Transcript Utilizzo della trasformata di Fourier come risolutore di equazioni

Utilizzo della trasformata di Fourier come risolutore di equazioni
differenziali
Elaborazione dei segnali di misura 1
1
Introduzione
Sia data l’equazione differenziale
dx(t)
+ ax(t) = b(t), x(0) = 0;
dt
Valutiamo la trasformata di Fourier dell’equazione differenziale per linearità sfruttando le proprietà della TF
j2πf X(f ) + aX(f ) = B(f )
si ottiene quindi
X(f ) = B(f ) ·
1
a + j2πf
quindi otteniamo dalla proprietà della convoluzione
µ
x(t) = b(t) ∗ F
Una volta dimostrato che
µ
1
a + j2πf
¶
otteniamo che
−1
x(t) = b(t) ∗ e
¶
¡
¢
= F e−at u(t)
Z
−at
1
a + j2πf
∞
u(t) =
b(s)e−a(t−s) u(t − s) ds
−∞
³
´
0 /2
Supponiamo ora che il termine forzante sia del tipo b(t) = rect t−T
, quindi un segnale che vale 1 per
T0
t ∈ [0, T0 ] e 0 altrove. Nel risolvere l’integrale di sopra dobbiamo dividere i casi in cui t ∈ [0, T0 ] o t ∈ [T0 , ∞].



0,
x(t) =
1
a


1
a
t < 0,
(1 − e−at ) , t ∈ [0, T0 ],
¢
¡ a(T −t)
e 0
− e−at , t ∈ [T0 , ∞],
In figura 1 sono riportati i grafici della soluzione e del termine forzante. Celebri esempi di tali equazioni
1
Termine forzante
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
Soluzione
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
Figure 1: Grafici della soluzione dell’equazione differenziale e del termine forzante.
sono quelle dei circuiti di carica e scarica del condensatore (RC) oppure circuiti (RL). Se poi la condizione
iniziale non è x(0) = x0 allora occorre considerare una soluzione particolare del problema del la forma
x̃(t) = αe−at
con α tale che x̃(0) = x0 . In tal caso α = x0 . Per cui la soluzione finale sarà
x1 (t) = x(t) + x̃(t)
2