Transcript (2) 회전체의 겉넓이

1. 곡선의 길이
(1) 곡선의 길이
시각 t에서 x  x(t ), y  y (t )로 주어지는 평면상의 곡선에대해
두 점 Pt ( x(t ), y (t ))와 Pt  t ( x(t  t ), y (t  t ))을 잇는
선분의 길이는 Pt Pt  t  {x(t  t )  x(t )}2  { y (t  t )  y (t )}2
평균값 정리에 의해
x(t  t )  x(t )  x (t1* )t 
*
*
 가 성립하는 t1 , t 2가 (t, t  t )에 존재한다.
*
y (t  t )  y (t )  y (t 2 )t 
즉, Pt Pt  t  {x(t1* )}2  { y (t 2* )}2 t 이고 t  0일때 t1*  t , t 2*  t 이므로
곡선의길이 L  lim  {x(t1* )}2  { y (t 2* )}2 t  a {x(t )}2  { y (t )}2 dt
b
t 0
(2) Cycloid의 길이
문제 그림과 같이 반지름의 길이가 1이고
x축과 원점O에서 접하는 원을 x축을 따라
굴릴때, t  0 에서 원점O와 일치하는 원의 둘레 위의 한 점이 그리는
자취의 길이를 구해보자. (이 자취를 Cycloid 라 한다.)
풀이
그림과 같이 구하고자 하는 자취 위의 점( x(t ), y (t ))는
x(t )  t  sin t , y  1  cos t (0  t  2 ) 로 주어진다.
따라서, 구하고자 하는 곡선의 길이 L 은
2
L  0
{x (t )}2  { y (t )}2 dt 에
x(t )  1  cos t , y (t )  sin t 를 대입하면
2
{1  cos t}2  {sin t}2 dt
2
2(1  cos t )dt  0
L  0
 0
2
t
4 sin 2 dt
2
2
t
t

 0 2 sin dt   4 cos   8
2
20

2
2. 회전체의 겉넓이
(1) 준비 예제
문제
아래그림과같이윗면의반지름의길이가 a,
아랫면의반지름의길이가 b, 모선의길이가 L인
직원뿔대의옆넓이는 L(a  b) 임을 보여라.
힌트
그림으로부터 2b  (r  L) , 2a  r
(2) 회전체의 겉넓이
dy
가 연속인 함수라 하자.
dx
이 곡선을 x축을 중심으로 회전할 때 생기는 회전체의 겉넓이를 구해 보자.
함수 y  f ( x)  0는 구간 [ a, b] 에서 미분가능하고
왼쪽 그림에서
y  f ( x  x)  f ( x) 로 놓으면
L
(x) 2  (y ) 2 이므로
구하는 회전체의겉넓이S는
S  lim   { f ( x)  f ( x  x)} (x) 2  (y ) 2
x 0
2
 dy 
 lim   ( y  y y ) 1    x
x 0
 dx 
2
 dy 
 a 2y 1    dx
 dx 
b
 2 a f ( x) 1  { f ( x)}2 dx
b
(3) 구의 겉넓이
문제
반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이를 알아보자.
풀이
그림과 같이 원 y  r  x  (r  x ) 을
x축을 중심으로 회전시켜 생기는
회전체의 겉넓이
2
2
2
2
1
2
2
 dy 
S  4 0 y 1    dx 를 구하면 된다.
 dx 
r
1

dy
1 2
2
2
 (r  x ) (2 x) 
dx 2
 S  4 0
r
 4 0
r
r x
2
2
r 2  x2
 4 0 rdx  4r 2
r
x
r 2  x2
x2
1 2
dx
r  x2
r
dx
2
2
r x
(4) Torus(or “Doughnut”)의 겉넓이
문제
힌트
그림과같이반지름의길이가 a인 원을
원의중심으로부터b(b  a) 만큼떨어진
같은 평면상의x축을 중심으로회전했을때
생기는회전체의겉넓이는?
그림에서원의방정식은 x 2  ( y  b) 2  a 2이다.
두 곡선 f ( x)  b  a 2  x 2 , g ( x)  b  a 2  x 2 에대해
f ( x)를 회전시킨회전체의겉넓이를 S1 ,
g ( x)를 회전시킨회전체의겉넓이를 S 2라 하면
구하고자하는회전체의넓이는 S1  S 2이다.
3. 정적분의 물리학에의 응용 : 일(Work)
(1) 일(Work)의 정의
물체를 일정한 크기의 힘 F ( force)로 일직선 방향으로 d만큼 움직일 때,
힘이 한 일 W는 다음과 같이 정의한다.
W  Fd
일반적으로, 물체를 x축을 따라 x  a에서 x  b까지
변하는 힘 F ( x)로 움직일 때,
구간 [a, b] 사이의 임의의 점x 에서
근처의 점 x  x 까지 한 일의 양은 F ( x)x 이므로
lim  F ( x)x 가 바로 구간 [a, b] 에서 한 일 W가 된다.
x 0
정적분의 정의에 의하여
W  a F ( x)dx
b
(2) 예제
문제
반지름의 길이가 r인 반구 모양의 용기에 물이 가득 채워져 있을때
이 용기의 물 전체를 용기 상단으로부터 높이 h만큼 끌어올리는데 필요한
일의 양을 알아보자.
풀이
그림과 같이 용기 상단의 중심을 O라 하고
연직 아래방향을 x축으로 잡자.
0  x  r인임의의 위치 x에서 폭이 x인 소구간을 생각하면
이 사이의 물의 부피는  (r 2  x 2 )x 이다.
임의의 위치 x에서 높이 h만큼 끌어올릴때의
거리는 x  h이므로, 구하는 일 W는
r
W  lim  (h  x) (r 2  x 2 )x  0  (h  x)(r 2  x 2 )dx
r
x 0 x 0
  0 (hr 2  r 2 x  hx 2  x 3 )dx
r
r
1
1
1 

  hr 2 x  r 2 x 2  hx 3  x 4 
2
3
4 0

1 
1 
2
2
   hr 3  r 4   r 3  h  r 
4 
4 
3
3
단원의 정리
•
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•
•
•
정적분을 이용한 곡선의 길이
곡선의 길이 예제
정적분을 이용한 회전체의 겉넓이
회전체의 겉넓이 예제
정적분의 물리학에의 응용 : 일(Work)