Transcript 제 9장 - myung.inje.ac

Chapter 9
강체의 회전운동
(Im)
PowerPoint® Lectures for
University Physics, Twelfth Edition
– Hugh D. Young and Roger A. Freedman
Lectures by James Pazun
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9장의 목표
• 회전 역학의 학습
• 선운동과 회전운동의 관계 알아보기
• 관성모멘트(I)의 정의와 회전 운동에너지 구하기
• 관성모멘트의 계산
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서론
• 우리 주변에는 CD, DVD,
헬리콥터 등과 같이 회전
역학이 관여된 것이 많다
• 실제 회전체는 회전 중
늘어나거나 뒤틀리는 등
복잡하다. 여기에서는
이상적인 강체의 회전을
다룬다
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9.1 각속도와 각가속도
• 자동차 속도계의 바늘은
회전 운동한다
• 바늘이 고정된 중심점에
대해 반시계 방향 (또는
시계 방향)으로 움직이는
운동을 생각해보자
+x 축으로부터의
각 q 는 바늘의
회전위치를 나타냄
바늘의
회전 방향
회전축은 원점을 지나
페이지 앞쪽을 향한다
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회전수, 각도, 라디안
• 360°는 1 회전수
• 1 회전수는 2p 라디안
1 라디안은 호 의
길이(s)가 반지름(r)
과 같을 때의 각
• 360° = 2p 라디안
또는 1 라디안 = 57.3°
라디안 단위의 각
q 는 호의 길이(s)
와 반지름(r)의 비
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각변위
• 각변위는 회전에 의한 회전 각
• 각변위는 q (theta)로 표시
• 각변위는 병진운동에서 x 나 y 에 대응
Dt 동안 회전한
바늘의 각변위 Dq
회전 방향
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각속도
• 각속도는 각변위(회전하면서 지나간 회전각)를
회전 시간으로 나눈 것이다
• 각속도는 ω (omega)로 표시
• 각속도는 초당 라디안 (rad/s : SI 단위) 또는 분당
회전수 (r.p.m) 로 측정
• 보기 9.1
Dq dq
 z  lim

dt
Dt 0 Dt
각속도의 정의
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각속도는 벡터


• 오른손의 손가락을 회전각 방향으로 감아서 각속도
벡터를 나타낼 수 있다. 각속도 벡터의 방향은 엄지
손가락 방향. 이것을 “오른손 법칙”이라 한다
오른손
손가락을
회전방향으로
감으면
엄지손가락은
각속도의 방향을
가리킨다
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각속도는
양의 z 방향:
각속도는
음의 z 방향:
각가속도
• 각가속도는 각속도 변화를 시간 변화로 나눈 것이다
• 각가속도는 α (alpha) 로 표시, 단위는 제곱초당
라디안 (rad/s2)
• 보기 9.2
평균 각가속도는 각속도 변화를
시간 간격으로 나눈 것
Dz dz
 z  lim

Dt
dt
Dt 0
각가속도의 정의
d dq d 2q
z 
 2
dt dt
dt
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각가속도는 벡터


• 각가속도 벡터는 각속도 벡터와 평행 또는 반평행
(오른손 법칙으로 결정)
각가속도와 각속도가
같은 방향: 회전 속력
증가
각가속도와 각속도가
반대 방향: 회전 속력
감소
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9.2 일정 각가속도 회전 운동
표 9.1 가속도가 일정한 선운동과 회전운동의 비교
가속도가 일정한 선 운동
가속도가 일정한 고정 축에 대한 회전 운동
일정
일정
 z  0 z   z t
1
q  q 0  (0 z   z )t
2
1
q  q 0  0 z t   z t 2
2
 z2  02z  2 z (q  q 0 )
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CD 의 회전 운동
• 보기 9.3
회전 방향
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9.3 선운동과 회전운동의 관계
• 예전에는 33 1/3 r.p.m으로
회전하는 LP판이 있었다.
벌레가 그 위에서
바깥쪽으로 움직인다면 똑
같은 각변위, 각속도,
각가속도를 느끼겠지만
접선 방향에 대해서는
이동거리, 속도, 가속도가
달라진다
물체 위의 점 P 가 움직인 거리
( q 의 단위는 라디안)
점 P 의 선속력
(각속력  의 단위는 rad/s)
점 P 의 궤적
v  r
선속력과 각속력의 관계
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선운동과 회전운동의 관계
atan
dv
d

r
 r
dt
dt
회전체 위 한 점의 접선
성분 가속도
arad
v2

  2r
r
회전체 위 한 점의 구심
가속도
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점P의
선가속도
원반던지기
• 보기 9.4
원반의
경로
원반
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운동량과 운동에너지의 비교-보기 9.4
원반던지기 선수가 반지름 0.80 m인 원을 따라 원반을 돌린다. 어떤
순간에 각속력 10.0 rad/s 로 회전하고 있으며 각속력이 50.0 rad/s2 의
비율로 증가하고 있다. 이 순간 원반의 가속도의 접선 성분과 구심성분
그리고 가속도의 크기를 구하시오.
확인: 원반을 원궤도 운동하는 입자로 취급
정리: r, ,  주어지고, arad, atan, 가속도크기 구하기
실행:
점검: 가속도 결과에“라디안”단위를 떼어 버린 것을 주목
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비행기 프로펠러
• 보기 9.5
비행기
앞모습
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옆모습
자전거 페달과 기어
• 보기 9.6
뒤
뒤
앞
뒤 톱니바퀴
앞
앞 톱니바퀴
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9.4 회전운동 에너지
●
• 선운동 에너지 ½ mv2
각운동 에너지 ½ Iω2
I  m1r12  m2 r22  
질량이 축 가까이에
있는 작은 관성 모멘트
기구는 돌리기 쉽다
회전축
  mi ri 2
i
●
관성모멘트의 정의
1 2
K  I
2
강체의 회전운동 에너지
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질량이 축에서 멀리
있는 큰 관성 모멘트
기구는 돌리기 어렵다
회전축
9.5 회전운동에서의 에너지
강체내에 있는
i 번째 입장의 운동 E : 1 mi vi2  1 mi ri 2 2
2
2
1 N
1
2 2
2
K

m
r


I

총 운동 E :

i i
2 i 1
2
I : 관성모멘트(moment of inertia)
강체의 질량이 공간에 “어떻게 분포되었는가” 표현함
 회전관성 < I가 크면 클수록 정지한 물체는 회전하기
어렵고, 회전하고 있다면 멈추기 어려움>
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다양한 모양의 물체들의 관성모멘트
(a) 가는 막대
(e) 속이 빈 원통
(b) 가는 막대
(f) 속이 찬 원통
(c) 직사각형 판
(g) 속이 빈 얇은
원통 껍질
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(d) 얇은 직사각형 판
(h) 속이 찬 구
(i) 속이 빈 얇은
구 껍질
회전운동에너지의 계산
• 보기 9.8
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보기 9.8의 변형
• 보기 9.9
원통과 벽돌이
벽돌이 바닥에 부딪히기
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Pearson Addison-Wesley 직전
9.5 평행축 정리
• 보기 9.10
질량중심을 지나고 그림 면에
수직한 회전축
질량 요소 mi
질량중심을 지나는 축과
평행한 두번째 회전축
물체를 얇게 조각낸
부분, 질량은 M
질량중심을 지나는 축
I P  I cm  Md 2
평행축 정리
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P 점을 지나는 축
관성모멘트 줄여 더 높은 회전속도 얻기
Divers reducing their moments of inertia to
increase their rates of rotation
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김 연아의 트리플악셀
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관성모멘트의 계산
• 원통의 회전
• 보기 9.12
• 예) 속이 찬 깡통이나 속이 빈 깡통
축
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질량 요소: 길이가
dx 인 막대 조각
중심축에 대해 균일한 구의 회전
• 보기 9.13
• 예) 지구의 회전?
질량 요소: 구의
중심으로부터 x 거리에 있는
반지름 r 두께 dx 인 원판
축
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