다전자 원자의 에너지 레벨
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Transcript 다전자 원자의 에너지 레벨
프로젝트 5. 원자의 스펙트럼
윤석수
프로젝트 내용
여러 원자의 선 스텍트럼 측정
원자의 스펙트럼을 측정하는 방법이해
가전자가 하나인 원자들의 선 스텍트럼 측정
가전자가 두개인 원자들의 선 스텍트럼 측정
측정된 선 스텍트럼을 양자 역학적으로 이해
에너지 레벨에 대해 이해
선택규칙에 대해 이해
원자의 에너지 레벨 도표와 비교하여 관측된 선이 어떤 특정
전이에서 일어난 것인지 찾기
Hydrogen
Helium
원자의 스펙트럼 예측
현대 물리학에서 원자의 스펙트럼을 어떻게
예측하는가?
보어의 원자모델
수소원자 선 스펙트럼(만) 예측
선 스펙트럼의 강도예측(x)
수소외 다른원자의 선 스펙트럼 이론적으로 예측하는
방법 제공(x)
양자역학
수소 뿐 아니라 다른 원자의 선 스펙트럼 및 강도를
예측하는 이론적 체계를 제공
수소원자내 전자의 에너지 레벨
수소원자내 전자의 에너지 레벨 예측
양자역학의 쉬뢰딩거 방정식
2
ˆ
H
2 V
2me
ˆ E
H
z
1 e2
V (r )
4 0 r
쉬뢰딩거 방정식의 해
r
x
양자역학적 상태를 규정하는 양자수, 양자화된 에너지
고유치, 에너지 고유함수를 구할 수 있음
ml ( ) eiml
ˆ E
H
nlml
n nlml
nlm Rnl (r )m ( )m
l
l
l
ml Pml (cos )
Rnl (r ) er / na0 r / a0 Gnl (r / a0 )
mee4
1
n 1, 2, 3 0, 1, 2, 3,, n 1
En
,
n
1
,
2
,
3
(4 o ) 2 2 2 n 2
ml l ,l 1,,0, , l 1, l
y
수소원자의 선 스텍트럼
수소원자의 선 스텍트럼 이론
높은 에너지 레벨에 있는 전자가 낮은 에너지 레벨로
전이될 때 나오는 광자의 에너지
me e 4
1
1
En
13
.
6
(eV), n 1,2,3
2
2
2
2
(4 o ) 2 n
n
E3
E2
E1
ni 레벨에서 nf 레벨로 전이될 때 나오는 빛의 진동수
h ni ,n f (Eni En f )
n ,n
i
f
13.6 1
1
2
2
h nf
ni
c = 3.0x108 m/s
1
n ,n
i
f
13.6 1
1
2
2
hc n f
ni
h = 4.14x10-15 eVs
h 2,1
수소원자의 선 스텍트럼
0.0
-1.51 eV
-2.0
-3.4 eV
-4.0
n=4
n=3
n=2
En (eV)
-6.0
-8.0
-10.0
3>2
4>2
5>2
-12.0
-13.6 eV
-14.0
-16.0
n=1
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
수소원자내 전자 에너지의 정정(correction)
p me c
상대성 이론에 따른 운동에너지의 정정
2
p
1 p
p2
p4
2 2
2 4
2
1
T p c me c me c
3 2
2me 4 me c
2me 8me c
2
4
2
4
ˆ
ˆ
ˆ
p
p
1
e
p
ˆ
ˆ
H
3 2
H
o
2me 8me c
4 0 r
8me3c 2
2
2
2
2
1
e
1
e
1
2
ˆ
ˆ 2
ˆ
H
2
H
H
o
o
o
2
2me c
4 o r
4 o r
Perturbation term
pˆ 2
1 e2
ˆ
Ho
2me 4 0 r
ˆ
1e e 2
pˆ 2me H o
4
r
0
2
2
2
2
pˆ
1
e
1
1
e
1
2
ˆ
ˆ H
ˆ
H
2
H
o
3 2
2
8me c
2me c
4 o r r 4 o r
4
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
수소원자내 전자 에너지의 정정
전자는 핵이 만드는 전기장 경험 및 그 전기장 속에서
속도 v 로 운동함으로 인해 자기장도 경험
er
vE
E
B 2
3
4 0 r
c
이 자기장 속에서 전자의 스핀 자기모멘트 μ가 가지는
포텐셜에너지 Vs
e
S: 전자의 spin 각 운동량
μ S
me
전자의 궤도 각운동량
1
e2
v r S L me r v
V s μ B
2 3
2
8 o me c r
e2
e2
2
2
2
V s
L
S
J
L
S
J LS
2 2 3
2 2 3
8 o me c r
16 o me c r
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
수소원자내 전자 에너지의 정정
두 정정을 고려한 전자의 Hamiltonian 연산자
4
2
ˆ
p
e
ˆ H
ˆ
ˆ2 L
ˆ 2 Sˆ 2
H
J
o
8me3c 2 16 o me2c 2 r 3
2
2
2
2
1
e
1
e
1
e
ˆ H
ˆ
ˆ 2 2
ˆ
ˆ2 L
ˆ 2 Sˆ 2
H
H
H
J
o
o
o
4 r
4 r 2 16 m2c 2 r 3
2me c 2
o
o
o e
Hr
Perturbation terms
Hs
에너지 레벨의 세분화 예측
1st order perturbation 이론 적용
작은 perturbation energy는 에너지 고유상태에는 변화를
주지 않는다는 가정
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
에너지 레벨의 세분화 예측
에너지 고유상태에 대한 에너지 평균값
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
E nlm nlml H
nlml nlml H o H r H s nlml
l
ˆ
H
o
nlml En nlml
Simultaneous
eigenstates
E nlml
n = 1,2,3,4…..
2
ˆ2
L
o
nlml l (l 1) nlml
2
S nlml s ( s 1) 2 nlml
0, 1, 2, 3,, n 1
s 1/ 2
Jˆ 2 nlml J ( J 1) 2 nlml
j l s, l s ( j 0)
Jˆ z nlml m J nlml
m j j, j 1, j 2,, j
n
3
2 n3 / 4 l (l 1) j ( j 1)
En En 2
En 2
n l 1/ 2 4
n
2l (l 1 / 2)(l 1)
2
En 13.6
1
(eV)
n2
e2
4 o c
1
137
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
에너지 레벨의 세분화
E nlml
n
3
2 n3 / 4 l (l 1) j ( j 1)
En En 2
En 2
n l 1/ 2 4
n
2l (l 1 / 2)(l 1)
2
j = l + 1/2
j = l - 1/2
E nlml
상대론적 에너지 분리
2
n
3
En En 2
n j 1/ 2 4
결과적 에너지 분리
LS결합적 에너지 분리
1
(eV)
n2
e2
1
4 o c 137
En 13.6
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)
에너지 레벨의 세분화 (분광학적 표시기호)
E nlml
2
n
3
En En 2
n j 1/ 2 4
3S1/2
n=2
2S1/2
선택규칙
j 0,1
F
D
l 2 l 3
3D5/2
3D3/2
3P1/2
2P3/2
2P1/2
E=0.000045 eV
확대보기
l 1
P
l 1
3P3/2
n=3
nl j
S
l0
n=1
1S1/2
다전자 원자의 에너지 레벨
다전자 원자의 경우
핵-전자와의 쿨롱 포텐셜
전자-전자 사이의 쿨롱 포텐셜
쉬뢰딩거 방정식의 해를 해석적으로 구하는 것은
불가능함.
근사적인 방법 + 컴퓨터를 이용한 계산
Hartree 가 근사적인 방법제시
다전자 원자의 에너지 레벨
Hartree 이론의 주요결과
다전자 원자경우도 에너지 양자상태는 수소원자와
같이 (n, l, ml, ms) 4개의 양자수로 나타낼 수 있다.
(n, l, ml, ms)의 허용 값들도 수소원자 경우와 같다.
에너지 레벨은 (n,l) 값에 의존한다.
수소원자 경우 n 값에만 의존했음.
에너지 레벨의 순서
주어진 n 에 대해서 l 값이 적을 수록 낮은 에너지를 가짐
주어진 l 에 대해서 n 값이 적을수록 낮은 에너지를 가짐
다전자 원자의 에너지 레벨 순서
6f
7p
5f
6d
7s
6p
4f
4d
3d
5d
6s
(n, l )
5p
5s
(6,1)
(5,2)
(4,3)
(6,0)
4p
4s
(5,1)
(4,2)
(5,0)
3p
3s
E
(4,1)
(3,2)
(4,0)
2p
2s
E
1s
n =1
K
2
L
3
M
4
5
O shells
6
(3,1)
(3,0)
(2,1)
(2,0)
(1,0)
다전자 원자의 에너지 레벨
에너지 레벨에 전자가 차지할 수 있는 최대허용 수가
존재한다.
Pauli’s Exclusion Principle (파울리의 베타원리)
주어진 (n, l, ml, ms)의 양자 상태 내에는 한 개의 전자만이 있을 수 있다.
즉 2개 이상의 전자는 있을 수 없다.
주어진 에너지 레벨에 들어갈 수 있는 전자의 최대
수
주어진 (n, l) 에너지 레벨의 축퇴(degenerate) 된
양자상태 수
ml: ( -l, -l+1, …….. , l-1, l)
2l+1 개
ms: ( -1/2, 1/2 )
2개
2(2l+1) 개
다전자 원자의 에너지 레벨
(n, l )
분광학적 기호
레벨(부껍질)별 최대
허용전자수
전자의
총수
(6,1)
(5,2)
(4,3)
(6,0)
6p
5d
4f
6s
6
10
14
2
86
80
70
56
(5,1)
(4,2)
(5,0)
5p
4d
5s
6
10
2
54
48
38
(4,1)
(3,2)
(4,0)
4p
3d
4s
6
10
2
36
30
20
(3,1)
(3,0)
3p
3s
6
2
18
12
(2,1)
(2,0)
(1,0)
2p
2s
1s
6
2
2
10
4
2
다전자 원자의 에너지 레벨
바닥상태:
최소에너지를 가지는 상태
낮은 에너지 레벨부터 전자가 차곡차곡 채워져 있는 상태
바닥상태의 배치(configuration)
예: 원자번호 10의 네온: 10Ne
10Ne:
1S22s22p6
19K:
1s22s22p63s22p64s1
예외
24Cr:
1S22s22p63s23p64s12d5
24Cr:
1S22s22p63s23p64s22d4
Transition metals
현대물리학(장준성 역) P304~305
다전자 원자의 스펙트럼
한개의 가전자를 가지는 원자 경우
Enl Z
예: Na (1s22s22p63s1)
한개의 들뜬 가전자의 전이가 스펙트럼 발생
수소와 비슷한 상황
2
eff
mee4
1
1
13.6
(eV), n 1,2,3
2
2
2
2
(4 o ) 2 n
(n nl )
h ni ,n f (Eni En f ), ni 4, n f 3
n ,n
i
f
13.6
1
1
2
2
h (n f n f l ) (ni nil )
Quantum defect nl of Na
30 =1.35 31 =0.85 32 =0.01
n 1
n2
n3
다전자 원자의 스펙트럼
Na 원자 스펙트럼
n2s1l j
2
P3/ 2
Term(항) 기호
선택규칙
l 1
j 0,1
파장(단위 0.1 nm)
http://raptor.physics.wisc.edu/download2.htm
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/atomic_number.htm
다전자 원자의 스펙트럼
두개의 가전자를 가지는 원자 경우
두 가전자 중 하나의 여기된 전자의 전이로 인한
스펙트럼 발생확률이 가장 높음
He: 1s2,
Hg: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s2
He 예: 1s12p1 -> 1s2
Hg 예: 6s17p1 -> 6s2
선택규칙에서 두 전자의 총 각운동량이 중요
다전자 원자의 스펙트럼
2개 전자의 각 운동량 합 규칙
스핀 각운동량 합
S' S1 S2 S3
S ' s' (s'1)
Term(항) 기호
s1
s2
2 s1
l j
s1
s2
s' s1 s2 , s1 s2 1, , s1 s2
궤도 각운동량 합
L' L1 L2 L3
l ' l1 l2 , l1 l2 1, , l1 l2
L' l ' (l '1)
총각운동량
J ' L'S'
J z' m'j '
J'
j' ( j'1)
j ' s l , s l 1, , s l
m j ' j, j 1, , j 1, j
다전자 원자의 스펙트럼
Term(항) 기호
He의 에너지 레벨
l1 0 s1 1 / 2, s2 1 / 2,
s' 0,1
s' 0
l ' l2
j ' 0 l2
s' 1
l ' 0 j' 1
l ' 1 j ' 0,1,2
l ' 2 j ' 1,2,3
파장(단위 nm)
s 0 l 0,1
j 0,1 (단, j ' 0 j ' 0 금지)
parahelium
orthhelium
2 s1
l j
다전자 원자의 스펙트럼
Term(항) 기호
Hg의 에너지 레벨
가전자 6s2 : He과 비슷한 상황
원자의 질량이 크기 때문에 LS결합
깨어짐
He의 경우 선택 규칙에 위배되는
전이들이 일어남
s 0
6p 6s (63P1 61S0 )
6s
2 s1
l j
원자의 선 스펙트럼 측정방법
Grating을 이용하는 방법
i 번째 선의 파장
d sin i mi , m 0,1,2,3
d: 격자간격
원자의 선 스펙트럼 측정방법
Prism을 이용하는 방법
2
1 3
2
ni
sin i
2 4
3
i
A
ni B
A
2
1 3
2
sin i B
2 4
3