Transcript 응력과_변형률

제 4 장 응력과 변형률
차례
1. 힘과 응력
2. 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력
3. 주응력
4. Mohr 원의 활용
5. 변형률
6. 변형률-변위 관계
7. 변형률성분의 좌표변환과 변형 측정
8. 3차원 변형률 성분과 체적변형률
9. 응력-변형률 관계
10. 극좌표에서 표현된 응력성분
Page  1
4.1 힘과 응력
F
F
F’
F’
암석의 변형 발생
F : 외력 (external force)
F’ : 반력 (reaction)
Page  2
힘 (Force)
•
•
•
•
정지하고 있는 물체의 이동
움직이는 물체의 속도변화
물체의 형태 변형
단위 : N (newton, kg X m/s2), kgf (kg X 9.8m/s2)
F(힘)
응력 (Stress)
A(면적)
• 단위면적 당 힘의 세기
단위 : N/m2 = Pa (파스칼)
• 법선응력(Normal stress)
: 면에 법선으로 작용하는 응력 (압축응력, 인장응력)
 (응력) 
• 전단응력(Shear stress)
: 면에 수평으로 작용하는 응력
F
A
F
압축
인장
전단
Page  3
F
b
A

a
b
F sin 
a
F cos 
F 

b
b
A / cos 
F
법선응력  
a
F
A
법선응력  
b
전단응력  
b
F cos 
F
 cos 2    a cos 2 
A / cos  A
F sin 
F
 sin cos    a sin cos 
A / cos  A
Page  4
[예제] 바닥면에 작용하는 법선응력과 전단응력
블록의 자중 = 단위중량(
  g
8m
16m
3m
W cos30˚
30˚
W
블록의 단위중량 : 2700kg/m3
 )× 부피
= 2700 kg/m3 × 9.81 m/sec2
≈ 26.487 kN/m3
W = 26.487 kN/m3 × (16m ×8m ×3m)
≈ 10.171 MN
A = 16m ×8m = 128m2
10.171MN  cos 30

 68.82 kPa
2
128 m
10.171MN  sin 30

 39.73 kPa
2
128 m
Page  5
[예제] 원주형 시험편의 수직응력과 전단응력
50 ton
A
50 cos 30
As
50 sin 30

30
50 ton
직경 : 54mm
A  d 2 / 4   (5.4cm) 2 / 4  22.90cm 2
As  A / cos 30  22.90cm 2 / cos 30  26.44cm 2
50 103 kg  cos 30  9.81m / sec 2

 160.7MPa
4
2
26.44 10 m
50 103 kg  sin 30  9.81m / sec 2

 92.8MPa
4
2
26.44 10 m
Page  6
4.2 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력
응력표기법
일반적으로 응력을 표현하기 위해서는 면과 힘의 방향이 필요함
 ij
 yx
y
x방향의 면
x 방향의 힘
i 방향의 면
j 방향의 힘
 xy
 xx
x
 yy
y
y 방향의 면
 zz
z
 zx  zy
yz
 xz
 yy
 xy  yx

 xy
 xx
xx
x
x
y
Page  7
 yy
 yx
y
 xy
 xx
x
 zz
z
 zx
 xz
 xx
 zy
 xy
 yz
 yx
 yy
y
x
X면에 작용하는 응력성분 :  xx ,
 xy
y면에 작용하는 응력성분 :  yx ,
 yy
[2×2 행렬]
 xx  yx 
 

  xy yy 
X면에 작용하는 응력성분 :
 xx ,  xy ,  xz
y면에 작용하는 응력성분 :
 yx ,  yy ,  yz
z면에 작용하는 응력성분 :
 zx ,  zy ,  zz
 xx  xy  xz

[3×3 행렬]     yx  yy  yz
  
 zx zy zz





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육면체를 평형상태라 가정하면 모멘트 평형조건을 만족함
[모멘트 : monent]
d
M=Fd [N·m]
F
F:힘
d : 모멘트 팔
x
z
 zy
y
 yz
z
y
x
y축에 수직한 면 - 전단력 :  yz zx
y
모멘트팔 :
2
z축에 수직한 면 - 전단력 :  zy xy
모멘트팔 :
z
2
Page  9
모멘트 평형조건
 y 
 z 
 y 
 z 
 yz zx    zy xy    yz zx    zy xy   0
 2 
 2 
 2 
 2 
  yz   zy
x축과 z축에 각각 수직한 면 :  zx   xz
x축과 y축에 각각 수직한 면 :  xy   yz
 xx  xy  xz

   xy  yy  yz
  
 xz yz zz





Page  9
응력부호
Y(+)
음의 방향의 면
양의 방향의 면
양의 방향의 힘
음의 방향의 힘
(-)
X(+)
(-)
법선응력
인장응력
압축응력
y
y
면의 방향 (-)
면의 방향 (+)
힘의 방향 (+)
힘의 방향 (-)
 ( xx )   xx
x ( xx )   xx
면의 방향 (-)
면의 방향 (+)
힘의 방향 (-)
힘의 방향 (+)
 ( xx )   xx
x
 xx
Page  10
전단응력
y
y
면의 방향 (-)
면의 방향 (+)
면의 방향 (-)
면의 방향 (+)
힘의 방향 (+)
힘의 방향 (-)
힘의 방향 (-)
힘의 방향 (+)
 ( xy )   xy
x
( xy )   xy
 ( xy )   xy
x
면의 방향 (+)
면의 방향 (+)
힘의 방향 (+)
힘의 방향 (-)
 yx
 ( yx )   yx
y
 xy
y
면의 방향 (-)
면의 방향 (-)
힘의 방향 (-)
힘의 방향 (+)
x  ( yx )   yx
x
(  yx )    yx
Page  11
경사면에 작용하는 법선응력
 yy
y
 yx B
C
E
 xy
E
 xx
 xx

O
D A
 xy
N
S
nn

O
x
ns
 yx D
 yy
 nn ( DE )   xx ( EO) cos    yx ( DO ) cos    yy (OD ) sin    xy ( EO) sin 
OE  DE cos  , OD  DE sin  대입
 ( DE )   ( DE ) cos    ( DE ) sin   2 ( DE ) cos  sin 
2
nn
2
xx
yy
xy
   cos    sin   2 cos  sin 
2
nn
 
nn
2
xx
yy
 
xx
2
yy

xy
 
xx
2
yy
cos 2   xy sin 2
삼각함수 관계식 이용
cos 2   (1  cos 2 ) / 2, sin 2   (1  cos 2 ) / 2
sin 2  2 sin  cos 
Page  12
경사면에 작용하는 전단응력`
E
N
S
nn
 xx
 xy

ns
 yx
O
D
 yy
 ns ( DE )   xx ( EO) sin    yx ( DO ) sin    yy ( DO ) cos    xy ( EO) cos 
OE  DE cos  , OD  DE sin  대입
 ns ( DE )   xx ( DE ) cos  sin    yy ( DE ) sin  cos    xy ( DE ) cos 2    xy ( DE ) sin 2 
  (   ) cos  sin    (cos   sin  )
2
ns
 
ns
xx
yy
 
xx
2
xy
yy
sin 2   xy cos 2
2
삼각함수 관계식 이용
cos 2   (1  cos 2 ) / 2, sin 2   (1  cos 2 ) / 2
sin 2  2 sin  cos 
Page  13
4.3 주응력
면 AB에 작용하는 법선응력과 전단응력
8 MPa
y
 
A
 
xx
nn
yy
2

 
xx
2
yy
cos 2   xy sin 2
5 MPa
50˚
B
3 MPa
 nn 
(5)  (8) (5)  (8)

cos 100  (3) sin 100   9.71 (MPa )
2
2
x
 
ns
 ns  
 
xx
2
yy
sin 2   xy cos 2
(5)  (8)
sin 100  (3) cos100  0.96 (MPa )
2
Page  14
8 MPa
y
경사각  의 변화에 따른 법선응력과 전단응력
A
5 MPa
50˚
B
3 MPa
x
ns   0.96 (MPa )
nn   9.71 (MPa )

Page  15
경사각  의 변화에 따른 법선응력과 전단응력
90˚
ns  0 ( MPa)

nn   9.854 ( MPa)
 3.146 ( MPa )
전단응력이 0 이 되는 경사각  가 2개 존재하며 서로 90˚의 위상차를 가짐

전단응력이 0 이 되는 면을 주응력면(principal plane) 이라 함
주응력면에 작용하는 법선응력을 주응력(principal stress) 이라 함
Page  16
• 주응력면 (principal plane) : 전단응력이 0이 되는 면
• 주응력 (principal stress) : 주응력면에 작용하는 법선응력
– 최대주응력 (major principal stress,  p)1
– 최소주응력 (minor principal stress,  p 2)

전단응력이 0 이 되는 경사각 
 ns  
 xx   yy
2
sin 2   xy cos 2  0
2 xy
tan 2 
 xx   yy
주응력 σp1, σp2

p 1, p 2

 
xx
2
  xx   yy 
   2 xy
 
2


2
yy
Page  17
4.4 Mohr 원의 활용
• 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력을 산정하는 도해적 방법
• Mohr 원 작도를 위한 부호규약
Normal stress
Shear stress
Page  18
Mohr 원 작도 순서

1. Mohr 평면 (
   좌표평면) 작도
 yy
y
 yx
 xy
 xx
x
 xx   yy

Page  19
2. x면에 작용하는 법선응력(  xx)과 전단응력(  xy)을 좌표값으로
하는 점 X를 평면에 표시
 yy

y
 yx
 xy
 xx
x
 xx
 xy

X
Page  20
3. y면에 작용하는 법선응력(  yy)과 전단응력(  yx)을 좌표값으로
하는 점 Y를 평면에 표시
 yy

 yx
y
 yx
 xy
 xx
Y
x
 xx

 yy
 xy
X
Page  21
4. 점 X와 점 Y를 연결하는 선분을 지름으로 하는 원 작도
 yy

 yx
y
 yx
 xy
 xx
Y
x
R
 xx
 yy
 xy

X
Page  22

Y
 yx
R
M
 xx
 yy
 xy

X
 ( xx   yy ) 
, 0
• 원의 중심 M  
2


• 반지름 R 
( xx   yy ) 2
4
 2xy
Page  23
Mohr 원의 의미
y
B
 xy

Y
R
M
O
 xx
 yy
 xy
 yx
C
E

 yx
 yy
 xx
x
D A

X
• 점 X와 점 Y는 각각 x면과 y면의 응력상태를 나타냄
• x면과 y면의 방향은 90˚차이가 있으나 점 X와 점 Y의 위치는 180˚ 차이를 보임
• Mohr 원에서 특정면의 응력상태는 기준면으로 부터 회전한 각의 2배만큼 회전된
점으로 나타남
Page  24
임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력
y

Y´
 xx
M
90  yy
B
 xy

R
O
 yx
C
E
Y
 yx
 yy


D A
x

2 p
2
 xy
O
 xx
X´
X
X'  [ ,  ]
  OM  R cos( 2 p  2 )

 xx   yy
2

 xx   yy
2
cos 2   xy sin 2
  R sin( 2 p  2 )

 xx   yy
2
sin 2   xy sin 2
Page  25
주응력
 yy
y

Y
 yx
M

 xx
 yy
Q
 xy
B
 xy

R
O
 yx
C
E
O
 xx
D A
x
P
X
점 P, 점 Q는 주응력 상태를 나타냄
 p1,p 2  OM  R

 xx   yy
2
  xx   yy 
  2 xy
 
2


2
Page  26
4.5 변형률
 힘의 작용으로 야기된 물체의 변형거동을 나타내는 정량적 표현
 변위의 종류
Y
Y
x
x
translation + rigid body rotation
translation
Y
Y
x
translation + deformation
x
translation + rigid body rotation
+ deformation
Page  27
• 수직변형률 ( ε)
- 법선응력 ( σ)의 작용으로 발생
- 법선응력이 작용하는 단면의 법선 방향으로 발생된 단위 길이당 변형
- 인장수직변형률 : (+) , 압축수직변형률 : (-)
L
Lo


L
L  L o L


Lo
L0
L o : 초기길이
L : σ의 작용으로 발생한 길이변화
Page  28
•
전단변형률 (  ) : 전단응력 (τ)에 의해 발생
– 전단응력이 작용하기 전 서로 직교하던 두 선분 사이에서 전단응력의
작용으로 발생한 각도변화량
y
x


x

 tan   
H
H
x
Page  29
[예제] 암석시험편에서 발생된 축방향 변형률 산정
– 원주형 암석시험편의 초기 길이 : 12cm
– 축방향 하중을 가한 후 길이 : 11.995cm
F
12cm
11.995cm
L  11.995  12.0  0.005(cm)

L  0.005cm

 0.417 10 3
L0
12.0cm
Page  30
4.6 변형률-변위관계
D´
C´
   / yy
y
D
C
y

A´
B´
x
A
u
B
u : x 방향 변위
 : y 방향 변위
u  u / x x
x
Normal deformation
x 방향 normal strain
y 방향 normal strain
A' B' AB x  (u / x)x   x u


xx
AB
x
x
A' D' AD y  (v / y )y   y v
 yy 


AD
y
y
 
Page  31
u / yy
y

D
D´
x
C´
C
y
B´
y
v / x x

A´
A
x
B
x
Shear deformation
shear strain
      tan   tan 
xy
(v / x)x (u / y)y v u


 
x
y
x y
Page  32
4.7 변형률성분의 좌표변환과 변형률 측정
y
y´
 yy
y  1
 y'y'
y '  1
( / 2)   xy
(  / 2)   x ' y '
 x 'x '
x' 1
x  1
 xx
x
x-y 좌표계

x 'x '


 
xx
yy

x´
x’-y’ 좌표계
 
xx
yy
cos 2   xy sin 2
2
2
 
 
 y 'y '  xx yy  xx yy cos 2   xy sin 2
2
2
 x 'y '
 xx   yy
 xy

sin 2  cos 2
2
2
2
Page  33
• 변형률의 측정
– 변형률 게이지 (strain gage) : 수직변형률 측정
– 전단변형률 : 여러 방향으로 측정된 수직변형률을 이용하여 간접적으로 측정
Page  34
4.8 3차원 변형률 성분과 체적변형률
3차원(x-y-z 직교좌표계)에서 한점의 변형률은 6개의 성분으로 정의됨
u
v
v u
,  yy  ,  xy  
x
y
x y
– x - y 평면의 변형률 성분
 xx 
– y - x 평면의 변형률 성분
v
w
w v
 yy  ,  zz 
,  yz 

y
z
y z
– z - x 평면의 변형률 성분
w
u
w u
 zz 
,  xx 
,  zx 

z
x
x z
여기서 u, , w는 각각 x, y, z 방향의 변위
Page 35
• 체적변형률 (volumetric strain, e)
- 응력이 작용하기 전의 초기 부피에 대한 부피변화량의 비
- 암석의 변형거동을 기술할 때 사용되는 변형률 개념
z  z
z
y
x
Vo  xyz
e

y  y
x  x
Vo  (x  x)( y  y)(z  z )
V V  V0 (x  x)( y  y )( z  z )  xyz


Vo
Vo
xyz
xyz (1   xx )(1   yy )(1   zz )  xyz
xyz
 (1   xx )(1   yy )(1   zz )  1   xx   yy   zz
Page  36
4.9 응력-변형률 관계
Hooke 법칙
탄성 한계 내에서 변형률은 응력에 비례한다는 법칙
Stress

E


Strain
l
lo
y
d

do
x
  E 
E
= 탄성계수 (Elastic Modulus)
영률 (Young’s Modulus)
l l
 yy  o
lo
 xx 
do  d
do
 xx

 : 포아송비(Poisson’s ratio)
 yy
Page  37
 zz
 xx
 xx
z
y
x
x-축 방향으로 법선응력
 xx
 xx 
E
 yy
 xx가 작용할 경우
 xx
 yy  
E
 xx
 zz  
E
Page  38
 zz
 xx
z
y
x
 yy
x-축, y-축, z-축 방향으로 동시에 법선응력이 가해질 경우
수직변형률
1
 xx  ( xx  yy  zz )
E
1
 yy  ( yy  zz  xx )
E
1
 zz  ( zz  xx  yy )
E
전단변형률
 
xy

xy
G
,  yz 

yz
G
,  zx 

zx
G
G : 전단탄성계수 (shear modulus)
E
G
2(1  )
Page  39
평면응력조건
•
두께 방향으로 응력성분들의 변화를 무시할 수 있을 경우 응력성분들의
변화는 두께방향 축과 수직한 평면에서만 발생하는 2차원 문제가 됨
y, 
x, u
원형공동을 갖는 평판
1
 xx  ( xx  yy )
E
1
 yy  ( yy  xx )
E
 
zz

E
얇은 디스크
 
xy

xy
G
( yy   xx )
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평면변형률조건
•
임의 평면에 수직한 방향의 변형률 변화가 없다고 가정할 수 있을 경우 적용
y, 
x, u
댐 단면
 zz  0
  0
yz
xz
 zz  ( xx   yy )
터널 단면
1 
 xx 
[(1  ) xx   yy ]
E
1 
 yy 
[(1  ) yy   xx ]
E
 xy
2(1  )
 xy 
 xy 
E
G
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4.10 극좌표에서 표현된 응력성분
y
P ( x, y )
P (r , )
y
r

o
x
직교좌표계
x  r cos ,
r 2  x2  y2 ,
o
x
극좌표계
y  r sin 
 y
  tan 1  
x
Page  42
x
 r
r

o
r
 rr
 rr
r
r

r
1
( rr   )
E
1
   (   rr )
E

 r  r
G
u
rr
r
u 1 v
   
r r 
1 u v v
 r 
 
r  r r
 
 / 2

- 평면응력조건의 경우
 rr 
u : 반경방향 변위
v : θ방향 변위
y
- 평면변형률 조건의 경우
1 
[(1  ) rr   ]
E
1 
  
[(1  )   rr ]
E
 r
 r 
G
 rr 
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