Transcript 다전자 원자의 에너지 레벨

프로젝트 5. 원자의 스펙트럼
윤석수
프로젝트 내용

여러 원자의 선 스텍트럼 측정




원자의 스펙트럼을 측정하는 방법이해
가전자가 하나인 원자들의 선 스텍트럼 측정
가전자가 두개인 원자들의 선 스텍트럼 측정
측정된 선 스텍트럼을 양자 역학적으로 이해



에너지 레벨에 대해 이해
선택규칙에 대해 이해
원자의 에너지 레벨 도표와 비교하여 관측된 선이 어떤 특정
전이에서 일어난 것인지 찾기
Hydrogen
Helium
원자의 스펙트럼 예측

현대 물리학에서 원자의 스펙트럼을 어떻게
예측하는가?

보어의 원자모델




수소원자 선 스펙트럼(만) 예측
선 스펙트럼의 강도예측(x)
수소외 다른원자의 선 스펙트럼 이론적으로 예측하는
방법 제공(x)
양자역학

수소 뿐 아니라 다른 원자의 선 스펙트럼 및 강도를
예측하는 이론적 체계를 제공
수소원자내 전자의 에너지 레벨

수소원자내 전자의 에너지 레벨 예측

양자역학의 쉬뢰딩거 방정식
2

ˆ 
H
2  V
2me
ˆ   E
H

z
1 e2
V (r )  
4 0 r
쉬뢰딩거 방정식의 해


r

x
양자역학적 상태를 규정하는 양자수, 양자화된 에너지
고유치, 에너지 고유함수를 구할 수 있음
ml ( )  eiml
ˆ E
H
nlml
n nlml
nlm  Rnl (r )m ( )m
l
l
l
ml  Pml (cos )
Rnl (r )  er / na0 r / a0  Gnl (r / a0 )

mee4
1
n  1, 2, 3   0, 1, 2, 3,, n  1
En  
,
n

1
,
2
,
3

(4 o ) 2 2 2 n 2
ml  l ,l  1,,0, , l 1, l
y
수소원자의 선 스텍트럼

수소원자의 선 스텍트럼 이론

높은 에너지 레벨에 있는 전자가 낮은 에너지 레벨로
전이될 때 나오는 광자의 에너지
me e 4
1
1
En  


13
.
6
(eV), n  1,2,3
2
2
2
2
(4 o ) 2 n
n
E3
E2
E1

ni 레벨에서 nf 레벨로 전이될 때 나오는 빛의 진동수
h ni ,n f  (Eni  En f )
 n ,n
i
f
13.6  1
1 

 2
2

h  nf
ni 
c = 3.0x108 m/s
1
n ,n
i
f
13.6  1
1 

 2
2

hc  n f
ni 
h = 4.14x10-15 eVs
h 2,1
수소원자의 선 스텍트럼
0.0
-1.51 eV
-2.0
-3.4 eV
-4.0
n=4
n=3
n=2
En (eV)
-6.0
-8.0
-10.0
3>2
4>2
5>2
-12.0
-13.6 eV
-14.0
-16.0
n=1
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

수소원자내 전자 에너지의 정정(correction)
p  me c
 상대성 이론에 따른 운동에너지의 정정
2




p
1 p
p2
p4
2 2
2 4
2
   
1  
T  p c  me c  me c 
 3 2
2me  4  me c 
2me 8me c


2
4
2
4
ˆ
ˆ
ˆ
p
p
1
e
p
ˆ 
ˆ 
H
 3 2
H
o
2me 8me c
4 0 r
8me3c 2
2
2
2
2






1
e
1
e
1
2
ˆ 
ˆ  2
ˆ 
 H
 2 
H
H
o
o
o
2


2me c 
 4 o  r
 4 o  r 

Perturbation term
pˆ 2
1 e2
ˆ
Ho 

2me 4 0 r
ˆ
1e e 2 

pˆ  2me  H o 
4

r
0


2
2
2
2






pˆ
1
e
1
1
e
1


2
ˆ 
ˆ  H
ˆ 
 H
 2 
H

o
3 2
2


8me c
2me c 
 4 o  r r   4 o  r 

4
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

수소원자내 전자 에너지의 정정
전자는 핵이 만드는 전기장 경험 및 그 전기장 속에서
속도 v 로 운동함으로 인해 자기장도 경험
er
vE
E
B 2
3
4 0 r
c
 이 자기장 속에서 전자의 스핀 자기모멘트 μ가 가지는
포텐셜에너지 Vs
e
S: 전자의 spin 각 운동량
μ S
me
전자의 궤도 각운동량
1
e2
v  r  S L  me r v
V s  μ  B  
2 3
2
8 o me c r
e2
e2
2
2
2
V s
L

S

J

L

S
J  LS
2 2 3
2 2 3
8 o me c r
16 o me c r



수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

수소원자내 전자 에너지의 정정

두 정정을 고려한 전자의 Hamiltonian 연산자


4
2
ˆ
p
e
ˆ H
ˆ 
ˆ2 L
ˆ 2  Sˆ 2
H

J
o
8me3c 2 16 o me2c 2 r 3
2
2
2
2






1
e
1
e
1
e
ˆ H
ˆ 
ˆ 2  2
ˆ 
ˆ2 L
ˆ 2  Sˆ 2




H
H
H

J
o
o
o
 4  r
 4  r 2 16 m2c 2 r 3
2me c 2 

o 
o 
o e




Hr

Perturbation terms
Hs
에너지 레벨의 세분화 예측

1st order perturbation 이론 적용

작은 perturbation energy는 에너지 고유상태에는 변화를
주지 않는다는 가정

수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

에너지 레벨의 세분화 예측

에너지 고유상태에 대한 에너지 평균값
ˆ 
ˆ
ˆ
ˆ
E nlm   nlml H
nlml   nlml H o  H r  H s  nlml
l
ˆ 
H
o
nlml  En  nlml
Simultaneous
eigenstates
E nlml
n = 1,2,3,4…..
2
ˆ2 
L
o
nlml  l (l  1)  nlml
2
S  nlml  s ( s  1) 2  nlml
  0, 1, 2, 3,, n  1
s  1/ 2
Jˆ 2  nlml  J ( J  1) 2  nlml
j  l  s, l  s ( j  0)
Jˆ z  nlml  m J   nlml
m j   j, j  1, j  2,, j
n
3
 2  n3 / 4  l (l  1)  j ( j  1)
 En  En 2 
   En 2 

n  l  1/ 2 4 
n 
2l (l  1 / 2)(l  1)

2 
En  13.6
1
(eV)
n2

e2
4 o c

1
137
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

에너지 레벨의 세분화
E nlml
n
3
 2  n3 / 4  l (l  1)  j ( j  1)
 En  En 2 
   En 2 

n  l  1/ 2 4 
n 
2l (l  1 / 2)(l  1)

2 
j = l + 1/2
j = l - 1/2
E nlml
상대론적 에너지 분리
2 
n
3
 En  En 2 
 
n  j  1/ 2 4 
결과적 에너지 분리
LS결합적 에너지 분리
1
(eV)
n2
e2
1


4 o c 137
En  13.6
수소원자의 미세 스펙트럼(Fine Spectrum)

에너지 레벨의 세분화 (분광학적 표시기호)
E nlml
2 
n
3

 En  En 2 
 
n  j  1/ 2 4 
3S1/2
n=2
2S1/2
선택규칙
j  0,1
F
D
l 2 l 3
3D5/2
3D3/2
3P1/2
2P3/2
2P1/2
E=0.000045 eV
확대보기
l  1
P
l 1
3P3/2
n=3
nl j
S
l0
n=1
1S1/2
다전자 원자의 에너지 레벨

다전자 원자의 경우



핵-전자와의 쿨롱 포텐셜
전자-전자 사이의 쿨롱 포텐셜
쉬뢰딩거 방정식의 해를 해석적으로 구하는 것은
불가능함.


근사적인 방법 + 컴퓨터를 이용한 계산
Hartree 가 근사적인 방법제시
다전자 원자의 에너지 레벨

Hartree 이론의 주요결과



다전자 원자경우도 에너지 양자상태는 수소원자와
같이 (n, l, ml, ms) 4개의 양자수로 나타낼 수 있다.
(n, l, ml, ms)의 허용 값들도 수소원자 경우와 같다.
에너지 레벨은 (n,l) 값에 의존한다.


수소원자 경우 n 값에만 의존했음.
에너지 레벨의 순서


주어진 n 에 대해서 l 값이 적을 수록 낮은 에너지를 가짐
주어진 l 에 대해서 n 값이 적을수록 낮은 에너지를 가짐
다전자 원자의 에너지 레벨 순서
6f
7p
5f
6d
7s
6p
4f
4d
3d
5d
6s
(n, l )
5p
5s
(6,1)
(5,2)
(4,3)
(6,0)
4p
4s
(5,1)
(4,2)
(5,0)
3p
3s
E
(4,1)
(3,2)
(4,0)
2p
2s
E
1s
n =1
K
2
L
3
M
4
5
O shells
6
(3,1)
(3,0)
(2,1)
(2,0)
(1,0)
다전자 원자의 에너지 레벨


에너지 레벨에 전자가 차지할 수 있는 최대허용 수가
존재한다.
Pauli’s Exclusion Principle (파울리의 베타원리)
주어진 (n, l, ml, ms)의 양자 상태 내에는 한 개의 전자만이 있을 수 있다.
즉 2개 이상의 전자는 있을 수 없다.

주어진 에너지 레벨에 들어갈 수 있는 전자의 최대
수

주어진 (n, l) 에너지 레벨의 축퇴(degenerate) 된
양자상태 수
ml: ( -l, -l+1, …….. , l-1, l)
2l+1 개
ms: ( -1/2, 1/2 )
2개
2(2l+1) 개
다전자 원자의 에너지 레벨
(n, l )
분광학적 기호
레벨(부껍질)별 최대
허용전자수
전자의
총수
(6,1)
(5,2)
(4,3)
(6,0)
6p
5d
4f
6s
6
10
14
2
86
80
70
56
(5,1)
(4,2)
(5,0)
5p
4d
5s
6
10
2
54
48
38
(4,1)
(3,2)
(4,0)
4p
3d
4s
6
10
2
36
30
20
(3,1)
(3,0)
3p
3s
6
2
18
12
(2,1)
(2,0)
(1,0)
2p
2s
1s
6
2
2
10
4
2
다전자 원자의 에너지 레벨

바닥상태:

최소에너지를 가지는 상태


낮은 에너지 레벨부터 전자가 차곡차곡 채워져 있는 상태
바닥상태의 배치(configuration)

예: 원자번호 10의 네온: 10Ne
10Ne:
1S22s22p6
19K:
1s22s22p63s22p64s1
예외
24Cr:
1S22s22p63s23p64s12d5
24Cr:
1S22s22p63s23p64s22d4
Transition metals
현대물리학(장준성 역) P304~305
다전자 원자의 스펙트럼
한개의 가전자를 가지는 원자 경우




Enl  Z
예: Na (1s22s22p63s1)
한개의 들뜬 가전자의 전이가 스펙트럼 발생
수소와 비슷한 상황
2
eff
mee4
1
1
 13.6
(eV), n  1,2,3
2
2
2
2
(4 o ) 2 n
(n  nl )
h ni ,n f  (Eni  En f ), ni  4, n f  3
 n ,n
i
f

13.6 
1
1



2
2
h  (n f  n f l ) (ni  nil ) 
Quantum defect nl of Na
30 =1.35 31 =0.85 32 =0.01
n 1
n2
n3
다전자 원자의 스펙트럼

Na 원자 스펙트럼
n2s1l j
2
P3/ 2
Term(항) 기호
선택규칙
l  1
j  0,1
파장(단위 0.1 nm)
http://raptor.physics.wisc.edu/download2.htm
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/atomic_number.htm
다전자 원자의 스펙트럼

두개의 가전자를 가지는 원자 경우



두 가전자 중 하나의 여기된 전자의 전이로 인한
스펙트럼 발생확률이 가장 높음



He: 1s2,
Hg: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s2
He 예: 1s12p1 -> 1s2
Hg 예: 6s17p1 -> 6s2
선택규칙에서 두 전자의 총 각운동량이 중요
다전자 원자의 스펙트럼

2개 전자의 각 운동량 합 규칙

스핀 각운동량 합
S'  S1  S2  S3        
S '  s' (s'1)

Term(항) 기호
s1
s2
2 s1
l j
s1
s2
s'  s1  s2 , s1  s2 1,      , s1  s2
궤도 각운동량 합
L'  L1  L2  L3        
l '  l1  l2 , l1  l2 1,      , l1  l2
L'  l ' (l '1)

총각운동량
J '  L'S'
J z'  m'j '
J'
j' ( j'1)
j '  s  l  , s  l   1,      , s  l 
m j '   j, j  1,      , j 1, j
다전자 원자의 스펙트럼

Term(항) 기호
He의 에너지 레벨
l1  0 s1  1 / 2, s2  1 / 2,
s' 0,1
s'  0
l '  l2
j '  0  l2
s'  1
l '  0 j'  1
l '  1 j ' 0,1,2
l '  2 j ' 1,2,3
파장(단위 nm)
s   0 l   0,1
j  0,1 (단, j '  0  j '  0 금지)
parahelium
orthhelium
2 s1
l j
다전자 원자의 스펙트럼

Term(항) 기호
Hg의 에너지 레벨



가전자 6s2 : He과 비슷한 상황
원자의 질량이 크기 때문에 LS결합
깨어짐
He의 경우 선택 규칙에 위배되는
전이들이 일어남
s   0
6p  6s (63P1  61S0 )
6s
2 s1
l j
원자의 선 스펙트럼 측정방법

Grating을 이용하는 방법
i 번째 선의 파장
d sin i  mi , m  0,1,2,3
d: 격자간격
원자의 선 스펙트럼 측정방법

Prism을 이용하는 방법
2
1 3
 2
ni  
sin  i   
2 4
 3
i 
A

ni  B
A
2
1 3
 2
sin  i     B

2 4
 3