< 해가 무수히 많을 때, >
각각의 백터의 값들의 합이 상수항의 백터의 합과
겹칠 때 해가 무한개 존재한다.
2.3 생성원 집합과 일차독립
< 해가 무수히 많을 때, >
각각의 백터의 값들의 합이 상수항의 백터의 합과
관계가 없을 때 해가 존재하지 않는다.
2.3 생성원 집합과 일차독립
정의 : S={v1,v2, … , vk}를 Rⁿ의 백터들의 집합이라 하면, 이때, v1,v2, … , vk 의
모든 일차결합들의 집합을 v1,v2, … , vk 의 생성(span)이라 하고, span(S) 또는
span(v1,v2, … , vk)으로 나타낸다. 만약 span(S)= Rⁿ 이면, S를 Rⁿ에 대한 생
성원 집합(spanning set)이라 한다.
𝒂𝟏
𝒂𝟐
여기서 , Rⁿ=
：
𝒂𝒏
생성원 집합
생성
첨가 계수행렬를 이용해 가우스 소거법을 하던 후진대입법으로 풀던 결국 오
른쪽과 같은 값이 나온다.
𝒂
※ 사실 Rⁿ 값이 딱 주어지지 않고 Rⁿ=
주어지면 S 안에 백터가 어느 백터
𝒃
가 들어가던 생성의 값은 이 존재 한다.
2.3 생성원 집합과 일차독립
< 일차독립 >
정의 : 백터 v1,v2, … , vk에 대해 c1v1+c2v2+ … + ckvk=0이 성립할 때
c1,c2,…ck중에 적어도 1개가 0이 아니면 일차종속(linearly dependent)이라고
한다. 백터들의 일차 종속이 아닐 때 다시 말해, c1,c2,…ck가 모두 0이면 일차
독립(linearly independent)이라고 한다.
예제를 보면 이해가 쉽다.
계산을 해보면 C1,c2,c3들이 0이 나오는게 있을 것이고 c1,c2,c3=0이 아닌경
우가 있을 것이다.
2.3 생성원 집합과 일차독립
2.3 생성원 집합과 일차독립
2.3 생성원 집합과 일차독립
일차독립인지 종속인지 따지는 이유
백터들이 한 공간에서 표현이 될 수 있는지 없는지를 따지는 것
으로 일차종속일 경우 V백터는 V1백터와 V2백터의 스칼라배이다.
그래서 스칼라배만 하면 충분히 v1과v2에대해 V백터를 표현할 수
있다. 하지만 독립일 경우는 표현이 불가능하다.
독립일 경우 V1과V2백터가 서로 다른 곳을 향하기 때문에 스칼
라배를 했을 경우 백터 V의 스칼라배의 모양이 안나오게 될 것이
다.
이것을 판별하기 위해 일차독립인지 종속인지 따지는 이유이다.