Transcript 문_2 - Metal Forming CAE Lab.

연속체역학 입문 II
- 고체역학부문 -
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
고유치 문제로 주응력과 주응력축 구하기
 예제 8 의 문제를 고유치 문제를 이용하여 주응력과 주응력의 방향을 구하라
 고유치 문제와 고유치(주응력)의 계산
80  
 n1 
80 60   n1 



n 
60 20  n 
60

 2
 2
60
0
20  
 1  117.1
 2  17.1

 고유벡터(주응력의 방향)의 계산
o
31.7
0.8506
i )  1  117.1 일때
  tan 1
60
80 -117.1
  n1  0 
     37.1n1  60n2  0


 60

20  117.1  n2  0 

n 
n 
 1
 n2 
n
n 
 1
 n2 
1
ii )  1  17.1 일때
0.5257
60   n1  0 
80  17.1
    60n1  37.1n2  0


 60

20  17.1  n2  0 

2
1
 2
0.5257
 31.7o
0.8506
 0.8506 


 0.5257 
 0.5257 


0.8506


Stresses in Three-Dimensional Space
 Coordinate Transformation
  x  xy  xz   a11 a12 a13   x  xy  xz   a11 a21 a31 

 

 




a
a
a


a12 a22 a32 





y
yz 
21
22
23
yx
y
yz
 yx






 zx  zy  z   a31 a32 a33   zx  zy  z   a13 a23 a33 




   T TT , T  Transformation matrix, T1  TT
Eigenvalues of  :  1,  2 ,  3
Eigenvalues of   :  1,  2 ,  3
  x  xy  xz    nx ' 
 nx ' 

 
n 



n


'





y
x
y
y
z
y
'

 
 y'
 z x  z y  z   nz ' 
 nz ' 


are identical, i.e. ,
 max   min
2

1   3
2
x '2
if
 23
x3
 1   1,  2   2 ,  3   3
 Maximum Shear Stress
 max 
x2
고유치 동일
Similarity transformation
 Eigenvalue problems
 x  xy  xz   nx 
 nx 

 
n  ;



n


yx
y
yz
y

 
 y
 zx  zy  z   nz 
 nz 


; Stress is a tensor of
order two
1   2   3
x '1
x1
x '3
a23  cos 23
Why are the Principal axes important?
 Stress
z
3
z  face
z
 zz
 zx
 zy
 xz
x
 yz
y
x
 yy
 xy  yx
 xx
y  face
1
2
y
x  face
3
1
3
1
2
  x ,  xy ,  yx ,  y ,  z ,  xz
2
 1 ,  2 ,  3
평형방정식
 평면응력에 대한 평형방정식의 유도
y
 yx
x
y
Δy
x
Point
Δy
 xy
Δx
 yx
 xy
x

 y
y
y
Δy
 xy 
 xy
x
x
 x
x 
Δx
x

 x
x
x
 x  yx

 fx  0
x
y
 x  yx  zx


 fx  0
x
y
z
 fy  0
 M c  0;  xy y x  yx x y 
 yx
 x ( x   x, y )   x ( x, y ) 
y






 0;   x y    x  x x  y   xy x   yx  yx y  x  f x x y  0
x
y




 Fy  0;
 yx 
C
=
x
Infinitesimal
area
x
 y
 x ( x, y)
 xy
y
F
y 
 y
y
y x
x  x
y

x y
 0   xy   yx
2
x
2
 xy
x

 y
y

 zy
z
 fy  0
 xz  yz  z


 fz  0
x
y
z
 평면응력의 평형방정식의 의미
x-방향으로 작용하는 법선응력의 변화를 y-방향으로의 전단응력변화가 보상해 주어야 평형을 유지한다는 의미
Stresses in Rod, Shaft and Beam
 단축인장 및 압축
A
 축의 비틀림
z
z
P
 보의 굽힘
T
T
P
x
y
z
z

 xy

z
x
1
2
2

0 0
0 0 
0 0 
r
x 
P
A
1   x
2  3  0

 max  x
2

y
1
 z
 x
0

0

x 


1
x

z
r 0 0
0 
  0 0   z 
z  0   z 0 
2

 z 
Tr
J
1   z
 2    z
 max    z
  x  xy

 xy 0
 0
0

0
0 
0 
x  
 xy 
Mb y
Iz
VQ
bI z
Stresses in a Slender Member under Combined Loads
 예제 9: Combined Load : Tension + Twisting
모아원
z
P

T
T
P
z
2

 응력의 계산(중첩원리)
 단축인장
c
 비틀림

 조합응력
z
z
z
z

+
z
=
1

변위와 변형
 Displacement = Rigid-Body Motion + Deformation
y
 변위장의 예, u  u( x, y )  u ( x, y )i  v( x, y ) j
Deformed
u  x, y   xy
y
v  x, y  
Undeformed
P
3
v  x, y 
P  x, y 
0
8
4
u  x, y 

4 5
x
1 2
 x y  1
2
5
1'
1
1
8
7
3 (1, 1) 1
u 1,1  1
6
7 2
v 1,1 
6
2
• 점 3의 변위 =
• 점 3'의 위치 =
1
1  1  1
2
x
 1, 1  (∵ 점3의 좌표=(1,1))
 1, 1    1, 1    2, 2 
좌표와 변위의 좌표변환과 평면변형
 평면변형(Plane strain) :
 w( x, y )  0 
 u  u ( x, y ) 


 v  v ( x, y ) 


y
y'
y 'cos
y
P ( x, y )
y 'sin 

예: 댐, 압연, 축대 등
x'
 좌표와 변위의 좌표변환
 x   cos
 y    sin 
  
u   cos
 v     sin 
  
sin   u 
cos   v 
 x   cos
 y    sin 
  
sin    x 
 x  cos







cos   y 
 y   sin 
sin    x 
cos   y 
x'
y'


x 'sin 
x
x 'cos
x
 sin    x ' 
x 'cos  x  y 'sin 

cos   y '
y  y 'cos  x 'sin 
평면변형에서 변형과 변위와의 관계
u  x, y  y   u  x, y  
y
1
u  x, y  y 
Undeformed
  x, y  y 
S
  x, y 
2
x
,

y
R
u  x, y 
x
u  x  x, y 
,
u
y
,

x
Deformed
 u 
1   x
 x 
R
1
u

x
x
 Assume : Small deformation
PR  PR  straight line 
  x  x, y 
x
P
y
  
1
y
S   y 
P
y
u
y
y
 Taylor Series
PR  ?, PS   ?
S PR  ?
u ( x  x, y  y )
 u ( x, y ) 
u
u
x
y  0( 2 )
x
y
x
0
 P( x, y )  P ' ( x  u ( x, y ), y  v( x, y ))
S ( x, y  y )  S ' ( x  u ( x, y  y ), y  y  v ( x, y  y ))
R ( x  x, y )  R ( x  x  u ( x  x, y ), y  v ( x  x, y ))
'
 PR  ( x  x  u ( x  x, y )  x  u ( x, y )) 2  ( y  v( x  x, y )  y  y  v( x, y )) 2
 x (1 
u 2 v 2
u
u
)  ( )  x 1 2
 x(1  )
x
x
x
x
Similarly ,
v
)
y
u
v
1 
, 2 
y
x
PS   y (1 