Transcript 수시2-Ⅱ 문제 1
수학과 임경수 교수 2009년 8월 22일 서강대학교 목 차 1. 출제방향, 주제 및 원칙 2. 자연계열 논술을 잘 보려면? 3. 기출 문제 분석 출제방향 논술에 필요한 능력 • 읽기와 쓰기능력, 분석과 통합 사고능력 수학의 기본 개념 이해 • 극한(연속성, 미분, 적분, 수열, 확률) • 수와 연산(닫힘, 연산자) • 공간 기하(삼각함수) 자연현상 관련 지문의 이해도 • 수식 이해 능력(비례-반비례, 증가-감소) • 과학기술 문장의 이해 능력 출제주제 수학(물리학)의 역사 지문을 통한 수리 개념 이해도 측정 • 수리적 해석 필요 현재 쟁점이 되는 자연현상의 이해도 측정 • 지구환경문제 • 우주(별)의 규칙성 정보 통신관련 공학 응용 • 컴퓨터, 비트, 정보량, 네트워크, 전송 출제소재 수학(물리학)의 역사 지구(오염, 대기, 바다, 동식물의 번식) 우주(태양계) 정보(영상, 소리, 통신, 바이러스) 출제원칙 고교 교육과정 내의 문제 논리적이고 종합적인 사고를 필요로 함 창의적이고 항상 새로운 문제 단편적인 암기내용 지양 서술형 응용문제 수리논리를 복합적으로 적용하여 다양한 해결책을 제 시할 수 있는 문제 자연계열 평가척도 읽기를 통한 문제 발견 및 해석 능력 통합적 문제와 관련한 추론 능력 창의적 사고력 체계적이고 유기적인 논리 기술 능력 문항별 반영비율 및 분량 계열 출제 분야 문제수 글자수 배점 자연과학/창의력 관련 2 제한없음 70% 자연 시간 120분 인문사회 관련 1 800~1000 30% 자연계열 논술을 잘 보려면? ① 제시문제를 먼저 읽고 이해 ② 제시문의 키 워드(힌트) 찾기 ③ 그래프나 도표를 활용한 답안 작성 ④ 반듯한 글씨체-성실성, 모범생 기출 문제 분석 난이도 높았던 2009학년도 문제 1) 수시2-Ⅰ 문제 1 2) 수시2-Ⅱ 문제 1 3) 수시2-Ⅱ 문제 2 기출 문제 1) 2009학년도 수시2-Ⅰ 문제 1 수시2-Ⅰ 문제 1 1. [다]를 이용하여, 두 사람이 실제로 만날 수 있는 확률 값에 대하여 논술하라. 2. [라]를 이용하여 표본 공간을 구성하고, 연필이 승강장 가장자리에 걸쳐 있을 확률 값에 대하여 논술하라. 3. 만약 제시문들의 내용을 서로 다른 곳에 살고 있는 세 친구의 만남으로 바꾸어 좀 더 일반적인 경우로 확장하 면, 그들 모두가 역에서 만날 수 있는 확률 값이 어떻게 달라지는지 적절한 표본 공간을 사용하여 구체적으로 논술하라. 수시2-Ⅰ 문제 1 (제시문) [가] 우리는 대부분의 경우 사람들과 사회적 관계 속에 서 일어나는 여러 가지 사건(현상)을 경험하며 살고 있다. 이러한 관계는 구성원 간의 약속을 통하여 만들어지곤 한다. 약속의 연속이 매일을 이룬다고 하여도 무방할 것 이다. 다음에 제시되는 이야기는 흔히 우리가 경험하는 것인데, 이를 과학적으로 접근하여, 호기심을 가질 만한 수치를 얻고 그 의미를 찾아보기로 하자. 진우와 서희는 친구 사이로서 서울의 서로 다른 지역 에 거주한다. 일요일인 오늘 진우는 서희에게 전화하여 지하철 신촌역 근처에 있는 서점에 들러 미적분학 교재 를 사기로 약속한다. 그들은 만남의 편리함 때문에 자주 이용하던 신촌역에서 만나기로 정한다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅰ 문제 1 (제시문) [나] 두 사람은 정오부터 오후 1시 사이에 신촌역 앞에 서 만나 같이 서점에 가기로 하였다. 지하철 도착시각표 를 모두 잘 알고 있는 그들은 기다리는 시간을 줄이기 위하여 먼저 도착한 사람이 도착한 직후부터 정확히 10 분만 기다린 후 서점으로 향하기로 정하였다. 서희는 약 속장소인 신촌역으로 가기 위하여 집 근처 역에서 지하 철을 기다리다가 아래 그림 Ⓐ와 같이 철로 변 승강장 가장자리에 걸쳐있는 연필 한 자루를 발견하였다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅰ 문제 1 (제시문) [다] 역에서 만난 두 사람은 그들이 만날 수 있었다는 사실에 놀랐다. 왜냐하면 서로 10분만 기다리기로 하였 기 때문에 역에서 만날 가능성이 낮을 것이라고 생각하 였기 때문이다. 두 사람은 그들이 실제로 만날 수 있을 확률을 계산해 보기로 하였다. 그들은 x-축, y-축을 진우, 서희가 각각 도착 가능한 시간 축으로 하는 표본 공간을 구성하고 둘이 만날 수 있는 경우를 생각해 보았다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅰ 문제 1 (제시문) [라] 서희가 승강장의 연필 모양을 진우에게 자세히 설 명하자, 두 사람은 모양 Ⓐ처럼 연필이 철로 변 승강장 가장자리에 걸쳐있을 가능성을 조사해 보기로 하였다. 이 경우 연필은 부피가 없는 길이 L인 단순 선분이라 하 고, 승강장의 너비를 D라고 하고, 철로 변 승강장 가장 자리 직선을 시초선으로 정하였다. ①, ②, ③의 예처럼, 연필의 중심으로부터 시초선까지의 거리와 연필과 시초 선이 이루는 각으로 이루어진 좌표들을 표본 공간으로 고려하였다. 단 연필의 중심은 항상 승강장에 놓인다고 가정한다. 수시2-Ⅰ 문제 1 1. [다]를 이용하여, 두 사람이 실제로 만날 수 있는 확률 값에 대하여 논술하라. 2. [라]를 이용하여 표본 공간을 구성하고, 연필이 승강장 가장자리에 걸쳐 있을 확률 값에 대하여 논술하라. 3. 만약 제시문들의 내용을 서로 다른 곳에 살고 있는 세 친구의 만남으로 바꾸어 좀 더 일반적인 경우로 확장하 면, 그들 모두가 역에서 만날 수 있는 확률 값이 어떻게 달라지는지 적절한 표본 공간을 사용하여 구체적으로 논술하라. 수시2-Ⅰ 문제 1-1 (예시답안) 지문 [다]로부터 가로 x-축과 세로 y축에 진우와 서희가 역앞에 도착하는 시각을 각각 표시하면, 직선 y=x는 두 사람이 동시에 만날 수 있는 시간 좌표를 나타낸다. 그들은 각기 10분 만 기다린다고 하였으므로, 오른쪽 표본 공간에서 빗금 친 부분이 10분 이내에 만날 수 있는 영역을 나타낸 다. 따라서 그 면적은 11/36이고 표 본 공간 전체의 면적이 1이므로 구하 는 확률은 11/36이다. 이 값은 약 1/3의 확률로 약속장소에서 만날 수 있음을 의미한다. 수시2-Ⅰ 문제 1-2 (예시답안) 제시문 [라]의 표본 공간을 표시하기 위하여 x-축을 동경, 0부터 p로 나타태고 y-축을 연필의 중심과 시초선(철로 변 승강장 끝 직선) 사이의 거리라고 하면, 연필이 떨어 진 사건은 (떨어진 연필 좌표) (동경, 연필의 중심과 시초선 사이 거리) 로 대응된 표본 공간을 생각한다. 이때 연필의 동경 q에 대하여 연필이 시초선에 걸쳐 있을 조건은 연필의 중심 선과 시초선 사이의 거리가 0부터 L/2 sinq이하일 때이 다. 즉 아래 표에서 q-축과 L/2 sinq 이 이루는 면적일 경우이다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅰ 문제 1-2 (예시답안) 따라서 연필이 철로 변 승강장 끝 부분에 걸릴 확률은 이다. 이 확률은 승강장 길이에 무관함을 알 수 있다. 수시2-Ⅰ 문제 1-3 (예시답안) 제시문 [다]로부터 가로 x-축, 깊이 y-축 그리고 높이 z축에 각각 세 친구의 도착시각을 나타낸다면, 표본 공간 은 세 개의 시간좌표로 이루어진 단위 입방체가 될 것이 다. 그리고 을 만족하는 경우 세 친구들은 역 앞에서 만날 수 있다. 즉 세 사람이 만날 수 있는 시간 좌표들은 오른쪽 단위 입방체와 y=x=z를 둘러싸는 육각기둥과 공통인 부분이다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅰ 문제 1-3 (예시답안) 위 그림에서 기둥의 중앙 부분의 단면은 정육각형이며, 입방체 내에서 육각기둥의 체적은 다음과 같은 삼각기둥 체적의 배이다. 삼각기둥은 다음 여섯 꼭지점 (1/6,0,1/6), (1,5/6,1), (0,0,1/6), (5/6,5/6,1), (0,0,0), (1,1,1), 을 갖는다. 따라서 육각기둥의 체적을 구하면 답이 된다. 기출 문제 2) 2009학년도 수시2-Ⅱ 문제 1 수시2-Ⅱ 문제 1 1. 정적분의 정의를 써서, 제시문 [나]의 밑줄 친 내용이 타 당함을 설명하라. 2. 제시문 [나]에서, 어떤 국가의 소득에 따른 인구분포가 인 경우로 조사되었고, 소득의 분포는 1에서 100까 지 사이에 있었다. 소득 분배의 관점에서 이 국가는 파 레토의 법칙을 만족하는지 혹은 아닌지를 논하라. 3. 위 <문항 2>에 나타난 국가의 지니 계수를 구하라(단, ln2≈0.7, ln5≈1.6을 이용할 것). 수시2-Ⅱ 문제 1 (제시문) [가] 이태리의 경제학자 파레토는 100여 년 전 당시 이 태리 인구의 20%가 전체 부(wealth)의 80% 이상을 소 유하고 있고, 다른 국가들의 경우도 비슷하다는 것을 관 찰하였다. 1992년 유엔의 한 보고서에서도 세계 인구의 20%가 전체 소득의 82.7%를 차지하고 있다고 발표하였 다. 분배의 불균형에 관한 이런 관찰은 이제 일반화되어 파레토의 법칙(혹은 80-20 법칙)이라는 이름으로 여러 맥락에서 사용된다. 즉, 전체 원인의 20%가 전체 결과의 80% 이상을 가져오는 상황에 대해 파레토의 법칙을 언 급한다. 예를 들어, 20%의 고객이 백화점 전체 매출의 80%를 차지하는 현상을 설명할 때 이 용어를 사용한다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 1 (제시문) [나] 여러 통계에 따르면, 한 국가에서의 소득에 따른 인 구분포는 (소득이 a와 b사이에 있는 사람들의 수) 로 추정할 수 있다. 여기서 p는 1보다 큰 상수이고, 사 람 수와 소득의 단위는 편의상 무시한다. 그러면, 소득 이 a와 b사이에 있는 사람들의 소득의 합은 와 같다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 1 (제시문) [다] 지니 계수는 국가 내에서의 소득의 불평등 정도를 나타내는 지표로 많이 이용된다. 이것은 0과 1 사이의 수로 표현되는데, 지니 계수가 낮을수록 더 평등하고 높 을수록 불평등한 분배를 의미한다. 대개의 자유시장경 제 국가들은 0.25에서 0.5 사이의 지니 계수를 가진다. 한 국가의 지니 계수를 설명하기 위해, [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 1 (제시문) 변수 a는 (소득 하위로부터의 누적인구)÷(전체인구), b 는 (소득 하위로부터의 누적소득)÷(전체 소득)을 나타낸 다고 하자. 소득분포함수 b= f(a)는 a에 해당하는 인구가 b에 해당하는 소득을 가진다는 것을 나타낸다. 예를 들 어 f(0.4)=0.3 이면, 소득 하위 40%의 인구가 전체 소득 의 30%를 가진다는 의미이다. 모든 사람의 소득이 동일 한 국가의 소득분포함수는 f(a)=a이다. 소득분포함수가 b=f(a) 인 국가의 지니 계수는, 소득의 완벽한 평등 상태 를 나타내는 b=a 직선과 곡선 b=f(a) 사이의 영역(오른 쪽 그림의 음영 부분)의 넓이의 두 배로 정의된다. 수시2-Ⅱ 문제 1 1. 정적분의 정의를 써서, 제시문 [나]의 밑줄 친 내용이 타 당함을 설명하라. 2. 제시문 [나]에서, 어떤 국가의 소득에 따른 인구분포가 인 경우로 조사되었고, 소득의 분포는 1에서 100까 지 사이에 있었다. 소득 분배의 관점에서 이 국가는 파 레토의 법칙을 만족하는지 혹은 아닌지를 논하라. 3. 위 <문항 2>에 나타난 국가의 지니 계수를 구하라(단, ln2≈0.7, ln5≈1.6을 이용할 것). 수시2-Ⅱ 문제 1-1 (예시답안) , 일 때, = 이다. 정수 k가 매우 크면 는 따라서 이고, 와 매우 가깝다고 볼 수 있다. = 는 와 사이의 사람들의 소득의 합과 가깝다. 따라서 그 극한값 있는 사람들의 소득의 합과 같다. 는 a와 b사이에 수시2-Ⅱ 문제 1-2 (예시답안) 소득이 1과 t 사이의 사람들의 수는 총 사람수는 소득이 1 과 t 사이의 사람들의 소득 합은 이고 총 소득은 [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 1-2 (예시답안) 소득이 하위로부터 80%인 사람(즉, 소득상위 20%인 사람) 에 해당하는 t 값을 구해 보자; 이면 . 그런데 이 t 값에 대해 소득하위 80% 사람들의 소득의 합은 전체소득의 20%를 넘는다. 그러면 소득상위 20% 사람들의 소득의 합은 전 체소득의 80%를 넘지 못하므로, 이 국가는 파레토의 법 칙이 성립하지 않는다 수시2-Ⅱ 문제 1-3 (예시답안) 위 문항 풀이에서, (소득이 1부터 t 까지의 인구)÷(전체 인구)를 a, (소득이 1 과 사이의 사람들의 소득 합)÷(전 체 소득)을 b라 하면, 변수 t 를 소거하면, 지니계수= 기출 문제 3) 2009학년도 수시2-Ⅱ 문제 2 수시2-Ⅱ 문제 2 1. 만약 세포막 단백질에 지시물질로서 형광물질을 마음껏 붙일 수 있고, 광표백이 일어날 수 있는 영역은 관찰할 수 있는 세포막 넓이에 비해 작으며, 세포막에서 나오는 형광을 현미경으로 관찰할 수 있다면, 광표백 현상을 응 용하여 세포막 단백질의 움직임을 어떻게 측정할 수 있 는지를 설명하라(단, 자외선에 의한 세포막 표면의 온도 변화는 무시한다). 2. [가]와 [라]의 제시문을 토대로 유럽의 연구팀이 얻은 관찰 결과를 추측해 보고, 온도 차이만으로 DNA의 이 동이 일어난다고 결론지을 수 있었던 이유를 논술하라. 수시2-Ⅱ 문제 2 (제시문) [가] 일반적으로 크기가 매우 작은 물질의 움직임을 관 찰하기란 기술적으로 쉽지 않다. 이 문제점을 해결할 수 있는 방법 중의 하나가 외부 자극에 의해 빛을 낼 수 있 는 물질을 지시물질(indicator)로 사용하는 것이다. 예를 들어, 관찰하고자 하는 대상물질에 외부 자극에 의해 빛 을 내는 물질을 붙일 수 있다고 가정하면 두 물질이 결합 된 결합체에서 나오는 빛의 움직임을 관찰함으로써 대상 물질의 움직임을 추정할 수 있다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 2 (제시문) [나] 분자가 빛을 흡수하고 들뜬 전자상태로 올라간 후 에 진동 에너지의 일부를 주위에 내준 다음에 파장이 좀 더 긴 빛을 내놓는 것을 형광이라고 하며, 그 분자를 형 광분자(형광물질)라고 한다. 형광물질은 지시물질로 널 리 사용되고 있다. 그러나 우리가 형광물질에 외부 자극 인 자외선을 쪼여줄 때, 그 세기가 크면, 쪼여준 시간이 지나면서 더 이상 형광물질이 형광을 내지 못하게 되어 쪼여준 부분이 어두워진다. 이런 현상을 광표백 (photobleaching)이라고 한다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 2 (제시문) [다] 모든 세포는 세포막을 가지고 있고, 그림에서 보는 바와 같이 세포막 구조의 분자적 주성분은 지질과 단백 질이다. 세포막 표면에서의 분자의 움직임은 일반적으로 유동 모자이크 모형(fluid mosaic model)으로 설명된다. 이 모형에 따르면, 세포막 단백질들은 지질 이분자층 사 이를 떠돌면서 세포막 평면을 따라 자유롭게 움직일 수 있다. 하지만 세포막 단백질들의 이런 움직임을 실험으 로 관찰하기는 어렵다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 2 (제시문) [라] 우리는 물질이 농도 차이에 의해서 움직인다는 사 실을 방안에서의 냄새의 확산 등을 통해 경험적으로 잘 알고 있는 반면에, 주변 온도의 차이에 의해서도 (자연대 류에 의하지 않고) 이동할 수도 있다는 점은 잘 인식하지 못한다. 실제로 특정 분자 주변의 온도의 차이에 의한 분 자의 움직임을 실험으로 관찰하기는 매우 어렵다. 이러 한 원인 중 하나는 우리가 관찰 대상 분자가 담긴 수용액 내에 온도의 차이를 유발시키면, 물의 밀도 차이가 발생 하게 되고 중력에 의한 자연대류가 생기기 때문이다. 자 연대류에 의해서도 분자이동이 일어나므로 원래 관찰하 고자 했던 온도 차이만에 의한 분자의 이동을 관찰하기 어렵게 된다 [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 2 (제시문) 최근 유럽의 한 연구팀은 다음과 같은 실험을 하였다. (1) 두 개의 투명한 유리슬라이드 사이에 형광물질을 붙인 DNA가 담긴 수용액을 넣어 수용액 층의 두께를 매우 얇 게 한 후에, (2) 수용액 내의 온도 차이를 유발하기 위해 일부 지역에 적외선(열선)을 쪼인 다음에, (3) 현미경을 이용하여 전체 유리슬라이드 영역에 걸쳐 약한 자외선을 쪼여주면서 형광물질이 내는 빛의 세기를 분석하였다. 그 관찰된 결과를 토대로 이들이 사용한 DNA는 온도 차이 에 의해서 이동한다는 결론을 내렸다. 수시2-Ⅱ 문제 2 1. 만약 세포막 단백질에 지시물질로서 형광물질을 마음껏 붙일 수 있고, 광표백이 일어날 수 있는 영역은 관찰할 수 있는 세포막 넓이에 비해 작으며, 세포막에서 나오는 형광을 현미경으로 관찰할 수 있다면, 광표백 현상을 응 용하여 세포막 단백질의 움직임을 어떻게 측정할 수 있 는지를 설명하라(단, 자외선에 의한 세포막 표면의 온도 변화는 무시한다). 2. [가]와 [라]의 제시문을 토대로 유럽의 연구팀이 얻은 관찰 결과를 추측해 보고, 온도 차이만으로 DNA의 이 동이 일어난다고 결론지을 수 있었던 이유를 논술하라. 수시2-Ⅱ 문제 2-1 (예시답안) 눈에 보이지 않는 세포막 단백질의 움직임은 그 단백질 에 형광물질(지시물질)을 붙인 다음 거기(단백질과 형광 물질의 결합체)에서 나오는 빛(형광)을 분석하면 추정 가 능하다. 광표백을 시킬 수 있는 영역이 관찰할 수 있는 세포막넓이보다 작기 때문에, 관찰하고 있는 세포막 영 역중의 일부영역만을 의도적으로 광표백을 시키면, 광표 백된 영역과 주변 영역의 밝기의 차이가 생긴다. 유동 모 자이크 모형에 의하면 세포막 단백질들이 세포막 표면을 자유롭게 이동할 수 있기 때문에, 이로 인해 광표백된 영 역으로, 주변 광표백되지 않은 단백질의 자유로운 이동 이 일어날 것이고, 그 영역의 밝기가 점점 밝아지게 될 것이다. 이를 통해 세포막 단백질의 움직임을 측정할 수 있다. 수시2-Ⅱ 문제 2-2 (예시답안) DNA의 온도에 의한 움직임은 형광물질을 지시물질로 이용하고 투명한 유리슬라이드를 사용하면 시각적으로 형광물질에서 나오는 빛을 분석하여 실험으로 관찰할 수 있다. 초기에는 형광물질을 붙인 DNA가 수용액내에 균일하게 분포되어 유리슬라이드 전체 영역에서의 밝기 의 차이가 없다가 균일하게 분포되지 않으면 밝기의 차 이가 생길 것이다. 같은 원리로 형광물질을 붙인 DNA 가 온도 차이에 의해서 움직인다면 적외선에 의해 유도 된 수용액내의 온도차에 의해 불균일하게 분포될 것이 고, 이때 온도가 높은 영역과 그 주변 영역의 밝기 차이 가 생겼을 것이다. 이를 토대로 연구팀은 사용된 DNA 가 온도 차이에 의해서 이동한다고 결론지었을 것이다. [다음페이지 계속] 수시2-Ⅱ 문제 2-2 (예시답안) 연구팀이 온도 차이에 의한 DNA의 이동만을 성공적으로 관찰할 수 있었던 이유는, 균일하지 않는 가열에 따른 자 연대류의 가능성을 줄이기 위해 (두 개의 투명한 유리슬 라이드를 사용하여) 수용액 층의 두께를 매우 작게 했다 는 점이다. 따라서 이 경우 자연대류 가능성을 최대한 배 제하고 순수하게 온도 차이에 의한 DNA의 이동만을 실 험적으로 관찰할 수 있다. 서강대에서 만나요. 감사합니다.