Transcript 9-10주차_강의자료_정전계

Electromagnetics
(전자기학)
정전계
Prof. Jae Young Choi (최재영 교수)
Electromagnetics (2014 Fall)
Prof. Jae Young Choi
학습목표
 쿨롱의 법칙과 전계에 대한 개념
: 각종 전하분포에서의 전계 해석
 전속밀도와 가우스 법칙의 이해 및 활용
 전속밀도의 발산과 맥스웰 방정식의 의미 파악
 전위경도의 개념 및 전계와 상관관계 이해
 전위와 위치에너지의 개념 확립
목차
2.1
개요
2.2
전계의 세기
2.3
연속적인 전하분포에 의한 전계
2.4
전기력선
2.5
전속과 전속밀도
2.6
벡터의 발산
2.7
전위
2.8
전위경도
2.9
정전에너지
2.1 개요
 쿨롱의 법칙(Coulomb’s Law)
• 두 전하 사이에 작용하는 힘
 전하 사이에 발생하는 힘에 대한 정성적 혹은 정량적 정보 제공
 실험 법칙
 같은 부호의 전하들 사이에는 척력이, 반대 부호의 전하들 사이에는 인력이 작용
 힘의 크기는 두 전하의 곱에 비례
• 힘의 방향 : 두 전하를 연결한 연장선상에 존재
R 12
Q2
Q
1
2.1 개요
 전계의 세기(Electric Field Intensity)
• 단위 양전하에 미치는 쿨롱의 힘
• 전계의 방향 : 쿨롱의 힘의 방향과 동일
 원천전하와 전계점을 연결하는 직선 방향
 전계의 세기는 원천전하의 크기에 비례하고 떨어진 거리의 2승에 반비례
 원천전하가 양(+)전하인 경우 바깥으로 향하는 방향으로 전계가 형성,
음(-)전하일 경우 반대의 방향으로 전계가 발생
전계
전계크기 생성 E
Q
전계방향
aR
2.1 개요
 각종 전하분포하의 전계(1/3)
• 전계의 원인이 되는 전하의 분포
 전하가 축적되는 도체의 형상에 의해 분류
 점전하, 선전하, 면전하, 체적전하
•
예시(Example)
 매우 가늘고 긴 필라멘트 같은 직선도체에 전하가
균일하게 축적된 경우 선전하 밀도
 평행평판 콘덴서와 같은 도체판에 축적된 전하의 경
우 면전하 밀도
2.1 개요
 각종 전하분포하의 전계(2/3)
• 선전하밀도
• 면전하밀도
• 체적전하밀도
• 다수의 점전하 분포
다수의 점전하에 의한 전계의 각각의 전하가 미치는 힘의 선형적인 합과 같다
2.1 개요
 각종 전하분포하의 전계(3/3)
• 다수의 점전하 분포
다수의 점전하에 의한 전계의 각각의 전하가 미치는 힘의 선형적인 합과 같다
Q
r1
r2
1
Q2
Q3
r3
E
2.1 개요
 전기력선(Electric Streamline)
• 전계의 크기와 방향을 나타내는 가상적인 선
 전기력선의 방향은 전계의 방향과 일치
 전계의 세기는 단위 면적당 전기력선의 수로 정의
2.1 개요
 전속밀도와 가우스 법칙 (Very important !!)
• 표면의 전속밀도의 면적분은 면 내의 총 전하량과 같다
내적연산-유효
(effective) 전계 크기
2.1 개요
 전속밀도의 발산(Divergence)
• 임의의 한 점의 체적전하밀도
선속밀도를 표시하는 벡터 A의 발산은 미소체적의 크
기를 0으로 할 때 그 폐곡면으로부터 밖으로 나오는 단
위체적당 선속수의 극한값과 같다
2.1 개요
 맥스웰 제 1방정식 (Very important !!)
• 어떤 점에서 나가는 단위체적당 전속수가 그 점의 전하
밀도와 같다
Gauss 법칙
단위체적
극한값
맥스웰
제1,2,3,4 법칙
2.1 개요
 전위경도(Voltage Gradient)-1/2
• 주어진 전계 내에서 단위 양전하를 어느 한 점에서 다른 한 점으로 옮기
는 데 필요한 일로 정의
• 두 점 사이의 전위 차와 전계의 관계
• 등전위면에서 전계의 방향
-전위가 높은 곳과 낮은 곳 사이에는 반드시 전기적
힘이 발생 이것이 전계임
- 전위가 같은 두 점 사이에 전계는 발생하지 않음
2.1 개요
 전위경도(Voltage Gradient)-2/2
• 중력장에서 위치 에너지와 전기장에서 전위의 유사성
2.1 개요
 정전 에너지(Electrostatic Energy)
• 임의의 공간에 분포하고 있는 많은 전하들이 일정한 전하분포를
유지하기 위해 반드시 어떤 에너지가 필요한데, 이 에너지를 ‘정전
에너지’라 함
• 무한 원점에서 임의의 공간에 전하를 옮기는 데 필요한 일
• 에너지 전하분포를 유지하기 위한 위치에너지로 작용
2.2 전계의 세기 (Electric Field Intensity)
 전하(Electric charge)와 전하량(quantity of charge)
 쿨롱의 법칙(Coulomb’s Law)
• 두 전하 사이에 작용하는 힘
• 다수의 점전하에 의한 힘
: 개개 전하에 의한 힘의 선형적인 합
2.2 전계의 세기 (Electric Field Intensity)
 쿨롱의 법칙(Coulomb’s Law)
Q 1Q 2
F k 2
R
• 쿨룽의 힘은 두 전하를 연결한 연장선상에 존재하며, 같은 부
호의 전하들 사이에는 척력이, 반대 부호의 전하들 사이에는
인력이 작용
• 힘의 크기는 두 전하에 곱에 비례하고, 떨어진 거리의 2승에
반비례
• 점전하의 경우, 다수의 전하에 의해 특정 전하가 받는 힘은 각
각의 전하가 미치는 힘의 선형적인 합과 같음
2.2 전계의 세기(Electric Field Intensity)
 전계
• 단위 양전하에 미치는 쿨롱의 힘
• 단위 : [Newton/Coulomb, N/C], [Volt/Meter, V/m]
• 방향 : 원천전하와 전계점을 연결한 연장선상에 존재
 다수의 점전하에 의한 전계
• 각각의 점전하가 만드는 전계의 선형적 대수합
2.3 연속적인 전하분포에 의한 전계
 연속적 전하분포(Continuous Charge Distribution)
• 선전하밀도(line charge density)
: 매우 가는 필라멘트 상의 도체
• 면전하밀도(sheet charge density)
: 평행평판 콘덴서, 무한히 긴 스트립 전송선로
• 체적전하밀도(volume charge density)
2.4 전기력선(electric streamlines)
 벡터 필드(Vector Fields)
• 정의(Definition)
A vector field is a function that associates a unique vector F(P) with each
point P in a region of 2-space or 3-space
2.4 전기력선(electric streamlines)
 벡터 필드(Vector Fields)
2.4 전기력선(electric streamlines)
 벡터 필드(Vector Fields)
2.4 전기력선(electric streamlines)
 전기력선(1/3)
• 전계의 크기와 방향을 나타내는 전계분포를 나타내는 가상적인 선
: 전계의 방향과 동일
: (+) 전하에서 시작하여 (-) 전하에서 끝남
2.4 전기력선(electric streamlines)
 전기력선(2/3)
• 전계의 세기
: 단위 면적당의 전기력선의 수로 정의
점전하에 의한 전기력선은
점전하에 가까울수록 일정
면적하의 전기력선의 수가
많으므로, 전계가 강하다고
할 수 있음
2.4 전기력선(electric streamlines)
 전기력선(3/3)
• 전기력선의 방정식
전계의
y성분
전계의
x성분
2.5 전속과 전속밀도
 전속(Electric Flux)
• 도체/절연체/도체의 구조에서 발생하는 전기적 변위속선
• 패러데이의 실험
• 전속은 전하량에 비례
-내구의 전하량 Q[C]를 주었을 때,
외구에 –Q[C]가 유도
-내구의 전하량을 증가하면 외구에
도 같은 양의 반대 극성의 전하가 유
도
2.5 전속과 전속밀도
 전속밀도(Electric Flux Density)
• 정전유도현상에 기인한 전속의 면적밀도
• 위대한 가우스 법칙을 탄생시킴
• 이를 활용하여 전계를 쉽게 유도함
• 전계와 방향 및 기본적 성질 동일
2.5 전속과 전속밀도
 전속밀도(Electric Flux Density)
2.5 전속과 전속밀도
 전속밀도(Electric Flux Density)
• 전속밀도와 전계의 관계 유도
매우 작은 구 도체에 Q[C]이 있을 때 거기
r[m] 떨어진 곳에서의 전속밀도
Q
D 
ar
2
4 r
점전하로부터 Q개의 전속선이 4r2 구 표
면을 통과 (매우 작은 구)
점전하 Q[C]에 의한 전계의 세기는
Q
E 
ar
2
4  0r
2.5 전속과 전속밀도
 가우스의 법칙(Gauss' Law) (1/2)
• 도체 사이에 임의의 폐곡면을 가정하면 폐곡면의 넓이와 모양에
상관없이 Ψ  Q
만큼의 전속이 폐곡면을 통과하여 외부 도체
로 향한다.
 폐곡면: 내부에 공간의 일부를 완전히 내포하고 있으며, 경계
가 없는 유한한 곡면
• 어떤 폐곡면을 통과하는 전속은 폐곡면 내의 총 전하량과 같다.
 표면의 전속밀도의 면적문은 면 내의 총 전하량과 같음
2.5 전속과 전속밀도
 가우스의 법칙(Gauss' Law) (2/2)
• 어떤 폐곡면을 통과하는 전속은
폐곡면 내의 총 전하량과 같다.
• 가우스 법칙의 유도
전하분포에 의해
곡면상에는 전속
밀도가 형성
를 통과하는 전속
 전체 폐곡면을 통과하는 모든 전속
∴
where,
선전하
밀도
면전하
밀도
체적전하
밀도
2.5 전속과 전속밀도
 가우스의 법칙의 응용
•
지금까지 가우스 법칙: 전계 및 전속밀도를 알고 이들의 원인이 되는 전하량을 구
하는데 활용
•
전하분포가 주어져 있고, 전속밀도를 구하는 경우
Using
선택한 dS상에서 D가 일정 가정
•
가우스의 면(Gauss Surface) 선택
→
or 0 이 되는 가우스의 면 선택
2.5 전속과 전속밀도
 가우스의 법칙의 응용 예(Coaxial Cable)
:
RMK : 도체 내부와 외부 도체
바깥에서의 전계?
2.6 벡터의 발산
 벡터의 발산
• 어떤 벡터량의 물리적 성질 규명
• 발산의 결과가 (+) : 원천(source)
(-) : 음의 원천 or 흡수(sink)
• 전속밀도의 발산 : 전속밀도를 형성하는 원천전하(체적전하밀도)를
구하는 데 활용
2.6 벡터의 발산
 전속밀도의 발산
• 전속밀도의 발산에 대한 연산 결과는 임의의 한 점의 체적전하밀도를
의미
• 가우스 법칙은 항상 균일한 전하분포에만 적용
• 만약 전하분포가 불균일하여 전하분포로부터 전계 및 전속밀도에
대한 예측이 불가능할경우 미소체적소를 활용한 발산개념 활용
미소체적소
2. 6 벡터의 발산
 미분연산자
2. 6 벡터의 발산
 전속밀도 발산 수식
2. 6 벡터의 발산
 전속밀도 발산 수식 의미
선속밀도를 나타내는 벡터 D의 발산은 미소체
적의 크기를 0으로 할 때, 폐곡면 밖으로 나오는
단위 체적당의 선속수와 같다
2. 6 벡터의 발산
 발산을 활용한 맥스웰 제1방정식
가우스법칙
발산
체적전화밀도
맥스웰 제 1방정식
-가우스 법칙과 맥스웰 제 1방정식은 동일한 의미
-가우스 법칙을 맥스웰 제 1방정식의 ‘적분형’
관계를 ‘미분형’이라 함
2. 6 벡터의 발산
 발산 정리[Divergence Theorem]
면적적분과 체적적분의 관계
주어진 벡터계에 면적적
분과 체적적분 유리하게
문제 선택
2.7 전위
 전위
 전계에서 에너지를 가하여 단위 양전하를 이동하는 데 필
요한 일을 ‘전위’
 전위는 에너지의 개념이며, 전하 Q를 이동하는 데 해주어
여 할 전기적 일 W=QV
2.7 전위
 전위
 쿨룽의 법칙에서 전하 Q1때문에 Q2전하기 느끼는 힘 F2
 Q2를 1[c]이라 하면, 즉 단위 양전하에 미치는 힘 E는
 두식을 정리하면
2.7 전위
 전위
 전하가 전계로부터 힘을 받고 있다는 사실은 마치 모든 물
체가 중력장으로터 힘을 받고 있는 것과 마찬가지로 전하
는 전계라는 힘에 속박되어 있는 것
 전하를 움익이게 하려면 우선 전하를 전계의 속박에서 자
유롭게 해야 함 이는 F = -QE의 힘을 외부에서 가해야 함
 미소거리 만큼 전하를 움직이는데 소용되는 일
 주어진 전계하에서 전하 Q를 어떤 시작점에서 종점까지
옮기는데 필요한 총 일의 양
2.7 전위
 전위
 소요되는 일이 0이 되는 경우는?
전계 E와 미소거리 dL이 서로 수직이면, 즉 전계에 방향에 수직한
방향으로 전하를 움직인다면 소요되는 일은 0이다
2.7 전위
 전위
교재 pp. 097 예제 2-17
2.7 전위
 전위(Electric Potential)
• 주어진 전계하에서 단위 양전하를 옮기는 데 필요한 일
• [ joule/coulomb, J/C] 혹은 [volt, V]
V  W /Q
 전위차(Potential Difference)
• B점에서 A점으로 단위 양전하를 옮기는 데 필요한 일
• A점과 B점의 전위차
2.7 전위
 기준전위와 영전위 기준점
• 0점에 대한 A점의 전위차 = 110 – 0 = 110V
• B점에 대한 A점의 전위차 = 110 - (-110) = 220V
 영전위 기준점
• 접지(ground)
• 무한원점
 영전위 기준점에 대한 A점의 전위
무한 원점의 전위를 영전위
기준점으로 생각함 왜?
2.7 전위
 전위
교재 pp. 099 예제 2-18
2.7 전위
 전위
교재 pp. 099 coffee break
2.7 전위
 의미의 차이를 생각해 보자
• 전위(potential)
• 전압(voltage)
• 기전력(electromotive force)
• 전압강하(voltage drop)
,
2.7 전위
 전계의 선적분과 전계의 보전적 성질
2.7 전위
 주어진 전계 내에서 전하를 이동하는 데 필요한 일이 전계의 세기와 전
하량, 그리고 경로의 시점과 종점까지의 선분벡터에 의해 결정된다는
것을 의미함.
 즉 일은 그 전하를 이동시키기 위하여 선택된 경로와는 무관
 이동 경로가 꼬불꼬불하든, 직석이든 그 결과는 같음
 단위전하를 임의의 폐경로를 따라 일주시키는데 필요한 일이 0이 된다
는 매우 중요한 사실
,
2.7 전위

,
전기회로의 키르호프의 법칙을 만들
어내는 증명
직류 전기회로에서 저항 R1을 통해
B점까지 단위전하를 이동하고 다시
R2를 지나 A점까지 되돌아오게 하는
데 필요한 일은 0이 됨
이는 임의의 폐경로에 대한 전압강하
의 합이 0이 된다는 사실
2.7 전위-맥스웰 제2방정식
 단위전하를 임의의 폐경로를 따라 일주시키는데 필요한 일이 0이 된다
맥스웰 제2방정식
 E  0
회전연산 및 스토크스의 정리(Stoke’s theorem) 활용해서 유도
2.7 전위
 다수의 점전하 : 중첩의 원리 적용 (1/2)
 다수의 점전하 Q1, Q2, Q3…가 있는 경우
 한점 P 에서의 전계는 각 전하가 만들어주는 전계들의 대수합으로
생각할 수 있음
 합성 전계 E  E 1  E 2  E 3  
V    E  d L    (E 1  E 2  E 3  ) d L
 (  E 1  d L )  (  E 2  d L )  (  E 3  d L )  
2.7 전위
 다수의 점전하 : 중첩의 원리 적용 (2/2)
쿨룽의 법칙에 의해서
Q1
Q2
v1 
,
v2 
2
4  0r22
4  0r1
2.7 전위
 연속적인 전하분포
• 체적전하밀도
• 선전하밀도
• 면전하밀도
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 전위경도
 지금까지 주어진 전하분포로부터 전계를 구하고, 구한 전계
로부터 전위를 도출하는 과정 습득
 반대로 주어진 전위에서 전계를 계산하는 것도 가능
Review of Gradient
방향 미분(Directional Derivative) 1/2
전자기학 : Electromagnetics
Vector Analysis
59/56
Review of Gradient
방향 미분(Directional Derivative) 2/2
전자기학 : Electromagnetics
Vector Analysis
60/56
Review of Gradient
기울기(Gradient) 1/2
 정의(Definition)
전자기학 : Electromagnetics
Vector Analysis
61/56
Review of Gradient
기울기(Gradient) 2/2
 스칼라함수의 기울기의 물리적 의미
 기울기의 방향은 그 스칼라의 거리에 대한 변환율이 최대가 되는 방향
 기울기의 크기는 최대 변화율 값
온도를 나타내는
스칼라 함수
벡터 거리는 변화
율 (벡터로 표현)
T(x,y,z)
벡터 방향은 변화
율 방향
전자기학 : Electromagnetics
Vector Analysis
62/56
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 전위경도
 Gradient of T
• N의 변화에 대한 T의 변화율
•
: N의 변화에 대한 T의 최대 변화율을 나타내는 단위벡터
주어진 전계하에서 단위 양전하를 미소거리 만큼
옮기는데 소요되는 일
일때
이므로
이 된다. 한편,
이다.
라면,
전하를 전계가 작용하는 힘의 반대방향으로 움직
일 때 소요되는 일의 변화율이 최대가 된다.
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 전위경도의 수식적 표현
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 등전위면(equipotential surface)
• 등전위면에서는 항상 전위가 일정
• 등전위면상에서의 전위차는 없음
• 만약 등전위면을 따라 미소거리 L 이 변화하면 전위의 변화는
0임
등전위면
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 평행평판 콘덴서에서의 전계와 전위 사이의 관계 고찰
• 평등전계하에서의 거리 변화에 대한 전위의 변화
• 전계는 거리가 증가함에 따라 전위가 가장 급격히 감소하는 방향으
로 발생해야 함
• 전계의 방향은 전극에서 반드시 수직한 방향
 등전위면(equipotential surface)
• 등전위면에 대한 전계의 방향
:
로 항상 수직함
2.7 전위경도(Voltage Gradient)
 점 P에서의 전계의 방향 표시
• 등전위면에 수직이면서 전위가 감소하는 방향으로 그릴 것
• 거리의 변화에 대해 가장 급격히 감소하는 방향
HW1 문제풀이 (1번 문제)
HW1 문제풀이 (2번 문제)