Transcript 7.7.3 테일러의 동결난류 가설

7. 난류의 근본원리
7.1 흐름의 불안정도와 난류로의 전이
7.1.1 불안정도의 종류
◦ 정적 불안정도: 밀도 차
S
g  v
Tv z
◦ 역학적 불안정도: 바람 시어
흐름에 유입된 섭동이 시간에 따라 쇠퇴하면 역학적으로 안정.
흐름에 유입된 섭동이 시간에 따라 성장하면 역학적으로 불안정
Kelvin-Helmholtz(KH) instability
: 서로 다른 속도와 밀도를 가진
두 개의 평행한 흐름사이의
경계면에서 나타나는 시어
불안정도. 무거운 유체가 가벼운
유체 아래에 놓여져 있어
정적으로 안정한 상태임
출처: Gramer (2007)
http://www.rsmas.miami.edu/users/isavelyev/GFD-2/KH-I.pdf
점성흐름과 비점성흐름
비점성류: 점성이 없는 것으로 가정됨
흐름을 횡단하는 운동량, 열, 질량의 전달과 혼합이 존재하지
않음
이류에 의해 수송만 됨
점성류: 점성이 있는 흐름
점성: 변형에 대한 유체의 내부저항의 측정치로 사용되는 분자
성질
미끄러짐이 없는 경계조건 : z=0에서 u=0
층류: 매끄럽고 규칙적이고 느린 운동으로 특성화됨
층을 횡단하는 성질의 혼합과 전달이 거의 없음
난류: 불규칙한 흐름
레이놀즈 수 Re=uL/
점성력에 대한 관성력의 비
임계 레이놀즈 수: Re> Rec 층류 -> 난류
Rec=약 2000
Ri<Ric 층류-> 난류
Ric =0.25
7.2 난류의 발생과 유지
난류 발생의 두가지 메커니즘
①부력에 의한 생성 (Buoyancy generation): 위치에너지를 난류
운동에너지로 전환
②시어에 의한 생성 (Shear generation): 평균 운동에너지를 난류
운동에너지로 전환
d (TKE )
 S  B  D  Tr
dt
S : 시어 생성항(nocturnal stable boundary layer, low-level jets,
atmospheric surface layer)
B : 부력 생성/파괴항
D : 점성에 의한 에너지의 소산
Tr: 에너지의 수송
리차드슨 수 (Richardson number): 시어생성항에 대한 부력파괴항의
비
7.3 난류의 일반적인 특징
① 불규칙성 (Irregularity or randomness)
◦ 난류 운동을 예측 불가능하게 만듦
◦ 난류에 대한 통계적인 기술(description)
②3차원 회전성 (Three-dimensionality and rotationality)
③확산성 (Diffusivity or ability to mix properties)
난류에서 운동량, 열, 질량의 효과적인 확산을 일으킴
④소산성 (Dissipativeness)
난류 운동에너지는 점성에 의해 연속적으로 소산됨
난류운동을 유지하기 위해서 에너지가 지속적으로 공급되어져야 함
⑤운동 규모의 다양성 (Multiplicity of scales of motion)
다양한 크기의 에디 규모로 특성화됨
큰 에디: 평균흐름으로부터 난류로 에너지 전달
작은 에디: 난류에너지의 점성에 의한 소산
큰 에디로부터 작은 에디로의 연속적인 에너지의 전달
: 에너지 폭포과정 (Energy Cascade process)
난류에서 에너지 전달 과정은 매우 비선형적임
회전성, 확산성, 소산성은 난류와 3차원 무작위 파동운동을 구분시키는
성질임
•
7.4 평균변수와 변동변수
u~  U  u 
v~  V  v 
~  W  w
w
~
   
• 레이놀즈 분해 (eynolds decomposition): 순간장을 평균과 변동변수
로 분해하는 것
◦
평균의 여러가지 형태
①시간 평균(time average)
T
1 ~
F   f (t )dt
T0
~
f (t ) : instantaneous variable
T : sampling time
안정한 평균을 얻고 흐름에 기여하는 큰 에디의 효과를 포함시킬
만큼 충분히 길어야 함
반면 흐름내에 나타나는 경향을 가릴만큼 너무 길어서는 안됨
고정된 측기로부터 관측된 자료분석에 주로 사용됨
미기상학적 관측에서 주로 사용되는 최적의 평균 시간 103~104초이다.
②공간 평균(spatial average)
비행기, 레이더 및 소다관측 분석에 사용됨
s
1 ~
F   f ( s)ds
S0
③앙상블 평균 (Ensemble average)
동일한 조건으로부터 반복적으로 수행된 실험의 결과들에 대한 산술
평균
1
F
N
N 1
~
 fi
i 0
이론에서는 항상 사용되지만 실제에서는 거의 사용되지 않음
시간 평균=공간 평균=앙상블 평균
: 정상상태이고 공간적으로 동질해야함
Spectral gap
7.5 분산과 난류 플럭스
◦ 분산
u  2 , v 2 
: 변동수준을 측정함
◦ 난류 강도
iu 
u
V
, iv 
v
V
, iw 
w
V
V : 평균 바람
u, v, w
: 속도성분의 표준편차
◦
상관계수
 uw 
u w
 u w
u  w  : 공분산
◦ 공분산
~  (c  c )( w  w)
c~w
 c w  c w
∴ 전체 플럭스는 평균 수송과 난류 수송의 합으로 구성됨
•  u w : u 운동량의 연직 플럭스
 zy    vw
 zx    u w
: Reynolds stress는 점성응력보다 훨씬 큼
예제 1
• 평균 풍속=4.89 ms-1
• 속도 분산 𝑢′2 = 0.69, 𝑣′2 = 1.04, 𝑤′2 = 0.42m2 s −2
• 난류 플럭스: 𝑢′ 𝑤′ = −0.081m2 s −2 , 𝜃 ′ 𝑤 ′ = 0.185Kms −1 ,
• 𝜃 ′ 𝑢′ = −0.064Kms −1
(a) 속도 섭동의 표준편차
𝜎𝑢 =
𝑢′2 = 0.83ms −1
(b) 난류 강도
𝜎𝑢 0.83
𝑖𝑢 =
=
= 0.17
|𝑉| 4.89
© 상관계수
𝑢′ 𝑤′
−0.081
𝑟𝑢𝑤 =
=
= −0.15
𝜎𝑢 𝜎𝑤 0.83 ∙ 0.64
𝜃 ′ 𝑤′
0.185
𝑟𝑤𝜃 =
=
= 0.59
𝜎𝜃 𝜎𝑤 0.49 ∙ 0.64
(d) TKE=
1
2
0.69 + 1.04 + 0.42 = 1.075
난류자료 처리 절차
원시자료의 품질관리: 스파이크 제거
좌표 변환: 이중 회전
𝑣와 𝑤 = 0 으로 회전 시킴
플럭스와 분산의 계산
7.6 맴돌이와 운동규모
맴돌이 (Eddy): 난류의 정성적인 묘사에 주로 사용되는 추상적인 개념
소용돌이나 회오리와 유사하게 간주됨
에디크기의 큐모는 평균 흐름의 레이놀즈 수에 따라 증가함
대기 경계층에 대해서, 전형적인 에디 크기는 10-3 ~103m 임
① 특성 큰 맴돌이 규모 (characteristic large-eddy scale)
: 평균류로부터 대부분의 에너지를 받는 에디의 크기
② 특성 작은 맴돌이 규모 (characteristic small-eddy scale)
소산이 일어나는 맴돌이의 규모
에너지 소산율()과 유체의 점성()에 의존
차원 분석 (Dimensional analysis)
 :m s
2
m  [m 2 s 1 ] [m 2 s 3 ] 
1  2  2 
0    3
4   1
1
3
 

4
4
1
 : m 2 s 3
 :m
3
4
   

1
4
Kolmogorov 길이 규모
The rate of energy dissipation 
u
~ l
l
3
ul  TKE
7.7 기본 개념, 가설 및 이론
7.7.1 에너지 폭포 가설 (Energy cascade hypothesis)
큰 레이놀즈 수를 가진 흐름에서
에너지의 대부분은 평균류로부터 큰 에디로 전달되어지고
에너지의 대부분은 궁극적으로 작은 에디들에 의해 소산됨
큰 에디로부터 작은 에디로 에너지의 전달은 에너지 폭포과정을 통해
순차적으로 일어남
<에너지 폭포과정>
◦ 큰 레이놀즈 수를 가진 흐름에서
큰 에디는 역학적으로 불안정해짐
◦ 더 작은 에디가 큰 에디의 불안정과
붕괴과정을 통해 생성됨
◦ 큰 에디로부터 작은 에디로의
에너지 전달은 붕괴과정을 통해
이루어짐
◦ 폭포과정은 가장 작은 에디에
기초한 레이놀즈 수가 충분히 작아
가장 작은 에디가 점성의 영향하에
안정화될 때 종결됨.
7.7.2 Kolmogorov의 국지 상사 이론
Kolmogorov 1941,
충분히 큰 Reynolds number를 가진 흐름에서, 모든 난류의 작은 규모
운동은 유사한 보편적인 특징을 가짐
◦ 큰에디의 연속적인 붕괴과정을 통해 형성된 작은 에디는 균질하고
등방성을 띰 국지등방성 가설
◦ 충분히 큰 레이놀즈 수를 가진 흐름에서 작은 규모는 큰규모가
등방성이건 상관없이 국지적으로 등방성을 띰
◦ 충분히 잘 개발된 등방성 난류의 통계이론을 대부분의 난류흐름의
작은 규모운동에 적용하는 것을 가능하게 함
국지 상사 규모
난류 구조는 통계적 평형에 있고 이는 에너지 소산율 과 운동학적 점성
에 의해서만 결정됨
3
1

  4 4
Kolmogorov’s microscale length scale:
1 1
   4 4
Velocity scale:
•
Kolmogorov’s First similarity hypothesis
When Re is large enough, and r<<l, the statistical properties of ∆𝑣(𝑟)
have a universal form which depends on only 𝜀, r, and 𝜈.
: equilibrium range
•
Kolmogorov’s Second similarity hypothesis
When Re is large enough, and in the range 𝜂 ≪ 𝑟 ≪ 𝑙, the statistical
properties of ∆𝑣(𝑟) have a universal form which is uniquely determined
by 𝜀 and r alone.
: Inertial sub-range
∆𝑣(𝑟) = u′ x + r − u′(x)
7.7.3 테일러의 동결난류 가설
기류의 속도 >> 난류 속도
◦ 고정된 점에서 u의 일련의 변화는 해당 점을 통과하는 난류 운동
패턴의 통과에 기인함. 이 때 난류운동의 형태는 변화하지 않음
2 u
: wavenumber
x  u t,


n
n : frequency
◦ 시간적인 통계값을 평균류 방향의 공간 통계값으로 전환시키는데
사용됨
두가지 주요 제한점
①충분히 큰 난류 강도의 경우 적용할 수 없음
②평균류가 시어가 있는 경우 적용할 수 없음
◦ 큰 에디는 작은 에디가 이류되는 국지 평균 속도로 이류되어 지지
않을 수 있음
⇒ 평균 바람시어의 크기보다 더 큰 진동수를 갖는 에디만이 국지
평균속도로 수송되어진다고 가정될 수 있음