Work Energy Theorem (일
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Transcript Work Energy Theorem (일
일과 에너지
Part 2
제4강
목표
• 에너지의 물리적 정의를 이해
• 스프링과 역학적 에너지 보존 이해
• 중력과 중력 포텐셜 에너지 이해
사전적 정의
• 에너지 (Energy)
– 일을 할 수 있는 (또는 일이 된) 능력의 정도
– 포텐셜에너지 (Potential Energy)
• 물체 또는 시스템에 축적된 에너지
• 위치, 모양, 또는 상태에 의해 정의(결정)됨
• 중력 에너지, 전자기 에너지, 핵에너지 등
– 운동에너지 (Kinetic Energy)
• 움직이는 물체의 에너지
• 움직이는 물체가 정지되면서 할 수 있는 일로 정의(결정)됨
• 에너지 보존법칙은 보존력과 보존계에서 발생되는 특
수한 경우에 대한 물리법칙임
1차원에서의 일과 에너지
- The work done by a force, F from A to B
B
B
W AB F ( x )dx
A
0
WAB 0
0
A
For same direction
For opposite direction
<Motion in a straight line>
dv
From the Newton’s 2nd Law, F = ma, a
dt
tB
B
B
dv
dv
WAB madx m dx m vdt
dt
dt
A
A
tA
where,
v
dx
dt
dx vdt
vB
WAB
v
1 2 B
mvdv mv
2
vA
vA
1 2 1 2
mvB mvA EK B EK A
2
2
WAB EK B EK A
Work-Energy Theorem (일-에너지 정리)
3차원에서의 일과 에너지
B
F = (Fx, Fy, Fz), dr=(dx, dy, dz)
F ( r ) dr
B
W AB
A
A
WAB EK B EK A
Work Energy Theorem (일-에너지 정리)
증명해보자!!
<Motion in an arbitrary path>
일이 0 보다 작은 경우: A에서 B로 이동할 때, 운동에너지가 감소된 것임
일이 0보다 큰 경우 : A에서 B로 이동할 때, 운동에너지가 증가된 것임
예제 - 중력의 일
1. Kinematics
vA
y
1 2
gt
2
v vA
vB v A gt , t B
g
h y B y A v At
x
h
-mg
2
vB
2. Energy consideration
B
vB v A 1 vB v A
2v AvB 2v A2 v A2 vB2 2v AvB
g
h v A
g
2
g
2g
v A2 vB2
2g
B
WAB Fdy mgdy mgy A mgh EK , B EK , A
B
A
A
1 2 1 2
mvB mvA
2
2
v A2 vB2
h
2g
mgh
에너지 보존법칙이 성립함을 알 수 있다.
예제 – 중력에 반하는 힘
vB
x
y
h
vA
합력: 0, 한일의 양은 0이 됨.
속도의 변화가 없어야 하므로 운동에너지는 일정
Fk=mg
-mg
Wgravitation mgh
WK mgh
중력이 한일과 서로 부호가 반대이면서 그 크기가 같음
vB vA 라면 한 일의 양은 0 가 됨
실재로 F_k 에 의한 일이 있고, 중력이 한 일이 있으나 그 힘들이 물체에 가해
준 일의 양은 결국 0이되는 것임
Potential Energy
Wgravitation mgh mg ( y B y A ) EKB EKA
Energy Conservation Law
mgyB EKB mgy A EKA
U B EKB U A EKA
포텐셜 에너지 (EP, U) : 시스템이 일을 할 수 있는 능력
따라서 중력이라는 힘이 작용하는 시스템에서 질량 m 의 물체가 일을 할
수 있는 능력을 포텐셜 에너지 라고 함.
W U
힘이 물체에 해 준 일과 물체가 일을 할 수 있는 능력은 그 부호가 반대이다.
Reference Position
• 포텐셜 에너지에서 0의 위치를 어디로 잡
을 것인가?
– 수학적으로 상수를 양변에 더해도 보존 법칙
은 성립한다.
mgyB U arb EKB mgyA U arb EKA
- 에너지와 힘은 서로 미분-적분의 관계에 있음
U E F dr
- 그러므로 양변에 상수를 더해 줘도 힘의 관계에는 상관이 없음
d (U E )
F
dr
- 힘이 동일하게 나타나므로 운동을 기술할 수 있으며
- (상수를 미분하면 0 이 되며, U_arb 는 적분시 임의 상수)
- 편의상 상수를 더하거나 빼서 포텐셜 에너지를 0 으로 잡으면
- 수식을 편리하게 만들기 위함임
예제 스프링에서의 운동
F=-kx
1. 스프링이 물체 m 에 해준 일
1
W kxdx kx2
2
xmax
x
2. 스프링이 달린 물체 m의 포텐셜 에너지
U kxdx
U
1 2
kx
2
x=0 에서 U = 0
3. 스프링이 달린 물체 m의 운동에너지
F
EK , x
x
1 2
mv
2
4. 에너지 보존
5. Equation of Motion
1 2
1
1
kxmax mv 2 kx2
2
2
2
유도해 보자!!
d 2x k
x0
2
dt
m
예제 롤러코스터
원심력
구심력(중력)
R
v_bottom
떨어지지 않고 360도 회전하기 위한 속도와 반경 R의 관계?
떨어지지 않고 360도 회전하기 위한 시작 높이 h 와 반경 R의 관계?
v_bottom=√(4.5 x R x g)
h = (5/2)gR
증명해 보자!!
Equillibrium
•
임의의 포텐셜 에너지 함수에서 그 미분 값이 0이되는 상태 (즉, 작용되는 힘이 0)
•
이 곳에서는 운동 상태를 유지하게 된다.
•
즉, 정지해 있는 물체는 계속 정지해 있음
•
Unstable Equillibrium
–
•
Stable Equillibrium
–
•
평형 상태에서 약간만 벗어나도 다시 그 평형상태로 돌아올 수 없는 지점
어느 정도(?) 벗어나더라도 다사 그 평형상태로 되돌아 오는 지점
Potential Barrier (포텐셜 장벽, 또는 에너지 장벽)
U(x)
–
그 포텐셜 에너지 지점을 벗어나기 위해 필요한 최소한의 에너지
–
포텐셜 에저지가 마치 장벽처럼 되어 있다고 생각할 수 있음
Unstable
Stable
Barrier
x
중력
Vector 형태
질량을 가진 두 물체가 서로 잡아 당기는 힘
- 왜 중력이 존재해야 하는가?
- 아무런 매개가 없이 서로 상호작용을 할 수 있는가?
B
m1m2
m1m2
ˆ
F (r ) dr G 2 r dr G
r
r
A
A
B
U AB
A
mm
mm
U G 1 2 G 1 2
rB
r
B
지구 반지름
거의 직선으로 근사
A
U(r)의 형태
U = mgh (직선 근사)
탈출 속도
• 지구의 중력권에서 탈출하기 위해서는 물
체의 역학적 에너지가 지구의 중력에 의한
포텐셜 에너지 배리어를 넘어가야 함.
포텐셜 배리어
G
mobject mearth
r
2Gmearth
v2
r
1
mobjectv 2
2
왜냐하면 포텐셜 에너지의 최대 값이 0 이
기 때문임
(본 페이지는 참조)
일률 (Power)
일률 ( porwer ) : 단위 시간당 하는 일 또는 필요한 에너지
평균 일률 :
P
W
t
순간 일률 ( instantaneous power ) :
일률의 단위 :
1 watt (w) 1 J / s
벡터 표현 식 :
P F V
P
dW F dx
dx
F F V
dt
dt
dt
요약
•
에너지는 일을 할 수 있는 능력임
•
일-에너지 정리: 물체에 일을 해주면 물체의 운동에너지가 증가함
•
역학적에너지는 포텐셜에너지 (일을 할 수 있는 능력)와 운동에너지의 합으
로 주어지며 외부와 차단된 고립계에서 보존력이 작용하는 경우, 역학적 에
너지는 보존되어야 함
•
WAB EK B EK A
중력은 두 질량 사이에 서로 당기는 힘으로 두질량의 곱에 비례하고 거리의
제곱에 반비례한다.
•
중력 포텐셜은 거리에 반비례하며, 무한히 멀리 떨어진 곳을 기준점으로 삼
는다.
•
중력 포텐셜 배리어를 넘기 위해서 필요한 물체의 역학적 에너지는 0 보다
커야 한다.
숙제
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