Transcript 10장.

10장. 고정축에 대한 강체의 회전
(Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
각위치, 각속도, 각가속도
분석 모형: 각가속도가 일정한 강체
회전 운동과 병진운동의 물리량
회전 운동 에너지
관성 모멘트 계산
토크
분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체
회전 운동에서의 에너지 고찰
강체의 굴림 운동
1
Movies
Rotational Mechanics
RMM02VD2.MOV
RMM02VD3.MOV
RMA02VD1.MOV
RMM03VD1.MOV
RMM05VD1.MOV
RMM06VD1.MOV
RMM07VD1.MOV
2
10.1 각위치, 각속도, 각가속도
(Angular Position, Velocity and Acceleration)
바퀴처럼 부피를 갖는 물체가 어떤 축을 중심으로 회전할 때는,
이 물체를 하나의 입자로 취급하여 그 운동을 분석할 수 없다.
물체의 각 부분들이 주어진 시각에 각각 다른 선 속도와 선 가속도를
갖기 때문이다.
회전하는 물체를 다룰 때 그 물체를 강체라 가정하면
분석이 아주 단순화된다. 강체(rigid body)는 변형이
없는 물체를 말한다. 오른쪽 그림에서,
s  r
s

단위: 라디안(radian)
r

 (rad ) 
 (deg )

180
3
기준선으로부터 각 θ 만큼 이동하면 강체에 속한
모든 다른 입자들도 같은 각도 θ 만큼 회전한다.
각 입자와 마찬가지로 전체 강체에 각 θ를 부여할
수 있으므로, 회전하는 강체의 각위치(angular
position)를 정의할 수 있다. 이 때 각변위는,
   f   i
평균 각속력:
(average angular speed)
순간 각속력:
 f  i



t f  ti
t
(instantaneous angular speed)
 d
  lim

t 0 t
dt
단위: rad/s 또는 s-1
4
평균 각가속도
(average angular acceleration)
순간 각가속도
(instantaneous angular acceleration)
 avg
 f  i



t f  ti
t
 d
  lim

t 0 t
dt
강체가 고정축에 대하여 회전할 때,
물체 위의 모든 입자는 주어진 시간 간격
동안에 같은 각만큼 회전하고 같은
각속력과 같은 각가속도를 갖는다.
보다 일반적인 회전 운동에서 각속도와
각가속도는 벡터량이다.
동일한 강체가 회전축이 바뀌면 회전 운동
의 형태도 바뀌기 때문이다.
5
10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체
(Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)
고정축을 중심으로 회전하는 강체의 운동은 각가속도가 일정한 경우
가 많다. 따라서 ‘각가속도가 일정한 강체’라고 하는 회전 운동에 대한
분석 모형을 만들자. 이 모형은 등가속도 선운동의 경우와 유사하다.
각가속도 α가 일정한 경우,
 f  i   t
 f  i  it  12 t 2
 2f  i2  2 ( f  i )
 f   i  12 (i   f )t
6
10.3 회전 운동과 선운동의 물리량
(Angular and Translational Quantities)
강체가 고정축에 대해서 회전할 때 이 강체의 모든 입자들은
회전축을 중심으로 원운동을 한다.
v
ds
d
r
dt
dt
v  r
속도에 대한 식을 미분하면
at 
dv
d
r
dt
dt
at  r
v2
ac 
 r 2  ar
r
 a  at2  ar2  r 2 2  r 2 4  r  2   4
7
10.4 회전 운동 에너지
(Rotational Kinetic Energy)
강체를 작은 입자들의 집합으로 생각하고, 이 강체가 고정된 z-축을 중심으로
각속력 ω로 회전한다고 가정하자. 먼저, 질량 mi인 입자가 회전축으로부터
ri 떨어진 점에서 접선 속력 vi로 운동하는 경우
K i  12 mi vi2
이므로 전체 운동 에너지는
K R   K i   12 mi vi2 
i
i
1
2
2 2
m
r
 ii
i

2 2
K R    mi ri   12 I 2
 i

1
2
 K R  I
1
2
2
I   mi ri 2
◀ 회전 운동 에너지
◀ 관성 모멘트(moment of inertia)의 정의
i
8
회전 운동 에너지는 새로운 형태의 에너지가 아니다.
강체를 이루는 입자들의 각각의 운동 에너지의 합으로부터
유도하였으므로 일반적인 운동 에너지이다.
10.5 관성 모멘트 계산
(Calculation of Moments of Inertia)
I   ri 2 mi
 I  lim
mi 0
i
2
2
r

m

r
 i i  dm
i
여기서 r은 위치벡터가 아니라 회전축으로부터의 직선 거리이다.
 I   r 2 dm
여기서,
10.4: Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis
As this rigid object rotates about the fixed axis
shown here, the blue point has a tangential velocity v
that is always tangent to the circular path of radius r.
9
10
예제 10.3 회전하는 네 개의 물체
네 개의 작은 구가 xy 평면에서 질량을 무시할 수 있는 두 막대의 끝에 묶여 있다. 구의
반지름은 막대기의 크기에 비해 아주 작다고 가정한다.
(A) 계가 y축을 중심으로 ω의 각속력으로 회전할 때, 이 축에 대한 관성 모멘트와 회전
운동 에너지를 구하라.
풀이
I y   mi ri 2  Ma 2  Ma 2
i
 2Ma 2
K R  12 I y 2  12 (2Ma 2 ) 2  Ma 2 2
(B) 이 계가 O를 관통하는 축(z축)을 중심으로 xy 평면에서 회전한다고 가정하자.
이 축에 대한 관성 모멘트 및 회전 운동 에너지를 구하라.
I z   mi ri 2  Ma 2  Ma 2  mb2  mb2  2Ma 2  2mb2
i
K R  12 I z 2  12 (2Ma 2  2mb2 ) 2  ( Ma 2  mb2 ) 2
11
예제 10.4 균일한 강체 막대
길이가 L이고, 질량이 M인 균일한 강체 막대가 있다. 막대에 수직이고 질량 중심을
지나는 축(y축)에 대한 관성 모멘트를 구하라.
풀이
M
dm  dx 
dx
L
M
I y   r dm   x
dx
L / 2
L
L/2
2
M

L
2
L/2
M x 
 L / 2x dx  L  3 
L / 2
L/2
3
2
 121 ML2
Iy 
1
12
2
ML
12
▣ 평행축 정리(parallel-axis theorem)
삼차원 물체를 평평한 물체로 압축
시킨다고 가정하면
I   r 2 dm
  ( x 2  y 2 )dm
O좌표계에서 질량 중심의 좌표가
( xCM , yCM ,0)이라면
x  x' xCM ,
y  y' yCM , z  z '  0이므로
I   [( x  xCM ) 2  ( y  yCM ) 2 ]dm
2
2
  [( x) 2  ( y) 2 ]dm  2 xCM  xdm  2 yCM  y dm  ( xCM  yCM )  dm
ICM
 I  I CM  MD
2
D2
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10.6 토크
(Torque)
축이 고정되어 있는 강체에 힘을 작용하면, 강체는 그 축에 대하여 회전하려
한다. 이와 같이 어떤 축에 대하여 물체를 회전시키고자 하는 힘의 능률을
토크(또는 돌림힘, torque)라 하며 벡터량이다.
  rF sin   Fd
단위: Nm (Joule이 아님)
둘 이상의 힘이 한 물체에 작용할 때 각 힘이
물체에 토크를 작용한다. 토크는 벡터량이므로
회전 방향을 고려해야 한다.
  
1
  2  F1d1  F2 d2
14
예제 10.7 원통에 작용하는 알짜 토크
큰 원통에서 가운데 부분이 튀어나온 2단 실린더가 있다. 실린더는 중심축에 대하여
자유롭게 회전하고 있다. 그림과 같이 힘 T1 및 T2가 작용한다.
(A) 회전축(z축)에 대하여 실린더에 작용하는 알짜 토크를 구하라.
풀이
두 힘이 실린더를 각각 시계 방향과 반시계 방향으로 회
전시키려 하므로 토크의 방향도 반대 방향이다. 시계 반
대 방향을 (+)방향으로 정하면
  
1
  2  R2T2  R1T1
(B) T1=5.0N, R1=1.0m이 고 , T2=15.0N, R2=0.50m라고 하자. 회전축에 대한 알짜 토크
를 구하라. 그리고 정지 상태에서 시작하였다면 어느 방향으로 원통이 회전하겠는가?
  (0.50m)(15N)  (1.0m)(5.0 N)
 2.5N  m
시계 반대 방향
10.13: Clockwise and Counter-Clockwise Torques
For the initial conditions of this animation, one force
tends to rotate the object counterclockwise about O
and the other tends to rotate it clockwise. You can
adjust the variables here to explore different cases.
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10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체
(Analysis Model: Rigid Object Under a Net Torque)
먼저, 외력의 영향을 받아 고정된 점을 중심으로 원을 따라 회전하는 입자의
경우를 생각해 보자. 접선 방향의 알짜힘과 지름 방향의 알짜힘에 의하여
반지름 r 인 원주 위를 회전하는 질량 m인 입자의 경우
 F  ma ,  F
t
t
c
 mac
   F r  (ma )r
 r ,    (mr )r  (mr )
t
at
t
2
   I
( F  ma)
입자에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고,
그 비례상수는 관성 모멘트이다.
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이 결과를 고정축을 중심으로 회전하는 임의의 모양의 강체에 관해 확장하자.
강체는 아주 작은 크기의 질량 요소 dm 이 무한히 많이 모여 있는 것으로
생각할 수 있다
dFt  (dm)at
d  rdFt  at rdm
d   r 2 dm (at  r )
   r dm    r dm
   I ( F
2
2
 ma)
강체에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고,
그 비례상수는 강체 전체의 관성 모멘트이다.
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예제 10.10 바퀴의 각가속도
반지름 R, 질량 M 그리고 관성 모멘트가 I 인 바퀴가 마찰이 없는 수평 축에 설치되어
있다. 바퀴에 감긴 가벼운 줄에 질량 m인 물체가 달려 있다.
바퀴의 각가속도, 물체의 선가속도, 줄에 걸린 장력을 구하라.
풀이
회전축을 통과하는 축에 대한 토크에 기여하는 유일
한 힘은 바퀴에 작용하는 중력 mg 뿐이다.
  TR  I (  I )
1
 TR
 
 Fy  mg  T  ma
2
a
(at  r )
3
T 
mg
,
2
1  (mR / I )
I
I
mg  T
m
TR 2 mg  T
a  R 

I
m
a
g
,
2
1  ( I / mR )
a
g
 
R R  ( I / mR)
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10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰
(Energy Considerations in Rotational Motion)
회전 운동을 에너지의 관점에서 접근해보자. 힘 F 가 작용하여 회전축 O 에
대해 작은 거리 ds=rdθ 만큼 회전시킬 때 한 일은
dW  F  ds  Fds cos(
( F sin  )r  
(
dW
d

dt
dt

2
  )  ( F sin  )rd
 dW   d
dW
P 
  (P  Fv))
dt
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강체가 고정축에 대해서 회전할 때, 외부 힘이 한 일은 회전 운동 에너지의
변화와 같다: 회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리
d
d d
d
   I  I
I
I

dt
d dt
d
  d  dW  I d
 W  
f
i
(dW   d )
I d  12 I 2f  12 Ii2
회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리
(work-kinetic energy theorem for rotational motion)
20
21
10.9 강체의 굴림 운동
(Rolling Motion of a Rigid Object)
회전 운동과 병진 운동을 동시에 하는 경우를 생각해보자.
미끄러지지 않고 수평면 위에서 굴러가고 있는
반지름 R의 원통을 고려하면,
vCM
ds
d

R
 R
dt
dt
aCM 
dvCM
d
R
 R
dt
dt
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마지막 그림에서 물체는 P점을 중심으로 회전 운동하는 것으로 생각할 수
있으므로
K  12 I P 2
I P  I CM  MR 2 (평행축 정리)
 K  I CM  Mv
1
2
2
1
2
2
CM
(v  r )
10.26: Conservation of Mechanical Energy for Rolling Objects
In this animation, you can roll several objects down the incline
and see how the final speed depends on the type of object.
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즉, 구르는 물체의 전체 운동 에너지는 질량 중심에 대한
회전 운동 에너지와 질량 중심의 병진 운동 에너지의 합이다.
순수 굴림 운동의 경우 vCM=Rω이므로
2
 vCM  1
2
1
K  2 I CM 
  2 MvCM
 R 
 I CM
 2
 K   2  M vCM
 R

1
2
구가 경사면 바닥에 있을 때 중력 위치 에너지가 영(0)이라고 하면
K f  U f  Ki  U i
1
2
 I CM
 2
 2  M vCM  0  0  Mgh
 R

1/ 2
 vCM


2 gh



2 
 1  ( I CM / MR ) 
구르지 않고 미끄러지는 경우보다
느리다!
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