Transcript PowerPoint 프레젠테이션 - Metal Forming CAE Lab.

상미분방정식의 유한요소
해석에 관한 요약
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 등매개변수 요소
○ 해석영역의 이산화와 관련 좌표의 보간 목적으로 사용한 보간함수와 미지의
함수의 근사화 목적으로 사용한 보간함수가 동일한 경우
○ 해석 영역의 이산화 및 근사화
N
x   xJ N J ( x )
(4.1)
J 1
• N : 절점의 수
• xL : 절점 L 의 좌표
• N I ( x ) : 보간함수(Interpolation function)
N I ( xJ )   IJ
(4.2)
○ 미지의 함수의 근사화
N
 ( x )   J N J ( x )
J 1
• 파이 J : 절점 J 에서의 미지함수의 함수값, 즉 절점치(Nodal value)
(4.3)
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 보간함수
○ 적합성 조건(Compatibility condition)
조건 1: 해석영역 상의 임의의 점에서 N L ( x)  H 1 또는 C 0
(4.8)
○ 완전성 조건(Completeness condition)
N
조건 2: 절점 L( x  xL ) 에서 N L ( x)  1 , 임의의 점에서  N L ( x)  1 .
(4.9)
L1
○ 완전성 조건의 의미와 유도
• 의미: 완전성조건은 절점 수를 증가시키면 해가 정답에 수렵하기 위한 것으로 2차
상미분방정식에서 시도함수가 상수항과 x 의 1차 항을 정확하게 표현할 수
있어야 한다는 것이다.
• 유도:
N
 ( x)  J N J ( x)   0  1 x
(4.4)
 ( xJ )  J   0  1 xJ
(4.5)
J 1
N
N
J 1
J 1
 ( x)   0  N J ( x)  1  xJ N J ( x)   0  1 x
N
N
J 1
J
( x)  1
(4.6)
(4.7)
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 완전성 조건과 선형요소(Linear element)
(a)
(b)
(c)
그림 2.2 보간함수 후보
• 그림 2.2(a) : 적합성 조건 만족, 완전성 조건 불만족
• 그림 2.2(b) : 적합성 조건과 완전성 조건 동시 만족
• 그림 2.2(c) : 적합성 조건 만족, 완전성 조건 불만족
선형요소라고 함
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 요소관점에서의 보간함수
그림 2.7 이산화 및 보간 함수
• 어떤 요소만 보았을 때 그 요소를 정의하는데 사용된 절점에서 정의된 보간함수만
0이 아닌 값을 가짐
• 예를 들면, 그림 2.7에서 보는 바와 같이 절점 I 와 J 로 정의된 요소 ⓔ에서 0이
아닌 값을 갖는 보간함수는 N I , N J 두 개밖에 없다. 정의구역을 요소 ⓔ에 국한하
였을 때 이 두 함수 N I , N J 를 각각 N Iⓔ  N Iⓔ ( x), N Jⓔ  N Jⓔ ( x) 라고 두자. 2장의 식
(2.4)에서 이 두 함수를 정의로 부터 직접 구하였으나, 여기서는 개념의 2, 3차원
확장이 가능한 접근방법으로 설명한다.
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 적분 구간의 변환
○ 좌표변환
• 적분 구간을 표준구간 [-1,1]로 변환시켜 보자.
• 그림에서 보는 바와 같이 x  xI (절점 I )에서 -1값을 갖고 x  xJ (절점 J )에서 +1의
값을 갖도록  -좌표계, 즉 자연좌표계(Natural coordinate system)를 정의함
1 
1  
x  x( )  xI 

x
 J

 2 
 2 
 x1ⓔ N1 ( )  x2ⓔ N 2 ( )
(4.10)
○ 정의구역을 요소 ⓔ에 국한하였을 때 이
두 함수 N I , N J 를 각각 N Iⓔ  N Iⓔ ( x),
N Jⓔ  N Jⓔ ( x) 라고 두자.
○ 자연좌표계에서 보간함수 Ni
1  i
N i ( ) 
2
• 1   2  1
2 x  xI  xJ

xJ  xI
x x
N Iⓔ ( x)  N1 ( x)  J
xJ  xI




그림 2.8 국부번호매김 및 첨자규약
(4.11)
(4.12)
(4.13)
N Jⓔ ( x)  N 2 ( x) 
x  xJ
xJ  xI
(4.14)
상미분방정식의 유한요소해석에 관한 요약
⊙ 자연좌표계에서의 미분과 적분
○ 선분요소 dx

dN
dN 2 
dx   x1ⓔ 1  x2ⓔ
 d  J d
d

d



또는
dx
J
d
(4.15)
• J : 자코비안(Jacobian)
○ 보간함수의 미분
Ni  Ni ( ( x))
(4.16)
dN i dN i dx

d
d d
(4.17)
1
dNi dNi  dx 
i
1 dNi
2

 ⓔ

 
dx
d  d 
J d
x2  x1ⓔ 2
(4.18)