Transcript 전자가

23장. 전기장(Electric Field)
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
전하의 특성
유도에 의해 대전된 물체
쿨롱의 법칙
전기장
연속적인 전하 분포에 의한 전기장
전기력선
균일한 전기장 속에서 대전 입자의 운동
23.1 전하의 특성
(Properties of Electric Charges)
전하(Electric charge) : 물질이 갖고 있는 고유한 물리적 성질의 하나.
두 종류의 전하가 존재하고, 각각을 양(positive) 전하와 음(negative)
전하라고 함.
같은 종류의 전하끼리는 서로 밀어내고 다른 종류의 전하끼리는 서
로 당긴다.
고립계에서 전하량은 항상 보존된다.
전하량은 기본 전하량의 정수배로 존재하며, 양자화(quantized)되어
있다. q=Ne, N은 자연수이다.
23.2 유도에 의해 대전된 물체
(Charging Objects by Induction)
도체(conductor)
원자에 구속되지 않고 물질 내에서 상대적으로
자유롭게 움직일 수 있는 자유 전자가 있는 물질
절연체(insulator)
모든 전자가 핵에 구속되어 물질 내에서 자유롭
게 움직일 수 없는 물질
반도체(semiconductor)
전기적인 성질이 도체와 절연체의 중간
유도에 의한 대전:
23.3 쿨롱의 법칙
(Coulomb’s Law)
Fe  k e
q1 q2
r2
쿨롱 상수: ke  8.9876 109 N  m 2 / C 2
ke 
1
40
,
 0  8.8542 10 12 C 2 / N m 2
: 자유 공간의 유전율(permittivity of free space)
전자 또는 양성자의 전하량: e  1.60218 10
19
C
쿨롱의 법칙의 벡터 형태:
q1q 2
F12  ke 2 r̂12
r
F12  F21
전하가 셋 이상인 경우:
F1  F21  F31  F41
예제 23.1 수소 원자
수소 원자의 전자와 양성자는 평균적으로 대략 5.3×10-11 m 거리만큼 떨어져 있다. 두
입자 사이에 작용하는 전기력과 중력의 크기를 구하라.
풀이
Fe  ke
Fg  G
e e
r2
(1.60 1019 C ) 2
 (8.99 10 Nm / C )
 8.2 108 N
11
2
(5.3 10 m)
9
2
2
me m p
r2
 (6.67  10
11
 3.6  10  47 N
(9.11 10 31 kg)(1.67 10  27 kg)
Nm / kg ) 
(5.3  10 11 m) 2
2
2
예제 23.2 합력 구하기
삼각형의 꼭지점에 세 개의 전하 q1=q3=5.0 nC, q2=-2.0 nC 이 위치하고 a=0.10 m이다.
q3에 작용하는 알짜힘을 구하라.
풀이
F23  ke
q2 q3
a2
 (8.99 109 N .m 2 / C 2 )
(2.0 10 6 C )(5.0 10 6 C )
(0.10m) 2
 9.0 N
F13  ke
q2 q3

2a

2
 (8.99 109 N .m 2 / C 2 )
(5.0 10 6 C )(5.0 10 6 C )
2(0.10m) 2
 11N
F13x  F13 cos 45  7.9 N
F13 y  F13 sin 45  7.9 N
F3 x  F13 x  F23x  7.9 N  (9.0 N )  1.1N
F3 y  F13 y  F23 y  7.9 N  0  7.9 N
 F3  (1.1i  7.9 j) N
예제 23.3 구의 전하량 구하기
질량이 각각3.0 ×10-2 kg이고 동일하게 대전된 두 개의 작은 구가 그림과 같이 평형 상
태로 매달려 있다. 각 실의 길이는 0.15 m이고 각도 θ는 5.0°이다. 각 구의 전하량을 구
하라.
풀이 (1)
(2)
F
x
F
y
 tan  
 T sin   Fe  0 T sin   Fe
 T cos  mg  0 T cos  mg
Fe
mg
 Fe  mg tan 
 Fe  (3.0 10 2 kg)(9.80m / s 2 ) tan( 5.0)
2
 2.6 10 N
a
 a  L sin 
L
a  (0.15m) sin( 5.0)  0.013m
sin  
Fe  ke
q
2
r2
Fe r 2
Fe (2a) 2
 q

ke
ke
(2.6 10 2 N )[ 2(0.013m)]2
q
8.99 109 N .m 2 / C 2
 4.4 10 8 C
23.4 전기장
(The Electric Field)
원천 전하(source charge)인 대전체 주변의 공간 영
역에 전기장(electric field)이 존재한다.
전기장 벡터(electric field vector) E는 그 점에 놓인
양(＋)의 시험 전하 q0 에 작용하는 전기력 Fe를 시험
전하로 나눈 것으로 정의한다.
Fe
E 
q0
(단위: N/C)
전기장은 시험 전하 자체에 의하여 생기는 것이 아
니다. 또한 전기장의 존재는 원천 전하 또는 전하 분
포의 성질이며, 전기장이 존재하기 위해서는 시험
전하가 필요하지 않다.
시험 전하는 전기장을 탐지하는 검출기 역할을 할 뿐
이다
 Fe  qE
오른쪽 그림에서
qq0
Fe  k e 2 rˆ
r
r̂는 q에서 q0로 향하는 단위벡터
따라서 P점에 q가 만드는 전기장은
Fe
q
E   k e 2 rˆ
qo
r
q의 부호에 따라 전기장의 방향이 결정됨
여러 점 전하에 의한 전기장:
qi
E  ke  2 rˆi
i ri
*전기 쌍극자 (electric dipole)
예제 23.4 두 전하에 의한 전기장
그림과 같이 전하 q1과 q2가 x-축 상에 있고, 원점에서부터 각각 거리 a와 b에 있다.
(A) y-축에 있는 점 P에서 알짜 전기장 성분을 구하라.
풀이
(A)
E1  ke
E2  k e
E1  ke
E 2  ke
q1
r12
q2
r22
q1
(a  y )
2
2
q2
(b 2  y 2 )
q1
 ke
(a 2  y 2 )
 ke
q2
(b 2  y 2 )
cos i  ke
cos i  ke
q1
(a  y )
2
2
q2
(b 2  y 2 )
sin j
sin j
(1) E x  E1x  E2 x
 ke
q1
(a 2  y 2 )
(2) E y  E1 y  E2 y
cos   ke
q2
(b 2  y 2 )
cos 
 ke
q1
(a 2  y 2 )
sin   ke
q2
(b 2  y 2 )
sin 
예제 23.4 두 전하에 의한 전기장(계속)
(B) |q1|=|q2|와 a=b인 특별한 경우(전기 쌍극자)에 점 P에서 전기장을 구하라.
(C) 점 P가 원점으로부터 거리 y≫a일 때, 전기 쌍극자에 의한 전기장을 구하라.
풀이
q
q
cos


k
cos 
e
(a 2  y 2 )
(a 2  y 2 )
q
 2k e 2
cos 
(a  y 2 )
(B) (3) E x  ke
E y  ke
q
q
sin


k
sin 
e
(a 2  y 2 )
(a 2  y 2 )
0
(4) cos  
 E x  2k e
(C)
E  ke
a
a
 2
2 1/ 2 이므로
r (a  y )
q
a
2qa

k
e
(a 2  y 2 ) (a 2  y 2 )1/ 2
(a 2  y 2 )3 / 2
2qa
y3
23.5 연속적인 전하 분포에 의한 전기장
(Electric Field of a Continuous Charge Distribution)
많은 전하들 사이의 거리가 이들 전하에서 전기장을 구하고자
하는 점까지의 거리에 비하여 매우 가까운 경우가 있다. 이런
경우의 전하계를 연속적이라고 한다. 즉, 밀집된 전하계는 선,
면 또는 부피에 걸쳐 연속적으로 분포한 전체 전하와 동일하다
q
E  k e 2 rˆ
r
E  ke 
i
 E  ke lim 
qi  0
dq  dV
부피 전하 밀도   Q
(volume charge density)
V
면 전하 밀도
i
qi
rˆ
2 i
ri
qi
dq
ˆ
ˆ
r

k
e 2r
2 i
ri
r
dq  dA dq  d
(surface charge density)

Q 선 전하 밀도
Q



A (linear charge density)
예제 23.5 전하 막대에 의한 전기장
길이가 ℓ인 막대에 양(+) 전하 Q가 단위 길이당 전하 λ로 고르게 퍼져 있다. 막대의 긴축
한쪽 끝으로부터 a 만큼 떨어진 점 P에서의 전기장을 구하라.
풀이
dE  ke
dq
dx

k
e
x2
x2
E
a
a
dx
ke  2
x
E  ke  
a
a
 E  ke
a
dx
 1

k

e 
2

x
 x a
keQ
Q1
1 




  a   a  a (  a )
예제 23.6 균일한 고리 전하에 의한 전기장
양(+) 전하 Q가 반지름이 a인 고리에 균일하게 분포하고 있다. 고리 면에 수직인 중심축
으로부터 x 만큼 떨어져 있는 점 P에서 고리에 의한 전기장을 구하라.
풀이
dq
dq
cos


k
cos 
e
2
2
2
r
(a  x )
x
x
cos    2 2 1/ 2 이므로
r (a  x )
dEx  ke
dEx  ke
ke x
dq
x

dq
2
2
2
2 1/ 2
2
2 3/ 2
(a  x ) (a  x )
(a  x )
 Ex  
ke x
ke x
dq

dq
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2 
(a  x )
(a  x )
E 
ke x
Q
2
2 3/ 2
(a  x )
예제 23.7 균일한 원판 전하에 의한 전기장
균일한 표면 전하 밀도 σ를 갖는 반지름 R의 원판이 있다. 원판의 중심을 지나고 수직인
축 위의 x 만큼 져 있는 점 P에서 전기장을 구하라.
풀이
dq  dA   (2r dr )  2r dr
원형고리와 같이 대칭성에 의해 중심축에 수평한 성분만
남으므로 (앞의 예제)
dE x 
ke x
(2r dr )
(r 2  x 2 )3 / 2
 E x  ke x 
R
0
2r dr
(r 2  x 2 )3 / 2
R
 ke x  (r 2  x 2 ) 3 / 2 d (r 2 )
0
R
 (r 2  x 2 ) 1/ 2 
 ke x 


1
/
2

0


x
 2ke 1  2
2 1/ 2 
 (R  x ) 
원판으로부터 가까운 축 위에서는(R ≫ x)
 E x  2ke 

2 0
23.6 전기력선
(Electric Field Lines)
전기력선(electric field lines)은 전기장의 모양을 시각화하
는 편리한 방법이다.
전기장 벡터 E는 각 점에서 전기장의 접선 방향이다. 화살촉 방
향이 전기장 벡터 방향이다. 전기력선의 방향은 전기장 안에 놓인
양(＋)의 시험 전하가 받는 힘의 방향이다.
전기력선에 수직인 면을 통과하는 단위 면적당 전기력선의 수는
그 영역 안에 있는 전기장 크기에 비례하므로, 전기장이 강한 영
역에서는 전기력선들이 서로 가까이 있고, 전기장이 약한 영역에
서는 멀리 떨어져 있다.
전하 분포에 대한 전기력선을 그리는 원칙
전기력선은 양(+)의 전하에서 시작하여 음(-)의 전하
에서 끝나야 한다. 만일 여분의 전하가 있으면, 전기력
선은 무한히 멀리 떨어진 곳에서 시작하거나 끝날 것
이다.
양(+)전하에서 나오거나 음(-)전하에 들어가는 전기력
선의 수는 전하의 크기에 비례한다.
두 전기력선은 교차할 수 없다.
23.7 균일한 전기장 속에서 대전 입자의 운동
(Motion of Charged Particle in a Uniform Electric Field)
Fe  qE  ma
a 
qE
m
예제 23.8 양(+)전하의 가속
거리 d 만큼 떨어지고 평행한 전하 판 사이의 균일한 전기장 E는 x-축과 나란한 방향이
다. 양전하 판에 가까운 점A에서 질량 m인 양(+)의 점 전하 q를 정지 상태에서 가만히
놓으면, 이 양(+)전하는 음(-)전하 판 가까운 점 B쪽으로 가속 운동을 한다.
(A) 일정한 가속도를 받고 있는 입자로 모형화하여 B점에서 입자의
속도를 구하라.
풀이
a
qE
m
(일정) 이므로 등가속도 운동을 한다.
v 2f  vi2  2a( x f  xi )  0  2a(d  0)  2ad
v f 
2ad 
 qE 
2
d 
 m 
2qEd
m
예제 23.9 전자의 가속
그림과 같이 E=200 N/C인 균일한 전기장 영역으로, 전자가 처음 속력 vi =3.00 ×106
m/s으로 들어온다. 판의 수평 길이는 ℓ =0.100 m이다.
(A) 전자가 전기장 안에 있는 동안, 전자의 가속도를 구하라.
풀이
 Fy  may
 ay 
F
y
m

eE
me
(1.60  10 19 C )( 200 N / C )
 ay  
9.11 10 31 kg
 3.51 1013 m / s 2
(B) 전자가 시각 t=0에 전기장 안으로 들어온다고 가정하고, 전자가 전기장을 떠나는 시
간을 구하라.
x f  xi  vx t

t
x f  xi
vx
t 
0
0.100m

 3.33  10 8 sec
6
vx
3.00 10 m / s
(C) 전자가 전기장 안으로 들어오는 수직 위치를 yi=0이라고 가정하고, 전자가 전기장을
떠날 때의 수직 위치를 구하라.
y f  yi  v yi t 
1
1
a y t 2  y f  0  0  (3.511013 m / s 2 )(3.33 10 8 s ) 2
2
2
 0.0195m  1.95cm