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Compito di matematica classe III A 28 maggio ’16 Alunno
Problema n. 1
Scritta l’equazione della circonferenza passante per A(1,2) e B (-1 ;-2) e il cui centro C appartiene alla retta 3x-y-14=0,
determinare:
a)
b)
c)
d)
Le equazioni delle rette t1 e t2 tangenti alla circonferenza in A e in B.
L’area del quadrilatero CAPB
Detti E e F i punti di ascissa 1 che hanno distanza uguale a 4 da t1 , l’area del triangolo EFC
Per quali valori di k la retta y=2x+k è tangente la circonferenza.
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

1 + 4 + a + 2b + c = 0

1 + 4 − 1a − 2b + c = 0
 −a
  −b 
3 
 −   − 14 = 0
  2   2 
c = −5 − a − 2b

 a = −2b
6b + b − 28 = 0

 a + 2b + c = −5

 − a − 2b + c = −5
 −3a + b − 28 = 0

c = −5 − a − 2b
c = −5 − a − 2b


 − a − 2b − 5 − a − 2b = −5  −2a − 4b = 0
 −3a + b − 28 = 0


 −3a + b − 28 = 0
c = −5

a = −8
b = 4

x2 + y2 − 8x + 4 y − 5 = 0
C (4, −2)
r = 16 + 4 + 5 = 5
 y − 2 = m( x − 1)
3
3
5

a) A 
a + 2 xT
−8 + 2 3 y − 2 = ( x − 1) t1: y = x +
4
4
4
m = − b + 2 y = − 4 + 4 = 4

T
 y + 2 = m( x + 1)
3
5

B
a + 2 xT
−8 − 2 1 t2: x = −1 y = x − (come si vede dal grafico)
4
4
m = − b + 2 y = − 4 − 4 = 0

T
3
5
3 5 1


y = x +
y = − + =
b) P 
4
4 P
4 4 2 P(-1,1/2)
 x = −1
 x = −1
1
25
1

Area ( APCB ) = 2 Area ( PBC ) = 2 PB ⋅ BC =  + 2  ( 4 + 1) =
2
2
2

c)
3
5
x+
3x − 4 y + 5 = 0 E , F ( x, y ) = (1, y)
4
4
8 − 4 y = 20 y = −3
3x − 4 y + 5 3 − 4 y + 5
d=
=
=4
E(1,-3) F(1,7)
8 − 4 y = 20
8 − 4 y = −20 y = 7
5
9 + 16
y=
 x2 + y 2 − 8x + 4 y − 5 = 0
d) 
 y = 2x + k
2 xC − yC + k
4 +1
=5
8+ 2+k
5
= 5 10 + k = 5 5 k = −10 ± 5 5
Oppure
 x 2 + (2 x + k ) 2 − 8 x + 4(2 x + k ) − 5 = 0 5 x 2 + 4kx + k 2 + 4k − 5 = 0


 y = 2x + k
 y = 2x + k
∆
= 4k 2 − 5k 2 − 20k + 25 = 0 k 2 + 20k − 25 = 0
4
k = −10 ± 5 5
Problema n. 2
Scrivi l’equazione della circonferenza γ passante per l’origine O e tangente alla retta di equazione −3 x + 2 y − 13 = 0
nel suo punto di ascissa -1.
Detti A e B i punti di intersezione di γ con gli assi cartesiani, determina un punto P sulla semicirconferenza che non
contiene l’origine in modo che l’area del quadrilatero OAPB sia uguale a 17.
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
c=0
 −3 x + 2 y − 13 = 0
y = 5
Punto della retta tangente t, : T 
T ( −1;5 )
T
 x = −1
 x = −1
3
13
Coefficiente angolare della retta tangente t: y = x +
2
2
Passaggio per T: 1 + 25 − a + 5b + c = 0
2x + a
2( −1) + a 3
Tangenza γ in T: mT = − T
=−
= ⇒ 4 − 2a = 30 + 3b
2 yT + b
2(5) + b 2
Passaggio per l’origine O(0,0) :
c = 0
c = 0
c = 0



⇒
1 + 25 − a + 5b + c = 0 ⇒ −a + 5b = −26 ⇒ a = 5b + 26
4 − 2a = 30 + 3b
−2a − 3b = 26
−2(5 b+ 26) − 3b = 26



c = 0

 a = 5b + 26 ⇒
 −13b = 78

c = 0

 a = −4
 b = −6

x2 + y2 − 4x − 6 y = 0
Intersechiamo la circonferenza con l’asse y:
y = 0
 x2 + y2 − 4 x − 6 y = 0
 y2 − 6 y = 0

A
A
A  y = 6 Quindi A(0,6)
x = 0
x = 0
x = 0

Intersechiamo la circonferenza con l’asse x:
x = 0
 x2 + y2 − 4 x − 6 y = 0
 x2 − 4 x = 0

B
B
B  x = 4 Quindi B(4,0)
y = 0
y = 0
y = 0

E sia P(x,y) un punto qualsiasi della circonferenza.
Troviamo l’area di:
A(OBPA) = A(OPA) + A(OPB) =
3 x + 2 y = 17 ⇒ y =
17 − 3 x
2
OA ⋅ PH OB ⋅ PK 6 ⋅ x 4 ⋅ y
+
=
+
= 17
2
2
2
2
sostituiamo alla circonferenza
17 − 3 x
 17 − 3 x 
x2 + 
=0
 − 4x − 6
2
 2 
 289 + 9 x 2 − 102 x 
x2 + 
 − 4 x − 51 + 9 x = 0
4


2
4 x 2 + 289 + 9 x 2 − 102 x − 16 x − 204 + 36 x = 0
13 x 2 − 82 x + 85 = 0
5
41 ± 24
x=
= 17
13
13
17 − 3(5)
Punto 1: x1 = 5
y1 =
=1
2
17
17 − 3
17
13 = 170 = 85
Punto 2: x2 =
y2 =
13
2
26 13
Problema n. 3
Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per A=(0,-1), ha il centro con ordinata positiva sulla retta di equazione
4 x − 2 y + 3 = 0 e ha raggio lungo
5
.
2
Tra le rette del fascio per A determina quelle che staccano sulla circonferenza una corda lunga 2 5 .
5

, −6  , manda le tangenti alla circonferenza e trova i punti di tangenza C e D.
2

2
2
x + y + ax + by + c = 0
Dal punto B 


1 − b + c = 0
1 − b + c = 0

c = b − 1

  a  b

⇒  −2 a + b + 3 = 0
 4  −  − 2  −  + 3 = 0 ⇒  −2 a + b + 3 = 0
  2  2
 25 a 2 b2
 2
2
a + b − 4(b − 1) = 25
 2 a 2 b2
 = + −c
+ −c
4 4
4
r =

4 4
c = b − 1
c = b − 1
c = b − 1



⇒ b = 2a − 3
⇒ b = 2a − 3
⇒ b = 2a − 3
 2
 2
 2
2
2
a + (2a − 3) − 4(2 a − 3 − 1) = 25
a + 4a − 12a + 9 − 8 a + 16 = 25
5a − 20a = 0
c = b − 1
c = −4


 3
2
2
C1 =  0, 
b = 2a − 3 b = −3 x + y − 3 y − 4 = 0
 2
a = 0
a = 0


c = b − 1
c = 4
5



2
2
b = 2a − 3 b = 5 x + y + 4 x + 5 y + 4 = 0 C2 =  −2, − 
2

a = 4
a = 4


La Rette del fascio per A: y + 1 = m ( x − 0)
y = mx − 1
Se la corda AB è AB = 2 5 indicato con H il punto medio della corda AH =
per il teorema di Pitagora la distanza del fascio di rette dall’origine è:
2
5
CH = CA − HA =   − ( 5)2 =
2
2
5
25
5
5
−5 =
=
4
4
2
2
E allora la retta del fascio che stacca la corda suddetta è:
3
| − − 1|
5
CH =
= 2
=
2
1 + m2
1 + m2
2
2
25 = 5(1 + m ) m = 4 m = ±2
| mxC − yC − 1|
5
1
5
=
2 1 + m2
2
5 = 5 1 + m2
 x 2 + y 2 − 3 y − 4 = 0  x 2 + (2 x − 1) 2 − 3(2 x − 1) − 4 = 0 5 x 2 − 10 x = 0  x = 2




 y = 2x −1 = 3
 y = 2x −1
 y = 2x −1
 y = 2x −1
B=(2,3) D(-2,3)
5
5

, −6  y + 6 = m ( x − )
2
2

Fascio di rette per B 
5
| yC + 6 − m( xC − ) |
2 =5
d (C , r ) =
2
2
1+ m
9 + m 2 + 6m = (1 + m 2 )
m=−
15
5
+m |
2 =5
d (C , r ) = 2
2
2
1+ m
8
4
=−
6
3
|
4
5
y + 6 = − (x − )
3
2
Punto di contatto: m = −
4
2x + a
2 x0
4
=−
− =−
3
2y + b
3
2 y0 − 3
−4 y0 + 6 = −3 x0
6 + 3 x0
4
y0 =
6 + 3 x0
4
8
= − x−
4
3
3
18 + 9 x = −16 x − 32
x=−
|3+ m |
1 + m2
=1
4
8
y = − x−
3
3
50
4
8
= −2 y = − (−2) − = 0
25
3
3