Transcript L`ellisse come dilatazione di una circonferenza

A
L’ellisse come dilatazione di una circonferenza
Consideriamo la circonferenza avente centro nell’origine e raggio r la cui equazione è
x2 þ y 2 ¼ r 2
ed applichiamo ad essa la dilatazione di equazioni
x 0 ¼ kx
y 0 ¼ hy
L’equazione che otteniamo è la seguente:
x2 y 2
þ
¼ r2
k 2 h2
8
x
>
>
<x ! k
operando le sostituzioni
>
>
:y ! y
h
x2
y2
þ 2 2 ¼1
2
2
k r
hr
che possiamo riscrivere nella forma
Quella che abbiamo ottenuto è l’equazione di un’ellisse che ha semiasse
uguale kr sull’asse x e semiasse uguale a hr sull’asse y.
Un’ellisse può quindi anche essere vista come la corrispondente di una
circonferenza mediante l’applicazione di una dilatazione.
Per esempio:
l
Figura 1
applicando alla circonferenza x 2 þ y 2 ¼ 4 la dilatazione di fattori k ¼ 2
e h ¼ 3 otteniamo:
x
y
y !
sostituzioni x !
2
3
equazione
x2 y2
þ
¼4
4
9
x2
y2
þ
¼1
16 36
cioè
che è l’ellisse con i fuochi sull’asse y di semiassi 4 e 6 (figura 1a)
l
applicando alla circonferenza x 2 þ y 2 ¼ 16 la dilatazione di fattori
2
1
k ¼ e h ¼ otteniamo:
3
4
3
x
2
a.
y ! 4y
sostituzioni
x !
equazione
9 2
x þ 16y 2 ¼ 16
4
cioè
x2
64
9
þ y2 ¼ 1
che è l’ellisse con i fuochi sull’asse x di semiassi
8
e 1 (figura 1b).
3
b.
L’ellisse
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ESERCIZI
1
2
3
4
5
Scrivi le equazioni delle ellissi che ottieni applicando alla circonferenza assegnata la dilatazione indicata.
8
<x0 ¼ 1 x
2
y2
x
2
2
2
x þ y ¼ 16
þ
¼1
4
64
: 0
y ¼ 2y
8
<x0 ¼ 1 x
5
½25x 2 þ y 2 ¼ 25
x 2 þ y 2 ¼ 25
: 0
y ¼y
0
x ¼ 3x
9y 2
2
9x 2 þ 9y 2 ¼ 1
x
þ
¼
1
16
y 0 ¼ 4y
8
1
0
>
<x ¼ x
3
½9x 2 þ 16y 2 ¼ 8
x2 þ y2 ¼ 8
>
:y0 ¼ 1 y
4
8
<x0 ¼ 1 x
2
y2
9x
2
2
6
þ
¼1
x þ y ¼ 20
5
180
: 0
y ¼ 3y
Determina le equazioni della trasformazione che, applicate alla circonferenza x 2 þ y 2 ¼ 1 fanno ottenere l’ellisse assegnata.
6
x2 þ y 2 ¼ 1
4
9
Le sostituzioni da operare sull’equazione x 2 þ y 2 ¼ 1 sono
0
x ¼ 2x
Quindi le equazioni della trasformazione sono
y 0 ¼ 3y
x!x
2
e
y!
y
3
7
y2
x2
þ
¼1
16
8
pffiffiffi x 0 ¼ 4x, y 0 ¼ 2 2y
8
y2
x2
þ
¼1
25 16
½x 0 ¼ 5x, y 0 ¼ 4y 9
4x 2 y 2
þ
¼1
9
6
pffiffiffi
x 0 ¼ 3 x, y 0 ¼ 6y
2
y2
x2
þ
¼ 1 nella circonfe10 Scrivi le equazioni di una dilatazione che trasforma l’ellisse di equazione
36 16 renza di equazione x 2 þ y 2 ¼ 16.
2
0
0
x ¼
3
x, y ¼ y
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