Transcript 5.3 행성 경계층 운동량 방정식

5. 행성 경계층
5.1
5.2
5.3
5.4
대기난류
난류 운동 에너지
행성 경계층 운동량 방정식
2차 순환과 선회감소
대기 경계층
• 대기의 흐름이 지구 표면과의 상호작용에 의해 직접적인 영향을 받
고 수시간에서 1일 이내로 빠르게 반응하는 대류권 하층
• 난류 존재-> 빠른 반응을 가능하게 함
• 두께: 30 m ~ 3km
• 대기 질량의 양 10% 포함
점성아층
분자확산이 중요한 역할을 하는 층
두께: 수 mm
5.1 대기 난류
• 불규칙한 무작위 운동
• 시공간적으로 다양한 규모를 가짐
(최소 10-3 m 최대 대기경계층 높이)
난류 에디: 수평규모~연직규모
확산성- 빠른 혼합
에디: 지면으로부터 대기로 열, 수분, 운동량의 전달의 역할을 함
5.1.1 레이놀즈 평균
레이놀즈 분해: 장 변수를 평균과 난류 성분으로 분해하는 것
𝑢 = 𝑢 + 𝑢′
플럭스: 주어진 방향에 수직인 단위면적을 통하여 단위시간당 물리량의
이동률
운동량 플럭스 : 𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝑢′ 𝑤′
kg m-3 m s-1 m s-1 -> kg m-1s-2
연직 열 플럭스: 𝐻 = 𝜌𝐶𝑝 𝑤′𝜃′
W m-2
• 플럭스의 운동학적 형태 (kinematic flux)
:플럭스를 밀도로 나눈 것
운동학적 운동량 플럭스: 𝑢′ 𝑤′
운동학적 열 플럭스:
𝑤′𝜃′
• 난류 종결 문제(Turbulence closure problem)
:변수를 레이놀즈 분해하여 레이놀즈 평균된 방정식을 만들었을 때 미
지수의 수가 방정식의 수보다 많아 방정식이 닫히지 않는 문제
• 종결 가정 (closure assumption)
국지 종결 (local closure) -1차 (K-theory), 2차, 3차, 4차 종결
비국지 종결 (nonlocal closure) -1차 종결
5.2 난류 운동 에너지
• 소용돌이 늘림( vortex stretching)과 비틀림 (twisting)은 큰 에디를
더 작은 에디로 쪼개서 큰 에디의 난류 운동에너지가 작은에디로 이
동하고 궁극적으로 점성에 의해 소멸되게 한다.
난류 운동에너지 방정식
•
𝐷(𝑇𝐾𝐸)
𝐷𝑡
= 𝑀𝑃 + 𝐵𝑃𝐿 + 𝑇𝑅 − 𝜀
TKE: (𝑢′ 2 + 𝑣 ′ 2 + 𝑤 ′ 2 )/2
MP: 기계적 생성
BPL: 부력 생성 또는 파괴
TR: 난류 수송과 기압에 의한 재분배
 : 마찰에 의한 소멸
𝐵𝑃𝐿 ≡
𝑔
)
𝜃0
𝑤 ′𝜃′(
• 평균류의 위치에너지와 난류 운동에너지 사이의 전환율
• 불안정: BPL>0 난류 운동 에너지의 생성
• 안정 BPL <0 난류 운동에너지의 파괴
𝑀𝑃 ≡ −𝑢′ 𝑤 ′
𝜕𝑢
𝜕𝑧
− 𝑣 ′𝑤 ′
𝜕𝑣
𝜕𝑧
• 평균류의 운동에너지를 난류 운동에너지로 전환
• 운동량 속이 평균 운동량 경도의 아래쪽으로 향할 때 양의 값을 가
짐
속 리차드슨 수 (Flux Richardson number)
𝑅𝑓 ≡ −𝐵𝑃𝐿/𝑀𝑃
• 𝑅𝑓 > 0 정적으로 안정
• 𝑅𝑓 < 0 정적으로 불안정
경도 리차드슨 수 (gradient Richardson number)
𝑔 𝜕𝜃𝑣
𝜃𝑣 𝜕𝑧
𝑅𝑖 =
2
2
𝜕𝑈
𝜕𝑉
[
+
]
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Ri<0.25 난류 발생
강제 대류: 기계적 생성>> 부력 생성
자유 대류: 기계적 생성 << 부력 생성
5.3 행성 경계층 운동량 방정식
𝐷𝑢
1 𝜕𝑝
𝜕𝑢′ 𝑢′ 𝜕𝑢′ 𝑣 ′ 𝜕𝑢′ 𝑤 ′
=−
+ 𝑓𝑣 −
−
−
+ 𝐹𝑟𝑥
𝐷𝑡
𝜌0 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝐷𝑢
1 𝜕𝑝
𝜕𝑢′ 𝑤′
=−
+ 𝑓𝑣 −
𝐷𝑡
𝜌0 𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝐷𝑣
1 𝜕𝑝
𝜕𝑣′𝑤′
=−
− 𝑓𝑢 −
𝐷𝑡
𝜌0 𝜕𝑦
𝜕𝑧
규모 분석을 수행하면
𝜕𝑢′ 𝑤 ′
𝑓(𝑣 − 𝑣𝑔 ) −
=0
𝜕𝑧
𝜕𝑣 ′ 𝑤 ′
−𝑓(𝑢 − 𝑢𝑔 ) −
=0
𝜕𝑧
5.3.1 잘 혼합된 경계층
• 지표면 가열이 강한 낮동안의 육지와 열대 해상에서 발달
풍속과 온위 고도에 따라 일정하고 난류속이 고도에 따라 선형적으로 변화하는
넓은 평판(slab)과 같은 층으로 취급
지표면
• 𝑢′ 𝑤′𝑠 = −𝐶𝑑 |𝑉|𝑢,
𝐶𝑑 : 무차원 항력계수
𝑉 = (𝑢2 + 𝑣 2 )1/2
경계층 꼭대기
• 𝑢′ 𝑤′ = 0, 𝑣 ′ 𝑤′ = 0
𝑣 ′ 𝑤′𝑠 = −𝐶𝑑 |𝑉|𝑣
𝑓𝑘 × 𝑉 = −
1
𝐶𝑑
𝛻𝑝 − |𝑉|𝑉
𝜌0
ℎ
Co
P
Fr
𝑢 = 𝑢𝑔 − 𝜅𝑠 |𝑉|𝑣
𝑣 = 𝜅𝑠 |𝑉|𝑢
𝜅𝑠 =
𝐶𝑑
𝑓ℎ
혼합층에서 풍속은 지균풍속보다 작고
저기압쪽으로 향하는 운동성분이 있으며
그 크기는 𝜅𝑠 에 의존
5.3.2 속-기울기 이론
난류에디에 의한 확산을 분자확산과 유사하게 일어난다고 가정
 임의변수의 속이 평균장의 국지 기울기에 비례
𝜕𝑈
′
𝑢 𝑤′ = −𝐾𝑚
𝜕𝑧
K-이론의 한계점
• 에디 점성 계수는 유체의 물리적 특성 보다는 흐름에 의존
 각 상황에 대해 경험적으로 결정되어야 함
• 소규모 확산에 적합
:혼합층처럼 큰 에디운동이 중요한 경우 적용안됨
5.3.3 혼합길이가설
• L. Prandtl 제안
• 분자운동과 유사하게 연직적으로 놓인 유체덩어리가 특성거리 를
움직이면서 처음 위치에서 갖고 있던 평균적 상태의 특성을 운반하
며 주변 유체와 섞는다고 가정
• 𝜃 ′ = −𝜉
𝜕𝜃
𝜕𝑧
,
• 상향 운동  >0
• 하향 운동  <0
𝑢′ = −𝜉
𝜕𝑢
𝜕𝑧
z

’

5.3.4 에크만 층
𝜕𝑢′ 𝑤 ′
𝑓(𝑣 − 𝑣𝑔 ) −
=0
𝜕𝑧
𝜕𝑣 ′ 𝑤 ′
−𝑓(𝑢 − 𝑢𝑔 ) −
=0
𝜕𝑧
𝑢′ 𝑤′
Km 상수로 가정
𝜕𝑈
= −𝐾𝑚
𝜕𝑧
𝑣 ′ 𝑤′
𝜕𝑉
= −𝐾𝑚
𝜕𝑧
𝑢 = 𝑢𝑔 1 − exp −𝛾𝑧 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑧
𝑣 = 𝑢𝑔 exp −𝛾𝑧 𝑠𝑖𝑛𝛾𝑧
에크만 나선
저기압쪽을 향해 바람이 붐
𝑧 = 𝜋/𝛾 일 때 바람이 지균풍과 평행하고 크기도 거의 같음
에크만 층의 높이 𝐷𝑒 ≡ 𝜋/𝛾
5.3.5 지표층
지표층: 대기경계층의 하부 10% 이내
마찰 속도 (friction velocity)
u*2≡ 𝑢′ 𝑤′𝑠
u를 주풍 방향으로 설정
운동량 속~ 0.1 m2s-2
전향력과 기압경도력 10-3 m s-2
𝜕𝑢′ 𝑤 ′
𝑓(𝑣 − 𝑣𝑔 ) −
=0
𝜕𝑧
에크만층
𝑢 = 𝑢𝑔 1 − exp −𝛾𝑧 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑧
𝑣 = 𝑢𝑔 exp −𝛾𝑧 𝑠𝑖𝑛𝛾𝑧
에크만 나선
지표층
𝑢=
𝑢∗
𝑧
ln( )
𝑘
𝑧0
대수적 바람분포
5.4 2차순환과 선회감소
2차 순환: 물리적 제한에 의해 주된 순환에 겹쳐지는 순환
경계층 점성이 2차 순환의 요인
혼합층해와 에크만 나선해 모두 대기 경계층에서 수평바람이
저기압쪽으로 향하는 성분을 가짐
𝐷𝑒
𝑤 𝐷𝑒 = −
0
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
𝑑𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦
경계층 항력에 의해 강제된 2차 순환의 역할
• 유체의 내부에 느린 반지름 방향류 유발
• 다르게 표현하면 소용돌이 순환의 방향에 반대되는 토크를 유발
성층화된 대기에서 2차 순환
안정된 대기는 공기덩이의 상승운동을 억제
-> 내부 2차순환은 정적 안정도에 비례해서 높이에 따라 감소
-> 상층에 영향을 주지 않으면서 에크만층 꼭대기에서 빠르게 소용돌
이 선회 감소
-> 에크만 펌핑 소멸, 연직 시어를 갖는 경압성 소용돌이도 생성
• 반지름 방향의 온도경도는 에크만 층밖으로 나가는 공기덩이의 단
열적 냉각과정에서 형성
경압대기에서 2차 순환의 두가지 역할
• 코리올리 힘의 작용을 통해서 소용돌이의 방위 속도 장을 변화 시킴
• 방위속도의 연직 시어와 반지름 방향 온도경도 사이에 온도풍이 유
지되도록 하기 위해서 온도장의 분포를 변화시킴