Transcript 8.1.4 난류 운동에너지 방정식

8. 난류의 모델과 이론
8.1 난류 흐름의 수학적 기술
기본방정식계
~
D~
ρ ~ ∂u~ ∂v~ ∂w
+ ρ( +
+
)=0
Dt
∂x ∂y ∂z
~
∂u~ ~ ∂u~ ~ ∂u~ ~ ∂u~
1
∂
P
+u
+v
+w
= fv~ - ~
+ ν∇2u~
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
~
∂v~ ~ ∂v~ ~ ∂v~ ~ ∂v~
1 ∂P
~
+u
+v
+w
= - fu - ~
+ ν∇2 v~
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
~
~
~
~
~
∂w
∂
w
∂
w
∂
w
1
∂
P
~
~
+ u~
+ v~
+w
=-g- ~
+ ν∇2 w
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝜃
+𝑢
+𝑣
+𝑤
= 𝛼ℎ 𝛻 2 𝜃
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
연속방정식
운동방정식 (Navier Stokes equation)
열역학 에너지 방정식
Boussinesq approximation
Ⅰ. 중력과 곱해진
𝜌
𝜌0
만 무시할 수 없고 나머지의 경우 (1 +
인 경우 1로 근사시킴
Ⅱ.
𝑝
𝑝0
은
𝜌
𝜌0
과
𝑇𝑣
𝑇𝑣0
𝜌
)
𝜌0
에 비해 작아서 무시할 수 있음
Boussinesq 근사된 운동방정식
Du~
1 ∂P
= fv~ + ν∇2u~
Dt
ρ 0 ∂x
Dv~
1 ∂P
= - fu~ + ν∇2 v~
Dt
ρ 0 ∂y
~ T
Dw
1 ∂P
~
= v g+ ν∇2 w
Dt Tv 0
ρ 0 ∂z
Boussinesq 근사된 연속 방정식
~
∂u~ ∂v~ ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
𝑃 = 𝑃0 (𝑧) + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜌 = 𝜌0 (𝑧) + 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑇𝑣 = 𝑇𝑣0 (𝑧) + 𝑇𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
비선형 운동방정식에 대한 일반해는 없음
=> 수치해
8.1.1 직접 수치 모의 (Direct numerical simulation: DNS)
Navier-Stokes equation 에 대한 수치해를 구함
low-Reynolds number의 난류에만 적용가능
격자 크기 <  Kolmogorov
모델 영역 > l large energy containing eddy
15
20
대기경계층에 대한 모의에서 필요한 격자수 : 10  10
l /  < 103 인 작은 Reynolds number 난류에만 적용가능
8.1.2 큰 맴돌이 모의 (Large eddy simulation, LES)
◦ 큰 맴돌이를 직접 모의 하고 작은 맴돌이를 매개화
◦ 덜 근본적이지만 계산시간상 대기경계층에 대해 적용가능
◦ 난류 연구에 있어서 아주 유망되는 도구임
8.1.3 앙상블 평균 난류 모델
Reynolds averaging condition
f  g  f  g , cf  c f
f  f

,
s s
fg  f g
 fds   f ds
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
•
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+
𝜕𝑢
𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢
𝑤
𝜕𝑧
= 𝑓𝑣 −
1 𝜕𝑝
𝜌0 𝜕𝑥
+
𝜈𝛻 2 𝑢
2
−
𝜕𝑢′
(
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢′ 𝑣 ′
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢′ 𝑤 ′
)
𝜕𝑧
<closure problem of turbulence(난류 종결 문제)>
◦ 난류를 묘사하는 Reynolds averaged equations의 수가 미지수의
수보다 더 많아 해를 구할 수 없는 상태
◦ 운동방정식의 비선형성에 기인
◦ 난류 종결 모델 (Turbulence closure models)
1차 종결 모델 (first-order closure model)
: 평균장에 대해서 prognostic equation(예단 방정식)을 사용하고
turbulent flux들을 평균장들로 매개화 하는 모형
예) 𝑢′ 𝑤′ = −𝐾
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝑤′𝜃′ = −𝐾
𝜕𝜃
𝜕𝑧
고차 종결 모델 (higher-order closure model)
난류 분산과 공분산, 고차 모멘트 (higher moments)들에 대해 예단
방정식 사용, even higher moments에 대해서 매개화
예) second order closure
2
2
2



u
u


u
u
u
2 u p 
j
uj
 2u u j


 2
t
x j
x j
x j
 xi
u j u2
에 대해서 매개화
난류 종결모델의 이름은 유지되는 가장 높은 차수의 예단 방정식에
의해 결정됨
예) 평균: 1차 moment
분산, 공분산: 2차 moment
u iu j u k : 3차 moment (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3; k=1, 2, 3)
8.1.4 난류 운동에너지 방정식
E
1 2
(u   v  2  w 2 )
2
단위 질량당 난류 운동에너지
DE
u
v
g

wp 
 u w
 v w 
w   ( we 
) 
Dt
z
z Tv 0
z
0
I. 이류와 국제에 의한 E의변화
II. 시어 생성항
III. 부력 생성/파괴항
IV. 난류 수송항
V. 점성에 기인한 소산항
𝜕𝐸
난류에너지의 국지 변화율 𝜕𝑡
5 × 10−5 𝑚2 𝑠 −3 (지표층 6시간 동안)~ 5 × 10−3 𝑚2 𝑠 −3 (자유대기 15분 동안)
Stull (1988)
Stull (1988)
g
w′
θ′
부력 생성 파괴항
Tv 0
불안정한 조건:양의 부호-> 생성항
안정한 조건: 음의 부호-> 파괴항
비등방성 항 (연직방향)
Stull (1988)
기계적 생성항
∂u
∂v
- u′
w′ - v′
w′
∂z
∂z
: 지면 부근에서 가장 큼: 바람시어가 크기 때문
비등방성 항 (수평방향)
Stull (1988)
• 자유대류: 부력생성항>> 기계적 생성항
• 강제대류: 부력 생성항<< 기계적 생성항
Stull (1988)
난류 수송항
∂
w′
e
∂z
대기 경계층에 대해 적분했을 때 0의 값을
가짐
(바닥과 경계층 꼭대기는 난류가 없는 경우 가정)
난류 운동에너지를 경계층 내에서 재분배함
Stull (1988)
• 기압 수송항
-
∂ w′
p′
∂z ρ 0
: 직접 측정 어려움
난류 운동에너지 수지 방정식의 잔차로 추정
소산항: 가장 작은 규모 에디에 대해서 가장 큼
Stull (1988)
◦플럭스 리차드슨 수 (Flux Richardson number)
TKE의 시어생성항에 대한 부력 파괴항의 비
g
v
Rf 
(u w
w v
u
v
 v w )
z
z
For statically unstable flow, Rf <0
For statically stable flow, Rf>0
Richardson (1920)
For thee maintenance of turbulence
Rf<Rfc =1
◦ 경도 리차드슨 수 (Gradient Richardson number)와의 관계

Rf 
g
v
Kn (

)
z
u 2
v
)  Km ( )2
z
z
g 
( )
K
 v z
 n
K m u 2 v 2
[( )  ( ) ]
z
z
K
 n Ri
Km
 Km (
Rc=0.25, RT=1
Ri < Rc 일 때 층류 -> 난류
Ri> RT 난류 -> 층류
u
z
v
v w   K m
z

w    K n
z
u w   K m
8.2 경도 수송 이론
8.2.1 맴돌이 점성 가설 (Eddy viscosity(diffusivity) hypothesis)
◦ 난류 수송과 분자수송이 유사하다는 가정에 기초함
u
z
v
v w   K m
z
u w   K m
K m : 운동량에 대한 맴돌이 교환 계수
w′
θ′
= - Kh
∂θ
∂z
K h : 열에 대한 맴돌이 교환계수 (eddy exchange coefficient of heat)
◦ 확고한 이론에 근거하지 않고 단지 직관에만 의존함
◦ 맴돌이 확산도 ≫ 분자확산도
◦ 맴돌이 확산도는 흐름의 특성임
◦ 제한점:
난류 플럭스가 국지 경도와 관련되어 있지 않을 때 하향경도 수송에
대한 개념 의문시 됨
예) 대류혼합층
8.2.2 혼합길이 가설 (Mixing-length hypothesis)
◦맴돌이 점성을 기하학(geometry)와 흐름 매개변수로 매개화하는 시도
◦ L. Prandtl in 1925
◦ 분자점성 ~ 평균 분자 속도 x 평균 자유 경로
◦ 난류에 대해 비슷한 메커니즘에 관한 가설을 수립
◦ 공기 덩어리가 주변과 혼합하지 않고 혼합길이만큼 이동한 후 새로운
환경과 혼합함
K m  lm
◦
◦
◦
◦
2
U
z
eddy viscosity는 혼합길이가 클수록 바람시어가 클수록 증가함
혼합길이는 큰 맴돌이 특성 길이규모와 직접 관련되어야 함
지표층, l m  z
대기경계층: lm 은 열적 안정도와 대기경계층의 두께에 의존
8.3 차원분석과 상사이론
Buckingham Pi 차원분석 방법
1) 흐름에 중요할 수 있는 변수들의 선정
예) 파이프 흐름에 대하여
Stress, density, viscosity, velocity, pipe diameter, pipe roughness
2) 각 변수의 차원을 기본차원의 식으로 표현.
Ex)
 (density ) : ML3
:
M: 질량, L : 길이, T: 시간
1 1
 (dynamic vis cos ity ) : ML T
U (velocity) : LT 1
 ( stress ) : ML1T  2
D( pipe diameter) : L
z 0 ( pipe roughness length) : L
3) 기본 차원의 수를 셈
• M, L, T
3개
4) 1)에서 선정된 변수들 중에서 key variables을 선정
◦ key variables의 수는 기본 차원의 수와 같아야 함
◦ 모든 기본 차원이 key variables에 표현되어야 함
◦ Key variable의 조합으로부터 어떤 무차원 그룹이 만들어져서는 안됨
Ex) key variable
 , D, U
5) 남아 있는 변수들을 key variables 의 식으로 표현
  (  ) a ( D ) b (U ) c
  (  ) d ( D ) e (U ) f
z 0  (  ) g ( D ) h (U ) i
6) 차원이 일치하도록 a, b, c … 를 결정
  (  ) a ( D) b (U ) c
ML1T 2  ( ML3 ) a ( L) b ( LT 1 ) c
M : 1 a
L :  1  3a  b  c
T :  2  c
 a  1, b  0, c  2
7) 무차원 그룹을 만듦


z0
1 
, 2 
, 3 
2
UD
D
U
8.3.2 Similarity theory(상사이론) 무차원 변수들 간의 보편적인 관계식
<상사이론의 개발과 검증에 사용되는 5가지 단계 >
① 제한하는 가정들을 이용해 이론의 범위를 정함
예) 정상상태(stationarity), 평평하고 균질한 지표면 (flat and
homogeneous surface) …
범위: 중립 지표층, 국지 자유대류 등)
② 최적화된 관련 독립변수 선택
(성공적인 상사이론 개발에 있어서 가장 결정적인 단계)
너무 변수가 적은 경우, 너무 변수가 많은 경우도 문제를 일으킴
③ 차원 분석 수행
④ 무차원 그룹간의 관계식 표현
⑤상사이론의 검증이나 평가를 위해 자료 수집하거나 새로운 실험을
수행
8.3.3 상사이론의 예
자유 대류 조건에서 평균 온위 경도에 대한 관계식
f(

g
, H 0 , , z,  , c p )  0
z
T0
 H 0 g
f( ,
, , z)  0
z   c p T0
 H 0 a g b c
 1  ( )(
) ( ) z
z   c p T0
[ L0T 0 K 0 ]  [ KL1 ][ KLT 1 ] a [ LT  2 K 1 ]b [ L]c
0  1  a  b  c
0  a  2b
0  1 a  b
2
1
4
a ,b ,c
3
3
3
또 다른 접근법: 먼저 특성 길이와, 속도 온도 규모를 정의함
특성 변수들을 이용해 다른 변수들을 정규화시킴
• 온도 규모
[ K 1 ]  [ KLT 1 ] a [ LT 2 K 1 ]b [ L]c
1 ab
0  abc
0  a  2b
1
2
1
b ,a ,c
3
3
3
2
1
1
H 0 3 g 3 3
f (
) ( ) z
  c p T0
z 
  1
 f z
 local free convection
• 길이규모
[ L1 ]  [ KLT 1 ] a [ LT 2 K 1 ]b [ L]c
1 abc
0  ab
0  a  2b
z
b  0, a  0, c  1
• 속도규모
1
H0 g 3
uf  (
z)
  c p T0
• 중립지표층
• 중립 대기경계층
kz du
1
u * dz
u w
z
 1
z1
u ws